رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

ماشین‌حساب احتمال

احتمال یک پیشامد، دو پیشامد مستقل، A به شرط B یا k موفقیت در n آزمایش را با کسرهای دقیق و نمایش همهٔ گام‌ها پیدا کنید.

احتمال‌ها می‌توانند عدد اعشاری (0.25)، کسر (1/4) یا درصد (25%) باشند.

نمونه‌ها

دربارهٔ ماشین‌حساب احتمال

احتمال میزان ممکن بودن رخ دادن یک پیشامد را روی مقیاسی از 0 (ناممکن) تا 1 (حتمی) می‌سنجد. بیشتر پرسش‌های کتاب‌های درسی در چند الگوی محدود جا می‌گیرند: شمردن پیامدهای مطلوب، ترکیب پیشامدهای مستقل، شرطی کردن بر اطلاعاتی که در دست دارید و شمردن موفقیت‌ها در آزمایش‌های تکراری. این ماشین‌حساب هر چهار الگو را پوشش می‌دهد.

ورودی‌ها می‌توانند عددهای صحیح برای پیامدها، عددهای اعشاری مانند 0.25، کسرهایی مانند 1/4 یا درصدهایی مانند 25% باشند. هر جا ممکن باشد، پاسخ به صورت کسر دقیق همراه با مقدار اعشاری و درصد آن داده می‌شود تا با قالبی که معلم یا کتابتان انتظار دارد جور باشد. هر حالت همچنین احتمال‌های متمم یا مرتبطی را نشان می‌دهد که پرسش‌ها معمولاً در ادامه می‌خواهند.

احتمال چیست؟

وقتی همهٔ پیامدهای یک آزمایش هم‌احتمال باشند، احتمال پیشامد AA برابر است با تعداد پیامدهای AA تقسیم بر تعداد کل پیامدها. پرتاب دو تاس 36 پیامد هم‌احتمال دارد که در شش تای آنها مجموع 7 است، پس P(مجموع=7)=636=16P(\text{مجموع} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16.

احتمال‌ها از چند قاعدهٔ ساده پیروی می‌کنند: بین 0 و 1 قرار دارند، احتمال رخ ندادن AA برابر 1−P(A)1 - P(A) است و احتمال رخ دادن AA یا BB برابر P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) + P(B) - P(A \cap B) است. احتمال شرطی و توزیع دوجمله‌ای مستقیماً بر همین قاعده‌ها بنا می‌شوند.

روش استفاده از ماشین‌حساب احتمال

  1. نوع مسئله را انتخاب کنید: «یک پیشامد (مطلوب ÷ کل)»، «دو پیشامد مستقل A و B»، «احتمال شرطی P(A | B)» یا «دوجمله‌ای: k موفقیت در n آزمایش».
  2. برای یک پیشامد، «پیامدهای مطلوب» و «تعداد کل پیامدها» را وارد کنید؛ پیامدها باید هم‌احتمال باشند.
  3. برای پیشامدهای مستقل P(A) و P(B) را وارد کنید؛ برای احتمال شرطی «P(A و B)» و P(B) را.
  4. برای مسئلهٔ دوجمله‌ای، «تعداد آزمایش‌ها n»، «احتمال موفقیت p» و «تعداد موفقیت‌ها k» را وارد کنید و انتخاب کنید که دقیقاً k، حداکثر k، کمتر از k، دست‌کم k یا بیشتر از k را می‌خواهید.
  5. روی «احتمال را محاسبه کن» بزنید و پاسخ دقیق، درصد و گام‌های پشتیبان را بخوانید.

فرمول‌ها

احتمال کلاسیک

P(A)=پیامدهای مطلوبتعداد کل پیامدهاP(A) = \frac{\text{پیامدهای مطلوب}}{\text{تعداد کل پیامدها}}

پیشامدهای مستقل

P(A∩B)=P(A) P(B)P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

احتمال شرطی

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

احتمال دوجمله‌ای

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

مثال حل‌شده: دو تاس: P(مجموع 7) = 6/36

مثال می‌پرسد احتمال اینکه مجموع دو تاس سالم 7 شود چقدر است. 6 پیامد مطلوب، یعنی (1,6)، (2,5)، (3,4)، (4,3)، (5,2) و (6,1)، از میان 36 پیامد وجود دارد، پس P=636=16≈0.1667P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667، یعنی حدود 16.67%.

ماشین‌حساب پیشامد متمم 1−16=561 - \frac16 = \frac56، یعنی احتمال هر مجموع دیگر، و بخت به سود پیشامد 6:306 : 30 را هم می‌دهد که پیامدهای مطلوب را به جای تعداد کل، با پیامدهای نامطلوب مقایسه می‌کند.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

P(A)=16≈0.16666667P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

یک پیشامد (برآمدهای مطلوب ÷ تعداد کل برآمدها)

راه‌حل گام‌به‌گام

  1. تعداد برآمدهای مطلوب را بر تعداد کل برآمدهای هم‌احتمال تقسیم کنید

    P(A)=636=16≈0.16666667P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

  2. متمم: پیشامد رخ نمی‌دهد

    P(A′)=1−P(A)=56≈0.83333333P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333

  3. بخت به سود پیشامد

    6:306 : 30

فرمول‌های به‌کاررفته

  • احتمال کلاسیک

    P(A)=برآمدهای مطلوبتعداد کل برآمدهاP(A) = \frac{\text{برآمدهای مطلوب}}{\text{تعداد کل برآمدها}}

  • پیشامد متمم

    P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)

پیشامد در 6 از 36 برآمد هم‌احتمال رخ می‌دهد، پس احتمال آن 16.666667% است؛ و با احتمال 83.333333% رخ نمی‌دهد.

توضیح کامل

پیشامدهای مستقل و قاعدهٔ جمع

پیشامدها مستقل‌اند وقتی دانستن رخ دادن یکی، احتمال دیگری را تغییر ندهد، مانند پرتاب‌های جداگانهٔ یک سکه. در این صورت احتمال رخ دادن هر دو، حاصل‌ضرب دو احتمال است. با P(A)=12P(A) = \frac12 و P(B)=0.3P(B) = 0.3 هر دو با احتمال 0.150.15 رخ می‌دهند، دست‌کم یکی با احتمال 0.5+0.3−0.15=0.650.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65، دقیقاً یکی با احتمال 0.65−0.15=0.50.65 - 0.15 = 0.5 و هیچ‌کدام با احتمال 0.5×0.7=0.350.5 \times 0.7 = 0.35.

ماشین‌حساب بررسی می‌کند که P(A∪B)+P(هیچ‌کدام)=1P(A \cup B) + P(\text{هیچ‌کدام}) = 1؛ آزمونی سودمند برای معقول بودن نتیجه، چون این دو حالت روی هم همهٔ پیامدها را پوشش می‌دهند.

احتمال شرطی

احتمال شرطی فضای نمونه را به پیامدهایی محدود می‌کند که در آنها BB رخ داده است و سپس می‌پرسد AA در این فضای کوچک‌تر چند بار هم رخ می‌دهد. اگر 12% مشتریان هم گوشی و هم قاب بخرند و 40% گوشی بخرند، آنگاه P(قاب∣گوشی)=0.120.4=0.3P(\text{قاب} \mid \text{گوشی}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3، یعنی 30% خریداران گوشی قاب هم می‌گیرند.

احتمال توأم نمی‌تواند از P(B)P(B) بیشتر باشد و P(B)P(B) باید مثبت باشد؛ ماشین‌حساب در هر دو حالت خطا گزارش می‌کند. به یاد داشته باشید که P(A∣B)P(A \mid B) و P(B∣A)P(B \mid A) معمولاً با هم فرق دارند و قضیهٔ بیز ابزاری است که یکی را به دیگری تبدیل می‌کند.

احتمال دوجمله‌ای

آزمایش دوجمله‌ای nn آزمایش مستقل را تکرار می‌کند که هر کدام احتمال موفقیت یکسان pp دارند. احتمال دقیقاً kk موفقیت، تعداد راه‌های قرار گرفتن موفقیت‌ها، یعنی (nk)\binom{n}{k}، را در احتمال هر یک از این ترتیب‌ها ضرب می‌کند. در حالت‌های حداکثر، دست‌کم، کمتر از یا بیشتر از kk، ماشین‌حساب جمله‌های مربوط را جمع می‌زند و می‌گوید کدام‌ها را جمع کرده است.

برای نمونه، احتمال آمدن دست‌کم 8 شیر در 10 پرتاب یک سکهٔ سالم 45+10+11024≈0.0547\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547 است. ماشین‌حساب میانگین npnp و انحراف معیار np(1−p)\sqrt{np(1-p)} توزیع را هم گزارش می‌کند.

اشتباه‌های رایج

  • ضرب کردن احتمال‌های پیشامدهایی که مستقل نیستند.
  • جمع کردن P(A)P(A) و P(B)P(B) بدون کم کردن اشتراک، که ممکن است حاصلی بیشتر از 1 بدهد.
  • اشتباه گرفتن P(A∣B)P(A \mid B) با P(B∣A)P(B \mid A).
  • شمردن پیامدهایی که هم‌احتمال نیستند، مانند هم‌احتمال فرض کردن مجموع‌های دو تاس از 2 تا 12.
  • اشتباه گرفتن بخت با احتمال؛ بخت 1 : 5 با احتمال 16\frac16 متناظر است.

نکته‌ها

  • برای پرسش‌های «دست‌کم یکی» از پیشامد متمم استفاده کنید: محاسبهٔ 1−P(هیچ)1 - P(\text{هیچ}) معمولاً سریع‌تر است.
  • در مسئله‌های کوچک، پیش از محاسبه فضای نمونه را بنویسید یا رسم کنید.
  • احتمال‌ها را به صورت کسر وارد کنید تا پاسخ دقیق بماند.
  • بررسی کنید که هر پاسخ بین 0 و 1 باشد.
  • پیش از تقسیم، با ماشین‌حساب جایگشت و ترکیب پیامدها را بشمارید.

پرسش‌های متداول

احتمال یک پیشامد را چطور حساب کنم؟

تعداد پیامدهای مطلوب را بر تعداد کل پیامدهای هم‌احتمال تقسیم کنید. برای مجموع 7 با دو تاس، این مقدار 6 ÷ 36 = 1/6 است.

احتمال رخ دادن هم‌زمان دو پیشامد مستقل را چطور پیدا کنم؟

دو احتمال را در هم ضرب کنید. با P(A) = 0.5 و P(B) = 0.3، هر دو با احتمال 0.15 رخ می‌دهند.

احتمال شرطی چیست؟

احتمال A به شرط آنکه B رخ داده باشد: P(A | B) = P(A و B) ÷ P(B). توجه را به پیامدهایی محدود می‌کند که B در آنها رخ می‌دهد.

کی از حالت دوجمله‌ای استفاده کنم؟

وقتی آزمایش تعداد ثابتی آزمایش مستقل دارد که هر کدام دو پیامد و احتمال موفقیت یکسان دارند، و احتمال تعداد مشخصی موفقیت را می‌خواهید.

آیا می‌توانم درصد یا کسر وارد کنم؟

بله. احتمال‌ها را می‌توان به صورت عدد اعشاری (0.25)، کسر (1/4) یا درصد (25%) نوشت. اما تعداد پیامدها در حالت یک پیشامد باید عدد صحیح باشد.

تفاوت بخت و احتمال چیست؟

احتمال پیامدهای مطلوب را با همهٔ پیامدها مقایسه می‌کند، اما بخت پیامدهای مطلوب را با پیامدهای نامطلوب. احتمال 1/6 با بخت 1 : 5 متناظر است.

«دست‌کم» را در مسئلهٔ دوجمله‌ای چطور حساب کنم؟

«P(X ≥ k) دست‌کم k» را انتخاب کنید. ماشین‌حساب احتمال‌ها را از k تا n جمع می‌زند و جمله‌هایی را که جمع کرده نشان می‌دهد.

احتمال خود را حساب کنید

نوع مسئله را انتخاب و مقدارها را در بالا وارد کنید تا احتمال دقیق و همهٔ گام‌ها را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنیداز حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر

ماشین‌حساب انحراف معیارآمارماشین‌حساب میانگین، میانه و مدآمارماشین‌حساب جایگشت و ترکیبآمارماشین‌حساب نمرهٔ استاندارد zآمارماشین‌حساب کسرریاضی عمومیماشین‌حساب درصدریاضی عمومی