ماشین‌حساب نمرهٔ استاندارد z: صدک‌ها و احتمال‌های توزیع نرمال

Q: نمرهٔ z متناظر با یک صدک را چطور پیدا کنم؟

حالت وارون را انتخاب و صدک را وارد کنید، مثلاً 95%. ماشینحساب z ≈ 1.645 را میدهد.

Q: نمرهٔ z خوب چیست؟

به زمینه بستگی دارد. مقدارهای میان −1 و 1 معمولیاند، مقدارهای فراتر از ±2 غیرعادیاند و مقدارهای فراتر از ±3 در مدل نرمال نادرند.

Q: آیا به جدول z نیاز دارم؟

نه. ماشینحساب مساحتهای توزیع نرمال را مستقیماً حساب میکند، پس مقدارهایی دقیقتر از جدول چاپی به دست میآورید.

Q: چرا ماشینحساب انحراف معیار 0 را نمیپذیرد؟

تقسیم بر صفر تعریفنشده است و انحراف معیار 0 یعنی همهٔ مقدارها با میانگین برابرند، پس تبدیل به نمرهٔ z معنایی ندارد.

دربارهٔ ماشین‌حساب نمرهٔ استاندارد z

نمرهٔ استاندارد نشان می‌دهد یک مقدار چقدر از میانگین فاصله دارد، با واحد انحراف معیار. این نمره نمره‌های آزمون‌های مختلف، قدهای جامعه‌های مختلف یا اندازه‌هایی با واحدهای گوناگون را به یک مقیاس مشترک می‌برد تا بتوانید آنها را مستقیماً مقایسه کنید و ببینید چقدر نادرند.

این ماشین‌حساب شش کار مربوط به نمرهٔ z را که در درس‌های آمار پیش می‌آیند انجام می‌دهد: محاسبهٔ $z$ از یک مقدار خام، بازیابی مقدار خام از $z$ ، یافتن مساحت سمت چپ یا سمت راست $z$ ، یافتن مساحت میان دو نمرهٔ z و یافتن نمرهٔ z متناظر با یک صدک معین. مساحت‌ها مستقیماً از توزیع نرمال استاندارد حساب می‌شوند، پس نیازی به خواندن جدول نیست.

نمرهٔ استاندارد z چیست؟

برای مقدار $x$ از جامعه‌ای با میانگین $\mu$ و انحراف معیار $\sigma$ ، نمرهٔ استاندارد $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ است. نمرهٔ z برابر 0 یعنی مقدار با میانگین برابر است، نمرهٔ مثبت یعنی بالاتر از میانگین و نمرهٔ منفی یعنی پایین‌تر از آن است.

اگر داده‌ها از توزیع نرمال پیروی کنند، نمرهٔ z صدک را هم به شما می‌گوید. مساحت زیر منحنی نرمال استاندارد در سمت چپ $z$ که با $\Phi(z)$ نشان داده می‌شود، نسبت مقدارهای کمتر از $x$ است.

روش استفاده از ماشین‌حساب نمرهٔ استاندارد z

محاسبه را انتخاب کنید: نمرهٔ z از x، مقدار خام از z، مساحت سمت چپ، مساحت سمت راست، مساحت میان دو نمره یا نمرهٔ z برای یک صدک.
آنچه حالت انتخاب‌شده می‌خواهد وارد کنید: «مقدار x»، «میانگین μ» و «انحراف معیار σ»، یا یک یا دو نمرهٔ z، یا یک صدک.
صدک‌ها را می‌توان به صورت عدد اعشاری مانند 0.95 یا درصد مانند 95% وارد کرد.
روی «محاسبه کن» بزنید.
نمرهٔ z یا مساحت و تفسیر آن بر حسب صدک را بخوانید.

فرمول‌ها

نمرهٔ استاندارد

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

مقدار خام از z

x = \mu + z\sigma

مساحت سمت راست

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

مساحت میان دو نمره

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

مثال حل‌شده: x = 85, μ = 70, σ = 10

مثال نمرهٔ آزمون $x = 85$ را در کلاسی با میانگین $\mu = 70$ و انحراف معیار $\sigma = 10$ در نظر می‌گیرد. کم کردن میانگین 15 می‌دهد و تقسیم بر انحراف معیار $z = 1.5$ را می‌دهد: نمره یک و نیم انحراف معیار بالاتر از میانگین است.

مساحت سمت چپ $z = 1.5$ حدود 0.9332 است، پس اگر نمره‌ها توزیع نرمال داشته باشند، این دانش‌آموز از حدود 93.32% کلاس بهتر بوده است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

z = 1.5

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

نمرهٔ z از x، میانگین و انحراف معیار

راه‌حل گام‌به‌گام

میانگین را از مقدار کم کنید
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
بر انحراف معیار تقسیم کنید
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
مساحت سمت چپ (صدک) را پیدا کنید
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

فرمول‌های به‌کاررفته

نمرهٔ z
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 به اندازهٔ 1.5 انحراف معیار بالاتر از میانگین است؛ حدود 93.32% از یک جامعهٔ نرمال زیر آن قرار دارد.

بررسی‌ها

معکوس: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

توضیح کامل

خواندن مساحت‌های زیر منحنی نرمال

مساحت کل زیر منحنی نرمال استاندارد برابر 1 است و منحنی حول 0 متقارن است. مساحت سمت چپ $z = 1.25$ حدود 0.8944 و مساحت سمت راست $z = 1.96$ حدود 0.025 است؛ به همین دلیل 1.96 در فاصله‌های اطمینان 95% ظاهر می‌شود. مساحت میان $-1$ و $1$ حدود 0.6827 است.

همین مساحت‌ها قاعدهٔ تجربی را می‌دهند: حدود 68% مقدارهای دارای توزیع نرمال در فاصلهٔ یک انحراف معیار از میانگین، حدود 95% در فاصلهٔ دو انحراف معیار و حدود 99.7% در فاصلهٔ سه انحراف معیار قرار دارند.

جهت وارون: از صدک به z

حالت وارون معادلهٔ $\Phi(z) = p$ را حل می‌کند. برای صدک 95 حاصل $z \approx 1.645$ است. این را با $x = \mu + z\sigma$ ترکیب کنید تا مقدار مرزی را پیدا کنید: با میانگین 70 و انحراف معیار 10، صدک 95 حدود $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ است.

حالت مقدار خام این گام دوم را مستقیماً انجام می‌دهد. وارد کردن $z = 1.5$ با همان میانگین و انحراف معیار، $x = 85$ را می‌دهد و مثال اصلی را وارونه می‌کند.

مقایسهٔ مقدارها در مقیاس‌های مختلف

فرض کنید دانش‌آموزی در آزمونی با میانگین 70 و انحراف معیار 10 نمرهٔ 85 گرفته و دیگری در آزمونی با میانگین 500 و انحراف معیار 100 نمرهٔ 620 گرفته است. نمره‌های z آنها 1.5 و 1.2 است، پس عملکرد اول نسبتاً قوی‌تر است، هرچند 620 عدد بزرگ‌تری به نظر می‌رسد.

نمره‌های z داده‌های پرت را هم آشکار می‌کنند: مقدارهایی با $|z| > 3$ در مدل نرمال نادرند و ارزش بررسی دوباره دارند. به یاد داشته باشید که تفسیر بر حسب صدک به تقریباً نرمال بودن داده‌ها بستگی دارد؛ در داده‌های بسیار چوله، نمرهٔ z همچنان فاصله از میانگین را می‌سنجد، اما خواندن مساحت ممکن است گمراه‌کننده باشد.

اشتباه‌های رایج

تفریق با ترتیب نادرست؛ مقدار منهای میانگین است، نه میانگین منهای مقدار.
تقسیم بر واریانس به جای انحراف معیار.
گزارش مساحت سمت چپ وقتی پرسش احتمال بیشتر شدن از یک مقدار را می‌خواهد.
وارد کردن صدکی مانند 95 به جای 95% یا 0.95.
به کار بردن صدک‌های منحنی نرمال برای داده‌هایی که آشکارا نرمال نیستند.

نکته‌ها

پیش از محاسبه، منحنی زنگوله‌ای را بکشید و ناحیهٔ مورد نیاز را هاشور بزنید.
از تقارن استفاده کنید: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
مقدارهای مرجع 1.645، 1.96 و 2.576 را برای فاصله‌های اطمینان دوطرفهٔ 90%، 95% و 99% به خاطر بسپارید.
اگر فقط داده‌های خام دارید، اول از ماشین‌حساب انحراف معیار استفاده کنید.
نمره‌های z را فقط در پایان تا دو رقم اعشار گرد کنید.

پرسش‌های متداول

نمرهٔ z چگونه حساب می‌شود؟

میانگین را از مقدار کم و حاصل را بر انحراف معیار تقسیم کنید: z = (x − μ) ÷ σ. وقتی x = 85، μ = 70 و σ = 10 باشد، z = 1.5 است.

نمرهٔ z منفی یعنی چه؟

یعنی مقدار کمتر از میانگین است. نمرهٔ z برابر −2 یعنی مقدار دو انحراف معیار پایین‌تر از میانگین است.

نمرهٔ z را چطور به صدک تبدیل کنم؟

مساحت زیر منحنی نرمال استاندارد در سمت چپ z را پیدا کنید. وقتی z = 1.5 باشد مساحت حدود 0.9332 است، یعنی صدک 93.

نمرهٔ z متناظر با یک صدک را چطور پیدا کنم؟

حالت وارون را انتخاب و صدک را وارد کنید، مثلاً 95%. ماشین‌حساب z ≈ 1.645 را می‌دهد.

نمرهٔ z خوب چیست؟

به زمینه بستگی دارد. مقدارهای میان −1 و 1 معمولی‌اند، مقدارهای فراتر از ±2 غیرعادی‌اند و مقدارهای فراتر از ±3 در مدل نرمال نادرند.

آیا به جدول z نیاز دارم؟

نه. ماشین‌حساب مساحت‌های توزیع نرمال را مستقیماً حساب می‌کند، پس مقدارهایی دقیق‌تر از جدول چاپی به دست می‌آورید.

چرا ماشین‌حساب انحراف معیار 0 را نمی‌پذیرد؟

تقسیم بر صفر تعریف‌نشده است و انحراف معیار 0 یعنی همهٔ مقدارها با میانگین برابرند، پس تبدیل به نمرهٔ z معنایی ندارد.

نمرهٔ z خود را حساب کنید

مقدار، میانگین و انحراف معیار را در بالا وارد کنید تا نمرهٔ z و صدک را با همهٔ گام‌ها ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب نمرهٔ استاندارد z