ماشین‌حساب انحراف معیار: نمونه و جامعه

Q: انحراف معیار چیست؟

جذر میانگین مربع فاصلهها از میانگین است و نشان میدهد یک مقدار معمولی چقدر از میانگین دور است.

Q: از فرمول نمونه استفاده کنم یا جامعه؟

وقتی دادههای کل گروه را دارید از فرمول جامعه استفاده کنید. وقتی دادههایتان بخشی است که برای توصیف گروهی بزرگتر به کار میرود از فرمول نمونه استفاده کنید؛ این رایجترین حالت است.

Q: چرا فرمول نمونه بر n − 1 تقسیم میکند؟

میانگین نمونه از میانگین واقعی به مقدارهای نمونه نزدیکتر است و این انحرافها را کوچکتر میکند. تقسیم بر n-1 (تصحیح بسل) این کمبود را جبران میکند و برآوردی نااریب از واریانس میدهد.

Q: آیا انحراف معیار میتواند صفر باشد؟

بله، دقیقاً وقتی همهٔ مقدارها برابر باشند. هرگز نمیتواند منفی باشد.

Q: به چند مقدار نیاز دارم؟

برای انحراف معیار جامعه یک مقدار کافی است (و حاصل 0 میشود). فرمول نمونه دستکم به دو مقدار نیاز دارد.

Q: تفاوت واریانس و انحراف معیار چیست؟

واریانس میانگین مربع انحرافهاست و انحراف معیار جذر آن است که مقیاس را به واحدهای داده برمیگرداند.

Q: چه انحراف معیاری خوب یا زیاد است؟

مرز همگانی وجود ندارد؛ به مقیاس دادهها بستگی دارد. آن را با میانگین مقایسه کنید، یا از ضریب تغییرات s/(x̄) استفاده کنید تا بفهمید پراکندگی نسبت به مقدارهای معمولی زیاد است یا نه.

Q: دادهٔ پرت چه اثری بر انحراف معیار دارد؟

اثری قوی، چون هر انحراف به توان دو میرسد. جایگزین کردن 7 با 70 در مثال، انحراف معیار نمونه را از حدود 1.87 به بیش از 26 میرساند.

دربارهٔ ماشین‌حساب انحراف معیار

انحراف معیار نشان می‌دهد مقدارهای داده چقدر حول میانگینشان پراکنده‌اند. انحراف معیار کوچک یعنی مقدارها به میانگین نزدیک‌اند و انحراف معیار بزرگ یعنی در گسترهٔ وسیعی پخش شده‌اند.

وقتی داده‌هایتان همهٔ اعضای گروه مورد نظر را در بر می‌گیرد از فرمول جامعه استفاده کنید، و وقتی داده‌ها نمونه‌ای برای برآورد جامعه‌ای بزرگ‌تر است از فرمول نمونه که بر $n-1$ تقسیم می‌کند.

انحراف معیار چه چیزی را می‌سنجد؟

انحراف معیار میزان پراکندگی مجموعه‌ای از عددها را حول میانگینشان می‌سنجد. انحراف معیار کوچک یعنی مقدارها به میانگین نزدیک‌اند و انحراف معیار بزرگ یعنی در گسترهٔ وسیعی پخش شده‌اند. ممکن است میانگین دو کلاس در یک آزمون هر دو 70 باشد، اما اگر انحراف معیار یکی 3 و دیگری 15 باشد، عملکرد گروه اول یکدست بوده و عملکرد گروه دوم از ضعیف تا عالی متغیر بوده است.

انحراف معیار از انحراف‌ها، یعنی فاصلهٔ مقدارها از میانگین، به دست می‌آید. مجموع این انحراف‌ها همیشه صفر است، پس پیش از میانگین‌گیری به توان دو می‌رسند و واریانس حاصل می‌شود. جذر واریانس نتیجه را به واحدهای اصلی برمی‌گرداند؛ انحراف معیار قدهایی که بر حسب سانتی‌متر اندازه گرفته شده‌اند، خودش هم بر حسب سانتی‌متر است.

روش استفاده از ماشین‌حساب انحراف معیار

عددها را در کادر «مجموعهٔ داده» وارد کنید یا بچسبانید و با ویرگول، فاصله یا خط جدید جدا کنید.
نمونه یا جامعه را انتخاب کنید.
روی «محاسبه کن» بزنید تا میانگین، مربع انحراف‌ها، واریانس و انحراف معیار را ببینید.

فرمول‌ها

انحراف معیار جامعه

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

انحراف معیار نمونه

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

واریانس

\sigma^2,\ s^2 = (\text{انحراف معیار})^2

مثال حل‌شده: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (نمونه)

مثال حل‌شده مقدارهای 4, 8, 6, 5, 3, 7 را نمونه در نظر می‌گیرد. میانگین $\frac{33}{6} = 5.5$ است. انحراف‌ها $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ هستند و مجموع مربعاتشان 17.5 است. تقسیم بر $n - 1 = 5$ واریانس نمونه را 3.5 می‌دهد و جذر آن انحراف معیار نمونه $s \approx 1.870828693$ است. برای مقایسه، اگر همین شش عدد را یک جامعهٔ کامل در نظر بگیریم، بر 6 تقسیم می‌کنیم و $\sigma \approx 1.707825128$ به دست می‌آید.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

s = 1.870828693

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

داده‌ها را نمونه‌ای از جامعه‌ای بزرگ‌تر در نظر بگیرید (تصحیح بسل، تقسیم بر n − 1)).

راه‌حل گام‌به‌گام

میانگین را پیدا کنید
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
هر انحراف از میانگین را به توان دو برسانید
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
مجذور انحراف‌ها را جمع کنید
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
بر n − 1 تقسیم کنید تا واریانس نمونه به دست آید
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
جذر بگیرید
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

فرمول‌های به‌کاررفته

انحراف معیار نمونه
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
انحراف معیار جامعه
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

انحراف معیار نشان می‌دهد مقدارها چقدر حول میانگین پراکنده‌اند. مقدار کوچک یعنی داده‌ها نزدیک میانگین جمع شده‌اند.

بررسی‌ها

واریانس = 3.5، و 1.870828693² = 3.5
انحراف معیار جامعه برای مقایسه: 1.707825128

توضیح کامل

نمونه در برابر جامعه در عمل

دو فرمول فقط در مقسوم‌علیه با هم فرق دارند، اما در مجموعه‌داده‌های کوچک این انتخاب مهم است. اگر عددها همهٔ اعضای گروه مورد نظر را نشان می‌دهند، مانند نمره‌های همهٔ 25 دانش‌آموز یک کلاس، از فرمول جامعه با $N$ استفاده کنید. اگر نمونه‌ای برای برآورد پراکندگی گروهی بزرگ‌تر است، مانند 25 دانش‌آموز انتخاب‌شده از کل یک مدرسه، از فرمول نمونه با $n - 1$ استفاده کنید. مثال دوم ماشین‌حساب، یعنی 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 به‌عنوان جامعه، میانگین 5 و مجموع مربع انحراف‌های 32 دارد، پس $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

تفسیر عدد

در داده‌هایی که تقریباً زنگوله‌ای شکل‌اند، قاعدهٔ تجربی می‌گوید حدود 68% مقدارها در فاصلهٔ یک انحراف معیار از میانگین، حدود 95% در فاصلهٔ دو انحراف معیار و حدود 99.7% در فاصلهٔ سه انحراف معیار قرار دارند. بنابراین مقداری که بیش از دو انحراف معیار از میانگین فاصله دارد غیرعادی است. تقسیم فاصلهٔ یک مقدار از میانگین بر انحراف معیار، نمرهٔ استاندارد آن را می‌دهد که به شما امکان می‌دهد نتیجه‌هایی با مقیاس‌های متفاوت، مانند نمرهٔ آزمون و زمان مسابقهٔ دو، را با هم مقایسه کنید.

انحراف معیار به داده‌های پرت حساس است، چون انحراف‌ها به توان دو می‌رسند و یک دادهٔ پرت می‌تواند آن را بسیار بزرگ کند. در داده‌های بسیار چوله، دامنهٔ میان‌چارکی اغلب خلاصهٔ بهتری از پراکندگی است.

اشتباه‌های رایج

استفاده از $n$ به جای $n - 1$ برای نمونه، که پراکندگی را کمتر از واقع برآورد می‌کند.
فراموش کردن به توان دو رساندن انحراف‌ها، که در آن صورت مثبت‌ها و منفی‌ها یکدیگر را خنثی می‌کنند و مجموع صفر می‌شود.
گزارش واریانس وقتی پرسش انحراف معیار را می‌خواهد.
گرد کردن میانگین پیش از محاسبهٔ انحراف‌ها، که همهٔ جمله‌های به توان دو رسیده را جابه‌جا می‌کند.
فراموش کردن جذر پایانی و گزارش واریانس به‌عنوان انحراف معیار.

نکته‌ها

در داده‌هایی که تقریباً زنگوله‌ای شکل‌اند، حدود 68% مقدارها در فاصلهٔ یک انحراف معیار از میانگین قرار دارند.
انحراف معیار همان واحد داده‌ها را دارد، اما واحد واریانس به توان دو است.
افزودن یک عدد ثابت به همهٔ مقدارها انحراف معیار را تغییر نمی‌دهد.
یک عدد ثابت به همهٔ مقدارها بیفزایید و انحراف معیار تغییر نمی‌کند؛ همهٔ مقدارها را در $k$ ضرب کنید و انحراف معیار در $|k|$ ضرب می‌شود.
با ماشین‌حساب نمرهٔ استاندارد ببینید یک مقدار چند انحراف معیار از میانگین فاصله دارد.

پرسش‌های متداول

انحراف معیار چیست؟

جذر میانگین مربع فاصله‌ها از میانگین است و نشان می‌دهد یک مقدار معمولی چقدر از میانگین دور است.

از فرمول نمونه استفاده کنم یا جامعه؟

وقتی داده‌های کل گروه را دارید از فرمول جامعه استفاده کنید. وقتی داده‌هایتان بخشی است که برای توصیف گروهی بزرگ‌تر به کار می‌رود از فرمول نمونه استفاده کنید؛ این رایج‌ترین حالت است.

چرا فرمول نمونه بر n − 1 تقسیم می‌کند؟

میانگین نمونه از میانگین واقعی به مقدارهای نمونه نزدیک‌تر است و این انحراف‌ها را کوچک‌تر می‌کند. تقسیم بر $n-1$ (تصحیح بسل) این کمبود را جبران می‌کند و برآوردی نااریب از واریانس می‌دهد.

آیا انحراف معیار می‌تواند صفر باشد؟

بله، دقیقاً وقتی همهٔ مقدارها برابر باشند. هرگز نمی‌تواند منفی باشد.

به چند مقدار نیاز دارم؟

برای انحراف معیار جامعه یک مقدار کافی است (و حاصل 0 می‌شود). فرمول نمونه دست‌کم به دو مقدار نیاز دارد.

تفاوت واریانس و انحراف معیار چیست؟

واریانس میانگین مربع انحراف‌هاست و انحراف معیار جذر آن است که مقیاس را به واحدهای داده برمی‌گرداند.

چه انحراف معیاری خوب یا زیاد است؟

مرز همگانی وجود ندارد؛ به مقیاس داده‌ها بستگی دارد. آن را با میانگین مقایسه کنید، یا از ضریب تغییرات $\frac{s}{\bar x}$ استفاده کنید تا بفهمید پراکندگی نسبت به مقدارهای معمولی زیاد است یا نه.

دادهٔ پرت چه اثری بر انحراف معیار دارد؟

اثری قوی، چون هر انحراف به توان دو می‌رسد. جایگزین کردن 7 با 70 در مثال، انحراف معیار نمونه را از حدود 1.87 به بیش از 26 می‌رساند.

انحراف معیار را حساب کنید

داده‌هایتان را در بالا وارد کنید و نمونه یا جامعه را برگزینید تا واریانس و انحراف معیار را با همهٔ گام‌ها ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید