Calculatrice d’équations

Q: Comment les équations cubiques sont-elles résolues ?

La calculatrice teste les racines rationnelles possibles p/q, divise par chaque racine trouvée avec la méthode de Horner et résout ce qui reste. Les racines irrationnelles restantes sont trouvées numériquement.

Q: Combien de solutions une équation polynomiale peut-elle avoir ?

Une équation polynomiale de degré n a au plus n solutions réelles, et exactement n solutions complexes si l’on compte les racines multiples. L’équation quartique x^4 - 5x^2 + 4 = 0 a quatre racines réelles : -2, -1, 1 et 2.

Q: À quoi sert le théorème des racines rationnelles ?

Il limite les racines rationnelles possibles aux fractions p/q où p divise le terme constant et q divise le coefficient dominant. On obtient ainsi une courte liste de candidats à tester au lieu de deviner.

À propos de la calculatrice d’équations

Un solveur d’équations doit reconnaître le type de problème auquel il a affaire. Une équation du premier degré demande des opérations inverses, une équation du second degré demande le discriminant, et une équation cubique ou quartique peut se décomposer grâce au théorème des racines rationnelles.

Cette calculatrice regroupe les termes en un polynôme chaque fois que c’est possible et le résout de façon exacte. Pour des équations comme $2^x = 32$ ou $\sin x = 0.5$ , elle localise numériquement les racines réelles et les liste dans un intervalle indiqué. En l’absence de signe égal, elle simplifie ou évalue l’expression.

Qu’est-ce qu’une calculatrice d’équations ?

Une calculatrice d’équations prend une équation à une inconnue et renvoie toutes les valeurs qui la vérifient, avec la méthode employée. La méthode dépend du type d’équation. Une équation du premier degré comme $5x - 3 = 12$ ne demande que des opérations inverses. Une équation polynomiale comme $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ oblige à trouver ses racines une à une. Une équation comme $2^x = 32$ a l’inconnue en exposant et se traite autrement.

La calculatrice réécrit d’abord l’équation sous la forme d’une seule expression égale à zéro et vérifie si cette expression est un polynôme. Si c’est le cas, les racines sont trouvées de façon exacte ; sinon, les racines réelles sont localisées numériquement dans un intervalle indiqué. Si vous saisissez une expression sans signe égal, elle est développée et simplifiée : $(x + 3)^2$ devient ainsi $x^2 + 6x + 9$ .

Comment utiliser la calculatrice d’équations

Saisissez une équation comme x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0, ou une expression comme (x + 3)^2.
Utilisez ^ pour les puissances, * pour multiplier (facultatif entre un nombre et une lettre) et sqrt( ) pour les racines.
Appuyez sur Résoudre. La ligne d’interprétation vous indique la méthode choisie.

Formules

Théorème des racines rationnelles

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Formules des racines du second degré

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Théorème du facteur

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ est un facteur de } P(x)

Exemple corrigé: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

L’exemple résolu est l’équation cubique $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ . D’après le théorème des racines rationnelles, toute racine rationnelle doit diviser 6 : la calculatrice teste donc les candidats $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Elle trouve $x = 1$ , divise par le facteur correspondant et obtient $x^2 - 5x + 6$ ; elle trouve ensuite $x = 2$ , il reste $x - 3$ , et enfin $x = 3$ . En remplaçant chaque racine dans l’équation cubique de départ, on obtient 0, comme le confirment les vérifications.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

Comment nous avons lu votre problème

Équation polynomiale de degré 3 en x.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Solution étape par étape

Partir de l’équation
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Passer tous les termes dans un même membre
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles : x = 1 est une racine
La division synthétique (méthode de Horner) par (x - 1) laisse un polynôme de degré 2.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles : x = 2 est une racine
La division synthétique (méthode de Horner) par (x - 2) laisse un polynôme de degré 1.
$x - 3 = 0$
Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles : x = 3 est une racine
La division synthétique (méthode de Horner) par (x - 3) laisse un polynôme de degré 0.
Rassembler les solutions réelles
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Formules utilisées

Théorème des racines rationnelles
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

Un polynôme de degré 3 a exactement 3 racines comptées avec leur multiplicité (certaines peuvent être complexes). Les racines rationnelles exactes sont cherchées d’abord, puis les autres sont calculées exactement ou approchées.

Vérification

x = 1 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓
x = 2 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓
x = 3 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓

Explication détaillée

Équations polynomiales étape par étape

Le théorème du facteur dit que $r$ est racine d’un polynôme exactement lorsque $x - r$ en est un facteur. Ainsi, chaque racine trouvée par la calculatrice lui permet de diviser le polynôme par $x - r$ avec la méthode de Horner, ce qui abaisse le degré d’une unité. Lorsqu’il reste un polynôme du second degré, le discriminant et les formules des racines terminent le travail de façon exacte. C’est ainsi qu’une équation quartique comme $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ se résout en ses quatre racines $-2, -1, 1$ et $2$ .

Si le facteur restant n’a pas de racine rationnelle, ses racines réelles sont approchées numériquement et marquées du signe ≈, tandis que les racines complexes sont données pour les facteurs du second degré.

Équations non polynomiales

Pour les équations exponentielles, logarithmiques et trigonométriques, la calculatrice écrit l’équation sous la forme $f(x) = 0$ , parcourt l’intervalle de −100 à 100 à la recherche des points où $f$ change de signe et encadre chacun par dichotomie. Pour $2^x = 32$ , elle trouve $x \approx 5$ et le remplace pour montrer que les deux membres valent 32. Comme seul cet intervalle est exploré, la calculatrice le signale dans les étapes ; les équations périodiques comme $\sin x = 0.5$ ont une infinité de solutions, et seules celles de l’intervalle sont listées.

Erreurs fréquentes

Écrire 2x^2 quand on veut dire (2x)^2 ; la puissance passe avant la multiplication.
Attendre une seule réponse d’une équation cubique ; un polynôme de degré $n$ peut avoir jusqu’à $n$ racines réelles.
Écrire sin x sans parenthèses ; écrivez sin(x).
Diviser les deux membres par un facteur contenant $x$ et perdre les racines où ce facteur s’annule.
Oublier de passer tous les termes dans un même membre avant de chercher à factoriser.

Conseils

Passez tout dans un même membre et mettez en facteur avant de recourir aux formules.
Utilisez la calculatrice graphique pour voir combien de racines réelles attendre.
Pour les équations exponentielles, regardez si les deux membres peuvent s’écrire avec la même base.
Si la somme de tous les coefficients vaut 0, alors $x = 1$ est racine ; c’est le cas dans l’exemple résolu.
Lisez d’abord la ligne d’interprétation : elle indique comment la saisie a été comprise et quelle méthode a été utilisée.
Mettez en facteur, par exemple $x$ , avant de diviser ; $x^3 = 4x$ a trois solutions, pas deux.

Questions fréquentes

Quels types d’équations peut-elle résoudre ?

Les équations du premier degré, du second degré et polynomiales de tout degré, les équations rationnelles avec x au dénominateur et les équations à une variable contenant des exponentielles, des logarithmes ou des fonctions trigonométriques (résolues numériquement).

Comment les équations cubiques sont-elles résolues ?

La calculatrice teste les racines rationnelles possibles $\frac{p}{q}$ , divise par chaque racine trouvée avec la méthode de Horner et résout ce qui reste. Les racines irrationnelles restantes sont trouvées numériquement.

Pourquoi la réponse comporte-t-elle le signe ≈ ?

Le signe d’approximation indique que la racine a été localisée numériquement, avec environ 10 chiffres significatifs, faute d’expression exacte.

Puis-je simplifier une expression sans signe égal ?

Oui. Saisissez une expression comme (x + 3)^2 pour la développer et la simplifier, ou une expression numérique pour l’évaluer.

Trouve-t-elle les racines complexes ?

Les racines complexes sont données pour les équations du second degré et pour les polynômes une fois les racines réelles extraites. Les équations non polynomiales sont résolues dans les nombres réels.

Les réponses sont-elles vérifiées ?

Oui. Chaque racine est remplacée dans l’équation de départ et le résidu apparaît dans la section de vérification.

Combien de solutions une équation polynomiale peut-elle avoir ?

Une équation polynomiale de degré $n$ a au plus $n$ solutions réelles, et exactement $n$ solutions complexes si l’on compte les racines multiples. L’équation quartique $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ a quatre racines réelles : $-2, -1, 1$ et $2$ .

À quoi sert le théorème des racines rationnelles ?

Il limite les racines rationnelles possibles aux fractions $\frac{p}{q}$ où $p$ divise le terme constant et $q$ divise le coefficient dominant. On obtient ainsi une courte liste de candidats à tester au lieu de deviner.

Puis-je simplifier une expression sans la résoudre ?

Oui. Omettez le signe égal et la calculatrice développe et réduit les termes semblables au lieu de résoudre. Si vous saisissez $(x + 3)^2$ , elle renvoie $x^2 + 6x + 9$ .

Essayez la calculatrice d’équations

Saisissez une équation ou une expression et voyez quelle méthode est choisie et comment chaque racine est vérifiée.

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