DérivéesAnalyseUniversité≈ 1:37

Dérivée de (e^(sin(x)))/(√(x²+x+1))

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: f'(x) = ((-2x - 1) / 2 + sqrt(x² + x + 1)²·cos(x))·e^sin(x) / sqrt(x² + x + 1)³.

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\frac{d}{dx}\left[\frac{{e}^{\sin\left( x\right)}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}\right]$
2. Étapes, partie 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{{e}^{\sin\left( x\right)}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}\right] = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
  Dérivée d’un quotient : (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{2}+ x+1}\right] = \frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}$
  Règle de dérivation en chaîne — d/dx[√u] = u′/(2√u)
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Dérivée d’une somme : dériver chaque terme séparément
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Dérivée d’une somme : dériver chaque terme séparément
3. Étapes, partie 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Dérivée d’une puissance : d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{\sin\left( x\right)}\right] = {e}^{\sin\left( x\right)} \cos\left( x\right)$
  Dérivée de l’exponentielle : d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. $\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
  d/dx[sin x] = cos x
4. $f'(x) = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
  Regrouper et simplifier
4. La réponse
$f'(x) = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
f'(x) = ((-2x - 1) / 2 + sqrt(x² + x + 1)²·cos(x))·e^sin(x) / sqrt(x² + x + 1)³
5. Vérification
- Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Dérivée de (e puissance sin(x)))/(sqrt(x au carré plus x plus 1)). Calculer la dérivée de (e puissance sin(x))) / (sqrt(x au carré plus x plus 1)) par rapport à x.

Étapes, partie 1. Dérivée d’un quotient: (u/v) prime égale (u prime v moins uv prime )/v au carré. Règle de dérivation en chaîne — d sur d x[la racine carrée de u] égale u prime /(2la racine carrée de u. Dérivée d’une somme: dériver chaque terme séparément. Dérivée d’une somme: dériver chaque terme séparément.

Étapes, partie 2. Dérivée d’une puissance: d sur d x[x puissance n] égale n fois x puissance n moins 1. Dérivée de l’exponentielle: d sur d x[eᵘ] égale eᵘ fois u prime. d sur d x[sin x] égale cos x. Regrouper et simplifier.

La réponse. La réponse est donc f prime de x égale ((moins 2x moins 1) / 2 plus sqrt(x au carré plus x plus 1) au carré fois cos(x)) fois e puissance sin(x) / sqrt(x au carré plus x plus 1) au cube. La dérivée se construit de l’extérieur vers l’intérieur: les sommes se séparent en termes, les constantes se mettent en facteur, les produits et les quotients suivent leurs formules, et chaque fonction composée est multipliée par la dérivée de sa fonction intérieure (dérivée d’une composée).

Vérification. Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

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