آمار

چطور انحراف معیار را حساب کنیم (نمونه و جامعه)

Q: از انحراف معیار نمونه استفاده کنم یا جامعه؟

فرمول جامعه را فقط وقتی به کار ببرید که دادههایتان همهٔ اعضای گروهی را که میخواهید توصیف کنید در بر بگیرد. اگر دادهها نمونهای برای شناخت گروهی بزرگترند، که حالت معمول است، از فرمول نمونه با n - 1 استفاده کنید.

Q: انحراف معیار صفر چه معنایی دارد؟

همهٔ مقدارهای مجموعهداده یکساناند، پس هیچ پراکندگیای وجود ندارد. هر تغییری، هر قدر کوچک، انحراف معیار را مثبت میکند.

Q: آیا انحراف معیار بزرگ بد است؟

نه لزوماً. فقط یعنی دادهها پراکندهاند. خوب یا بد بودنش به زمینه بستگی دارد: پراکندگی زیاد در زمانهای تحویل بد است، در حالی که پراکندگی زیاد در آزمایش اصلاح نژاد گیاهان ممکن است دقیقاً همان چیزی باشد که پژوهشگر امیدوار است بیابد.

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در 3 آبان 1405

انحراف معیار نشان می‌دهد مقدارهای داده معمولاً چقدر از میانگینشان فاصله دارند. این راهنما محاسبه را گام‌به‌گام پیش می‌برد، توضیح می‌دهد کی بر n و کی بر n منهای 1 تقسیم کنیم و نشان می‌دهد پس از به دست آوردن جواب چطور آن را بخوانیم.

انحراف معیار چه چیزی را می‌سنجد

میانگین به شما می‌گوید مرکز یک مجموعه‌داده کجاست، اما نمی‌گوید مقدارها چقدر فشرده دور آن جمع شده‌اند. انحراف معیار این خلأ را پر می‌کند. انحراف معیار کوچک یعنی مقدارها نزدیک میانگین‌اند و انحراف معیار بزرگ یعنی به‌طور گسترده پراکنده‌اند. انحراف معیار با همان یکای داده‌ها اندازه‌گیری می‌شود، پس انحراف معیار 5 سانتی‌متر برای قدها یعنی قد معمول تقریباً 5 سانتی‌متر با میانگین فاصله دارد.

منطق محاسبه ساده است. فاصلهٔ هر مقدار از میانگین را اندازه بگیرید، این فاصله‌ها را به توان دو برسانید تا مقدارهای بالا و پایین میانگین یکدیگر را خنثی نکنند، از مجذورها میانگین بگیرید و در پایان جذر بگیرید تا به یکای اصلی برگردید. اگر به یادآوری خود میانگین نیاز دارید، از میانگین، میانه، مد و انحراف معیار شروع کنید.

دو فرمول

بسته به اینکه داده‌های شما کل یک جامعه باشند یا نمونه‌ای برگرفته از جامعه‌ای بزرگ‌تر، دو نسخه وجود دارد:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

انحراف معیار جامعه $\sigma$ بر تعداد مقدارها $N$ تقسیم می‌کند. انحراف معیار نمونه $s$ بر $n - 1$ تقسیم می‌کند. کمیت زیر رادیکال واریانس است که آن را $\sigma^2$ یا $s^2$ می‌نویسند. واریانس در نظریه مفید است، اما یکایش مجذور است، مثلاً سانتی‌متر مربع، و به همین دلیل معمولاً انحراف معیار گزارش می‌شود.

پنج گام، با دست

مثال 1: انحراف معیار پنج مقدار

داده‌ها: 6، 8، 10، 12، 14. گام 1، میانگین را پیدا کنید: $\frac{50}{5} = 10$ .
گام 2، میانگین را از هر مقدار کم کنید: $-4, -2, 0, 2, 4$ .
گام 3، هر انحراف را به توان دو برسانید: $16, 4, 0, 4, 16$ .
گام 4، مجذورها را جمع کنید: $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ .
گام 5، تقسیم کنید و جذر بگیرید. به عنوان جامعه: $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ . به عنوان نمونه: $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ .

جدولی با ستون‌های $x$ ، $x - \bar{x}$ و $(x - \bar{x})^2$ کار را منظم نگه می‌دارد. وارسی مفید این است که مجموع انحراف‌های ستون دوم همیشه صفر است. اگر نباشد، میانگین نادرست است و هر چه پس از آن بیاید هم نادرست خواهد بود.

چرا برای نمونه بر n منهای 1 تقسیم می‌کنیم؟

وقتی با نمونه کار می‌کنید، میانگین واقعی جامعه را نمی‌دانید، پس انحراف‌ها را از میانگین نمونه می‌سنجید. میانگین نمونه بنا به ساختارش نقطه‌ای است که مجموع مجذور انحراف‌ها را برای همان نمونهٔ خاص کمینه می‌کند. بنابراین انحراف‌هایی که از آن سنجیده می‌شوند، به‌طور میانگین، اندکی کوچک‌تر از انحراف‌ها نسبت به میانگین واقعی‌اند.

تقسیم بر $n - 1$ به جای $n$ این را جبران می‌کند و واریانس نمونه را برآوردی نااریب از واریانس جامعه می‌سازد. این تعدیل تصحیح بسل نام دارد. راه دیگر دیدن آن درجهٔ آزادی است: وقتی میانگین و $n - 1$ انحراف را بدانید، انحراف آخر تعیین‌شده است، چون مجموع انحراف‌ها باید صفر شود. فقط $n - 1$ انحراف اطلاعات مستقل دارند.

در عمل از فرمول نمونه استفاده کنید، مگر اینکه داده‌هایتان واقعاً همهٔ اعضای گروه مورد نظرتان را در بر بگیرند، مثلاً نمرهٔ همهٔ دانش‌آموزان یک کلاس وقتی فقط همان کلاس برایتان مهم است.

فرمول میان‌بُر و جدول فراوانی

فرمولی که از نظر جبری هم‌ارز است، از محاسبهٔ جداگانهٔ هر انحراف بی‌نیازتان می‌کند:

\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2

برای داده‌های مثال 1، $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ ، پس $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ ، مانند قبل. این میان‌بُر برای محاسبهٔ دستی سریع است، اما رایانه‌ها با عددهای بزرگ یا بسیار دقیق از آن پرهیز می‌کنند، چون تفریق دو عدد بزرگِ تقریباً برابر دقت را از بین می‌برد.

مثال 2: داده‌ها در جدول فراوانی

یک نظرسنجی تعداد حیوانات خانگی را در 10 خانه ثبت می‌کند: مقدار 1 در 2 خانه، مقدار 2 در 5 خانه و مقدار 3 در 3 خانه آمده است.
میانگین: $\frac{1(2) + 2(5) + 3(3)}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$ .
مجذور انحراف‌های وزن‌دار: $2(1 - 2.1)^2 + 5(2 - 2.1)^2 + 3(3 - 2.1)^2 = 2.42 + 0.05 + 2.43 = 4.9$ .
به عنوان نمونه: $s = \sqrt{\frac{4.9}{9}} \approx 0.738$ . به عنوان جامعه: $\sigma = \sqrt{\frac{4.9}{10}} = 0.7$ .

تفسیر نتیجه

برای داده‌هایی که تقریباً از توزیع نرمال زنگوله‌ای پیروی می‌کنند، قاعدهٔ تجربی برداشتی ملموس از انحراف معیار می‌دهد: حدود 68 درصد مقدارها در فاصلهٔ یک انحراف معیار از میانگین، حدود 95 درصد در فاصلهٔ دو و حدود 99.7 درصد در فاصلهٔ سه انحراف معیار قرار دارند. اگر قد بزرگسالان یک گروه میانگین 170 سانتی‌متر و انحراف معیار 8 داشته باشد، تقریباً 95 درصد گروه قدی میان 154 و 186 سانتی‌متر دارند.

برای داده‌هایی با هر شکلی، نابرابری چبیشف همچنان تضمین می‌کند که دست‌کم 75 درصد مقدارها در فاصلهٔ دو انحراف معیار از میانگین و دست‌کم حدود 89 درصد در فاصلهٔ سه انحراف معیار باشند. بیان فاصلهٔ یک مقدار از میانگین بر حسب انحراف معیار، نمرهٔ z آن را می‌دهد که امکان مقایسهٔ مقدارهای سنجیده‌شده در مقیاس‌های متفاوت را فراهم می‌کند.

انحراف معیار به تغییر داده‌ها هم به‌شکلی پیش‌بینی‌پذیر واکنش نشان می‌دهد. افزودن یک ثابت یکسان به همهٔ مقدارها میانگین را جابه‌جا می‌کند اما انحراف معیار را تغییر نمی‌دهد، چون پراکندگی همان است. ضرب همهٔ مقدارها در یک ثابت، انحراف معیار را در قدرمطلق آن ثابت ضرب می‌کند، پس تبدیل متر به سانتی‌متر آن را در 100 ضرب می‌کند.

استفاده از ماشین‌حساب یا صفحه‌گسترده

ماشین‌حساب‌های علمی معمولاً دو کلید دارند که اغلب برای نسخهٔ جامعه $\sigma_x$ یا $\sigma_n$ و برای نسخهٔ نمونه $s_x$ یا $\sigma_{n-1}$ برچسب خورده‌اند. در صفحه‌گسترده‌هایی مانند اکسل و گوگل شیتس، نام تابع‌ها به انگلیسی می‌ماند: STDEV.P انحراف معیار جامعه و STDEV.S انحراف معیار نمونه را حساب می‌کند؛ تابع قدیمی‌تر STDEV هم مقدار نمونه را می‌دهد. انتخاب تابع نادرست رایج‌ترین دلیل ناهمخوانی جواب‌هاست.

ماشین‌حساب انحراف معیار هر دو نسخه را همراه با جدول کامل انحراف‌ها نشان می‌دهد که برای وارسی تکلیف‌های دستی ایده‌آل است. ماشین‌حساب میانگین، میانه و مد دیگر آماره‌های خلاصه را اضافه می‌کند و ماشین‌حساب نمرهٔ z از نتیجه برای استانداردسازی تک‌تک مقدارها استفاده می‌کند.

مقایسهٔ پراکندگی در مقیاس‌های متفاوت

وقتی میانگین‌ها بسیار متفاوت‌اند، مقایسهٔ انحراف معیارها دشوار است. انحراف معیار 2 کیلوگرم برای نوزادان زیاد است اما برای فیل‌های بالغ ناچیز. ضریب تغییرات این مشکل را با تقسیم انحراف معیار بر میانگین حل می‌کند و اغلب به صورت درصد بیان می‌شود. دو سرمایه‌گذاری با بازده سالانهٔ میانگین 6 و 9 درصد و انحراف معیار 3 و 9 واحد درصد، ضریب تغییرات 50 و 100 درصد دارند، پس دومی نسبت به بازده معمولش دو برابر پرنوسان‌تر است.

اشتباه‌های رایج

فراموش کردن مجذور گرفتن از انحراف‌ها، که باعث می‌شود مقدارهای مثبت و منفی یکدیگر را تا صفر خنثی کنند.
فراموش کردن جذر پایانی و گزارش واریانس به جای انحراف معیار.
قاطی کردن فرمول نمونه و جامعه یا فشردن کلید نادرست ماشین‌حساب.
گرد کردن شدید میانگین پیش از محاسبهٔ انحراف‌ها که خطای گردکردن را انباشته می‌کند.
برخورد با جدول فراوانی طوری که گویی هر مقدار فقط یک بار آمده است.

پرسش‌های متداول

از انحراف معیار نمونه استفاده کنم یا جامعه؟

فرمول جامعه را فقط وقتی به کار ببرید که داده‌هایتان همهٔ اعضای گروهی را که می‌خواهید توصیف کنید در بر بگیرد. اگر داده‌ها نمونه‌ای برای شناخت گروهی بزرگ‌ترند، که حالت معمول است، از فرمول نمونه با $n - 1$ استفاده کنید.

اصلاً چرا از واریانس جذر می‌گیریم؟

واریانس میانگین مجذور انحراف از میانگین است و انحراف معیار جذر آن است. هر دو همان اطلاعات را دارند، اما انحراف معیار با یکای اصلی بیان می‌شود و تفسیرش آسان‌تر است.

انحراف معیار صفر چه معنایی دارد؟

همهٔ مقدارهای مجموعه‌داده یکسان‌اند، پس هیچ پراکندگی‌ای وجود ندارد. هر تغییری، هر قدر کوچک، انحراف معیار را مثبت می‌کند.

آیا انحراف معیار بزرگ بد است؟

نه لزوماً. فقط یعنی داده‌ها پراکنده‌اند. خوب یا بد بودنش به زمینه بستگی دارد: پراکندگی زیاد در زمان‌های تحویل بد است، در حالی که پراکندگی زیاد در آزمایش اصلاح نژاد گیاهان ممکن است دقیقاً همان چیزی باشد که پژوهشگر امیدوار است بیابد.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.