ماشین‌حساب جایگشت و ترکیب: P(n, r) و C(n, r)

Q: تفاوت جایگشت و ترکیب چیست؟

جایگشت چینشهای مرتب را میشمارد و ترکیب انتخابهای بدون ترتیب را. انتخاب 3 شیء از 10 شیء، 720 جایگشت اما فقط 120 ترکیب میدهد.

Q: چند دست پنجبرگی پوکر وجود دارد؟

C(52, 5) = 2,598,960، چون ترتیب گرفتن برگها مهم نیست.

Q: «با تکرار» یعنی چه؟

یعنی هر شیء را میتوان بیش از یک بار انتخاب کرد، مانند رقمهای یک رمز عددی. تعداد انتخابهای مرتب با تکرار nʳ و تعداد انتخابهای بدون ترتیب C(n + r − 1, r) است.

Q: آیا r میتواند از n بزرگتر باشد؟

فقط وقتی تکرار مجاز است. بدون تکرار، ماشینحساب توضیح میدهد که نمیتوانید بیش از تعداد موجود شیء انتخاب کنید.

دربارهٔ ماشین‌حساب جایگشت و ترکیب

بسیاری از پرسش‌های شمارشی به یک تصمیم برمی‌گردند: آیا ترتیب اشیای انتخاب‌شده مهم است؟ چیدن دوندگان روی سکوی قهرمانی جایگشت است، چون طلا، سپس نقره و سپس برنز با برنز، سپس نقره و سپس طلا فرق دارد. اما انتخاب سه نفر برای یک کمیته ترکیب است، چون همان سه نفر با هر ترتیبی همان کمیته را تشکیل می‌دهند.

این ماشین‌حساب چهار حالت استاندارد را پوشش می‌دهد: جایگشت و ترکیب بدون تکرار، جایگشت با تکرار (مانند رمزهای عددی کارت‌ها) و ترکیب با تکرار (مانند انتخاب اسکوپ‌های بستنی از میان چند طعم). با عددهای صحیح دقیق کار می‌کند، پس حتی عددهای بسیار بزرگ، مانند تعداد دست‌های پوکر، کامل و بدون گرد کردن نمایش داده می‌شوند.

جایگشت و ترکیب چیست؟

جایگشت، چینشی مرتب از $r$ شیء است که از میان $n$ شیء متمایز انتخاب شده‌اند. تعداد آن $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ است، یعنی حاصل‌ضرب $r$ عامل نخست $n!$ . ترکیب، انتخابی بدون ترتیب است و تعدادش $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ است.

این دو مفهوم به هم مربوط‌اند: هر ترکیب $r$ شیئی را می‌توان به $r!$ شیوه مرتب کرد، پس $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . ماشین‌حساب از همین اتحاد برای بررسی هر پاسخ جایگشت و ترکیب استفاده می‌کند.

روش استفاده از ماشین‌حساب جایگشت و ترکیب

آنچه را می‌خواهید بشمارید انتخاب کنید: «ترکیب C(n, r) (ترتیب مهم نیست)»، «جایگشت P(n, r) (ترتیب مهم است)»، «جایگشت با تکرار (nʳ)» یا «ترکیب با تکرار».
«تعداد کل اشیا n» را وارد کنید.
«تعداد اشیای انتخاب‌شده r» را وارد کنید.
روی «محاسبه کن» بزنید.
تعداد، فرمول به‌کاررفته و گام‌های ساده‌سازی را بخوانید.

فرمول‌ها

جایگشت

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

ترکیب

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

جایگشت با تکرار

n^r

ترکیب با تکرار

\binom{n + r - 1}{r}

مثال حل‌شده: C(10, 3)

مثال، $C(10, 3)$ را پیدا می‌کند، یعنی تعداد راه‌های انتخاب 3 شیء از 10 شیء وقتی ترتیب مهم نیست. ابتدا انتخاب‌های مرتب را بشمارید: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

هر گروه سه‌تایی در آن فهرست $3! = 6$ بار ظاهر می‌شود، یک بار برای هر ترتیب، پس $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . بررسی تأیید می‌کند که $120 \times 6 = 720$ .

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

120

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

ترکیب C(n, r) (ترتیب مهم نیست)

راه‌حل گام‌به‌گام

از فرمول ترکیب استفاده کنید
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
جایگشت‌ها را بر r! تقسیم کنید، چون ترتیب مهم نیست
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

فرمول‌های به‌کاررفته

ترکیب C(n, r) (ترتیب مهم نیست)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

120 راه برای انتخاب 3 شیء از 10 شیء وجود دارد وقتی ترتیب مهم نیست.

بررسی‌ها

بررسی: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

توضیح کامل

چرا فاکتوریل‌ها ساده می‌شوند

نوشتن $\frac{n!}{(n-r)!}$ به نظر می‌رسد عددهای عظیمی لازم دارد، اما بیشتر عامل‌ها حذف می‌شوند. در $P(8, 3)$ فقط $8 \times 7 \times 6 = 336$ باقی می‌ماند: هشت گزینه برای جایگاه اول، هفت برای دوم و شش برای سوم. ماشین‌حساب به جای محاسبهٔ کامل فاکتوریل‌ها همین ساده‌سازی را نشان می‌دهد.

ترکیب بر $r!$ ترتیبِ هر انتخاب تقسیم می‌کند. به همین دلیل $C(n, r)$ همیشه کوچک‌تر از $P(n, r)$ یا برابر با آن است، و به همین دلیل $C(n, r) = C(n, n - r)$ : انتخاب $r$ شیئی که برمی‌دارید همان انتخاب $n - r$ شیئی است که کنار می‌گذارید.

شمارش با تکرار

وقتی اشیا را می‌توان دوباره به کار برد و ترتیب مهم است، هر یک از $r$ جایگاه $n$ گزینه دارد، پس حاصل $n^r$ است. رمز عددی چهاررقمی $10^4 = 10{,}000$ حالت ممکن دارد.

وقتی اشیا را می‌توان دوباره به کار برد و ترتیب مهم نیست، روش ستاره‌ها و میله‌ها $\binom{n + r - 1}{r}$ را می‌دهد. انتخاب 4 اسکوپ از 3 طعم با امکان تکرار به $\binom{6}{4} = 15$ شیوه ممکن است. در این حالت $r$ می‌تواند از $n$ بزرگ‌تر باشد.

عددهای بزرگ و حالت‌های خاص

تعداد دست‌های پنج‌برگی پوکر $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ است و ماشین‌حساب این پاسخ‌ها را با حساب عددهای صحیح دقیق نگه می‌دارد. طبق قرارداد $C(n, 0) = 1$ ، چون دقیقاً یک راه برای انتخاب نکردن هیچ‌چیز وجود دارد.

بدون تکرار نمی‌توانید بیش از تعداد موجود شیء انتخاب کنید. درخواست $C(3, 5)$ به جای صفری بی‌معنا، پیامی روشن می‌دهد که حالتی با تکرار یا مقدار کوچک‌تری برای $r$ را پیشنهاد می‌کند.

ترکیب و مثلث خیام–پاسکال

مقدارهای $C(n, r)$ مثلث خیام–پاسکال را می‌سازند که در آن هر درایه مجموع دو درایهٔ بالای آن است: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . این اتحاد تفسیری شمارشی دارد. یک شیء مشخص را در نظر بگیرید؛ هر انتخاب یا آن را در بر دارد، که در این صورت باید $r - 1$ شیء دیگر را از $n - 1$ شیء باقی‌مانده انتخاب کرد، یا آن را کنار می‌گذارد، که در این صورت باید همهٔ $r$ شیء را از $n - 1$ شیء باقی‌مانده انتخاب کرد.

همین عددها ضریب‌های بسط دوجمله‌ای $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ هستند و به همین دلیل ضرایب دوجمله‌ای نامیده می‌شوند. جمع یک سطر کامل $2^n$ را می‌دهد، یعنی تعداد کل زیرمجموعه‌های مجموعه‌ای $n$ عضوی، چون هر عضو یا درون است یا بیرون.

اشتباه‌های رایج

استفاده از جایگشت وقتی ترتیب مهم نیست، که شمارش را $r!$ برابر می‌کند.
استفاده از ترکیب برای چینش‌هایی مانند گذرواژه‌ها، رتبه‌بندی‌ها یا ترتیب نشستن.
فراموش کردن اینکه تکرار، فرمول را به‌کلی عوض می‌کند.
محاسبهٔ کامل فاکتوریل‌ها با دست به جای ساده کردن آنها، که راه را برای خطای حسابی باز می‌کند.
انتخاب r بزرگ‌تر از n در مسئله‌ای که اشیا در آن تکرار نمی‌شوند.

نکته‌ها

بپرسید: آیا جابه‌جا کردن دو شیء انتخاب‌شده نتیجهٔ متفاوتی می‌دهد؟ اگر بله، از جایگشت استفاده کنید.
برای ساده کردن محاسبه‌های دستی از $C(n, r) = C(n, n - r)$ استفاده کنید.
مسئله‌های پیچیده را به مرحله‌ها بشکنید و تعدادهای مرحله‌ها را در هم ضرب کنید.
تعداد را بر تعداد کل برآمدها تقسیم کنید تا به احتمال تبدیل شود.
وقتی به جای تعدادهای خام، احتمال k موفقیت را لازم دارید، از حالت دوجمله‌ای ماشین‌حساب احتمال استفاده کنید.
اول تخمین بزنید: اگر تعداد انتخاب‌ها از تعداد چینش‌های متناظر بیشتر شد، جایی اشتباه شده است.

پرسش‌های متداول

تفاوت جایگشت و ترکیب چیست؟

جایگشت چینش‌های مرتب را می‌شمارد و ترکیب انتخاب‌های بدون ترتیب را. انتخاب 3 شیء از 10 شیء، 720 جایگشت اما فقط 120 ترکیب می‌دهد.

ترکیب C(n, r) چگونه حساب می‌شود؟

از n! ÷ (r!(n − r)!) استفاده کنید. در عمل، r عامل نخست n! را در هم ضرب و بر r! تقسیم کنید. در C(10, 3) حاصل 720 ÷ 6 = 120 است.

جایگشت P(n, r) چگونه حساب می‌شود؟

r عامل نخست n! را در هم ضرب کنید: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

چند دست پنج‌برگی پوکر وجود دارد؟

C(52, 5) = 2,598,960، چون ترتیب گرفتن برگ‌ها مهم نیست.

«با تکرار» یعنی چه؟

یعنی هر شیء را می‌توان بیش از یک بار انتخاب کرد، مانند رقم‌های یک رمز عددی. تعداد انتخاب‌های مرتب با تکرار nʳ و تعداد انتخاب‌های بدون ترتیب C(n + r − 1, r) است.

چرا C(n, 0) برابر 1 است؟

دقیقاً یک راه برای انتخاب نکردن هیچ شیئی وجود دارد: انتخاب تهی. همین استدلال 0! = 1 را هم می‌دهد.

آیا r می‌تواند از n بزرگ‌تر باشد؟

فقط وقتی تکرار مجاز است. بدون تکرار، ماشین‌حساب توضیح می‌دهد که نمی‌توانید بیش از تعداد موجود شیء انتخاب کنید.

چینش‌ها و انتخاب‌ها را بشمارید

n و r را در بالا وارد کنید و حالت را برگزینید تا تعداد دقیق و همهٔ گام‌ها را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید