نمرهٔ z با مثال‌های حل‌شده

نمرهٔ z چه چیزی را می‌سنجد

نمرهٔ خام به‌تنهایی چیز زیادی نمی‌گوید. گرفتن 85 در یک امتحان خوب به نظر می‌رسد، اما اگر همهٔ دیگران 95 گرفته باشند، در واقع ضعیف است. نمرهٔ z که نمرهٔ استاندارد هم نامیده می‌شود، این مشکل را با سنجیدن مقدار نسبت به گروهش حل می‌کند. به یک پرسش پاسخ می‌دهد: این مقدار چند انحراف معیار از میانگین فاصله دارد؟

در اینجا $x$ مقدار، $\mu$ میانگین و $\sigma$ انحراف معیار است. نمرهٔ z مثبت یعنی مقدار بالاتر از میانگین است، منفی یعنی پایین‌تر و صفر یعنی دقیقاً برابر میانگین. نمرهٔ z برابر 2 یعنی دو انحراف معیار بالاتر از میانگین، که در بیشتر مجموعه‌داده‌ها به‌طور غیرعادی بالاست. اگر به یادآوری محاسبهٔ خود انحراف معیار نیاز دارید، چطور انحراف معیار را حساب کنیم را ببینید.

محاسبهٔ گام‌به‌گام نمرهٔ z

یکاها همیشه حذف می‌شوند، چون صورت و مخرج هر دو با یکای اصلی سنجیده می‌شوند. همین است که نمرهٔ z را بی‌یکا و میان اندازه‌گیری‌های کاملاً متفاوت قابل مقایسه می‌کند.

مقایسهٔ نتیجه‌ها در مقیاس‌های متفاوت

کاربردی‌ترین استفادهٔ نمرهٔ z مقایسهٔ منصفانه است. فرض کنید دانش‌آموزی در امتحان شیمی با میانگین 75 و انحراف معیار 5 نمرهٔ 82 و در امتحان تاریخ با میانگین 80 و انحراف معیار 8 نمرهٔ 88 بگیرد. نمرهٔ تاریخ بالاتر است، اما کدام نتیجه چشمگیرتر است؟

نسبت به هم‌کلاسی‌ها، نتیجهٔ شیمی قوی‌تر است: 1.4 انحراف معیار بالاتر از میانگین در برابر 1.0. همین ایده به دانشمندان امکان می‌دهد اندازه‌گیری‌های ابزارهای مختلف را مقایسه کنند و به تحلیلگران امکان می‌دهد عملکرد یک شرکت را با صنعت‌هایی که مقدارهای معمولشان بسیار متفاوت است بسنجند.

برگشت از نمرهٔ z به مقدار

بازآرایی فرمول، مقدار خام متناظر با یک نمرهٔ z معین را می‌دهد:

در امتحانی با میانگین 70 و انحراف معیار 10، نمرهٔ z برابر $-1.2$ با $70 + (-1.2)(10) = 58$ متناظر است. این شکل برای تعیین حد نصاب مفید است، مثلاً تعیین اینکه دانش‌آموز به چه نمرهٔ خامی نیاز دارد تا در 10 درصد بالای کلاس قرار گیرد، همان‌طور که مثال 4 در ادامه نشان می‌دهد.

از نمرهٔ z به صدک

وقتی داده‌ها از توزیع نرمال، یعنی منحنی زنگوله‌ای، پیروی می‌کنند، نمرهٔ z را می‌توان به صدک تبدیل کرد، یعنی نسبت مقدارهایی که پایین‌تر از آن قرار دارند. توزیع نرمال استاندارد میانگین 0 و انحراف معیار 1 دارد و تابع تجمعی آن که با $\Phi(z)$ نوشته می‌شود همین نسبت را می‌دهد. چند مقدار شاخص ارزش به‌خاطرسپاری دارند:

• $\Phi(0) = 0.5$: میانگین روی صدک 50 قرار دارد.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ و $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$، پس دانش‌آموز مثال 1 از حدود 93 درصد کلاس نمرهٔ بالاتری گرفته است.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$، پس دانش‌آموز مثال 2 نزدیک صدک 21 است.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$، و به همین دلیل 1.96 در بازه‌های اطمینان 95 درصد ظاهر می‌شود.

قاعدهٔ تجربی منحنی زنگوله‌ای را خلاصه می‌کند: حدود 68 درصد مقدارها در فاصلهٔ یک انحراف معیار از میانگین، حدود 95 درصد در فاصلهٔ دو و حدود 99.7 درصد در فاصلهٔ سه انحراف معیار قرار دارند. بنابراین مقدارهایی با $|z| > 3$ نادرند و اغلب به عنوان دادهٔ پرت احتمالی بررسی می‌شوند.

نمرهٔ z برای میانگین نمونه

میانگین‌ها کمتر از تک‌مقدارها تغییر می‌کنند. اگر نمونه‌هایی به اندازهٔ $n$ از جامعه‌ای با میانگین $\mu$ و انحراف معیار $\sigma$ گرفته شوند، میانگین نمونه انحراف معیار $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ دارد که خطای استاندارد نامیده می‌شود. نمرهٔ z میانگین نمونه چنین است:

برای مثال، اگر میانگین نمرهٔ 25 دانش‌آموز در امتحان بالا 73 باشد، خطای استاندارد $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ و $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$ است. سه نمره افزایش برای یک دانش‌آموز عادی است، اما برای میانگین 25 دانش‌آموز آشکارا غیرعادی است. این فرمول نقطهٔ شروع آزمون‌های z و بازه‌های اطمینان در آمار مقدماتی است.

احتیاط‌ها در استفاده از نمرهٔ z

• تبدیل نمرهٔ z به صدک با $\Phi$ فقط وقتی معتبر است که داده‌ها تقریباً نرمال باشند. برای داده‌های به‌شدت چوله، مانند درآمد، صدک‌ها باید از خود داده‌ها به دست آیند.
• وقتی انحراف معیار جامعه را می‌دانید از آن استفاده کنید و در غیر این صورت انحراف معیار نمونه را به عنوان برآورد به کار ببرید؛ برای نمونه‌های کوچک باید از توزیع t استفاده کرد.
• نمرهٔ z جایگاه را درون یک گروه توصیف می‌کند. مقایسهٔ نمره‌های z گروه‌هایی با سطح توانایی بسیار متفاوت همچنان می‌تواند گمراه‌کننده باشد.
• علامت را نگه دارید. نمرهٔ z برابر $-2$ و $2$ به یک اندازه غیرعادی‌اند، اما معنای مخالف دارند.

ماشین‌حساب نمرهٔ z نمرهٔ z، صدک و مساحت میان دو مقدار را حساب می‌کند و ماشین‌حساب انحراف معیار میانگین و انحراف معیاری را که پیش از آن لازم دارید به دست می‌دهد.

نمرهٔ z در عمل کجا دیده می‌شود

کارنامه‌های آزمون‌های استاندارد اغلب نمره‌های خام را به نمره‌های مقیاس‌شده یا صدک‌هایی تبدیل می‌کنند که بر همان ایدهٔ نمرهٔ z بنا شده‌اند. پزشکان کودکان قد و وزن کودک را با نمودارهای رشد مقایسه می‌کنند و برخی ابزارهای بالینی این اندازه‌ها را مستقیماً به صورت نمرهٔ z برای سن کودک گزارش می‌دهند. سنجش تراکم استخوان نمرهٔ T گزارش می‌کند که در واقع نمرهٔ z نسبت به جوانان سالم است. مهندسان کنترل کیفیت قطعه‌هایی را که اندازه‌شان بیش از سه انحراف معیار از مقدار هدف فاصله می‌گیرد علامت می‌زنند و تحلیلگران مالی بازده‌ها را استاندارد می‌کنند تا صندوق‌هایی با سطح ریسک متفاوت روی یک مقیاس مقایسه شوند.

تمرین‌ها

1. مجموعه‌داده‌ای میانگین 50 و انحراف معیار 4 دارد. نمرهٔ z مقدار 56 را پیدا کنید. جواب: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. نمره‌ها میانگین 100 و انحراف معیار 15 دارند. کدام نمره $z = -2$ دارد؟ جواب: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. مقدارها نرمال با میانگین 500 و انحراف معیار 100 هستند. چه نسبتی پایین‌تر از 650 قرار دارند؟ جواب: $z = 1.5$، پس حدود $\Phi(1.5) \approx 0.9332$، یعنی 93 درصد.

پرسش‌های متداول