بردارهاجبر خطیدانشگاه≈ 0:42

ضرب داخلی و زاویه بین ⟨2, -1⟩ و ⟨1, 3⟩ را بیابید

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: u · v = -1, زاویه ≈ 98.130102°.

سرعتزبان

فصل‌ها

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

مسئله اصلی (انگلیسی): ضرب داخلی و زاویه بین ⟨2, -1⟩ و ⟨1, 3⟩ را بیابید

1. مسئله
مثال حل‌شده
ضرب داخلی و زاویه بین ⟨2, -1⟩ و ⟨1, 3⟩ را بیابید
2. گام‌ها، بخش 1
1. $(2)(1) + (-1)(3)$
  مؤلفه‌های متناظر را در هم ضرب کنید
2. $u v = 2 - 3 = -1$
  حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع کنید
3. $|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766$
  اندازهٔ بردارها را پیدا کنید
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ رادیان})$
  زاویهٔ میان دو بردار
3. گام‌ها، بخش 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle$
  تصویر اسکالر و برداری u بر v
4. جواب
$u v = -1$
u·v = -1
5. بررسی
- به‌طور دقیق محاسبه شد؛ ضرب داخلی متقارن است، پس v·u همان مقدار را می‌دهد.

مسئله. این مسئله است: ضرب داخلی و زاویه بین ⟨2, منفی 1⟩ و ⟨1, 3⟩ را بیابید. ضرب داخلی دو بردار 2بعدی.

گام‌ها، بخش 1. مؤلفه‌های متناظر را در هم ضرب کنید. حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع کنید. اندازهٔ بردارها را پیدا کنید. زاویهٔ میان دو بردار.

گام‌ها، بخش 2. تصویر اسکالر و برداری u بر v.

جواب. پس جواب این است: u ضرب در v مساوی منفی 1, زاویه تقریباً 98.130102°. ضرب داخلی منفی است، پس زاویهٔ میان دو بردار منفرجه است.

بررسی. به‌طور دقیق محاسبه شد؛ ضرب داخلی متقارن است، پس v ضرب در u همان مقدار را می‌دهد.