Calculatrice de systèmes d’équations

À propos de la calculatrice de systèmes d’équations

Un système d’équations demande des valeurs qui vérifient plusieurs équations à la fois. Deux droites tracées dans un repère se coupent en un point, ne se coupent jamais ou sont confondues, et ces trois mêmes cas existent pour des systèmes à n’importe quel nombre d’inconnues. Cette calculatrice détermine dans quel cas vous êtes et, lorsque la solution est unique, la donne en fractions exactes plutôt qu’en décimales arrondies.

Elle utilise la méthode de Gauss-Jordan, la démarche systématique qui se cache derrière les méthodes par substitution et par combinaison vues en classe. Chaque opération sur les lignes figure dans la liste : vous pouvez suivre les calculs, les comparer à votre propre élimination et voir exactement où une inconnue disparaît ou où apparaît une contradiction.

Qu’est-ce qu’un système d’équations linéaires ?

Dans une équation linéaire, chaque inconnue n’apparaît qu’à la puissance un, comme dans $2x + 3y = 7$ . Un système est un ensemble de telles équations qui partagent les mêmes inconnues. Une solution est un choix de valeurs qui rend toutes les équations vraies en même temps.

Avec deux inconnues, chaque équation est une droite et une solution est un point d’intersection. Avec trois inconnues, chaque équation est un plan. Le système peut admettre une solution unique, une infinité de solutions (équations liées) ou aucune solution (système incompatible).

Comment utiliser la calculatrice de systèmes d’équations

Écrivez chaque équation sur sa propre ligne, par exemple 2x + 3y = 7 sur la première et x - y = 1 sur la deuxième.
Utilisez les lettres de votre choix comme inconnues. Il peut y avoir des termes dans les deux membres ; la calculatrice les ramène à la forme standard.
Les fractions et les nombres décimaux sont acceptés, comme 0.5x + y/3 = 2 ; les décimaux sont convertis en fractions exactes.
Appuyez sur Résoudre le système. Lisez la forme standard et la matrice augmentée, puis la liste des opérations sur les lignes.
Lisez le verdict : une solution unique, une description paramétrée de l’infinité de solutions ou la contradiction qui prouve qu’il n’y en a aucune.

Formules

Écriture matricielle

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Les coefficients forment $A$ et les seconds membres $\mathbf{b}$ ; la matrice augmentée est $[A \mid \mathbf{b}]$ .

Opérations élémentaires sur les lignes

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Aucune d’elles ne modifie l’ensemble des solutions.

Règle de Cramer (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Pour $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ avec un déterminant non nul.

Exemple corrigé: 2x + 3y = 7, x − y = 1

L’exemple résout $2x + 3y = 7$ et $x - y = 1$ . Le moteur écrit la matrice augmentée, divise la première ligne pour que son premier coefficient soit 1, élimine $x$ de la deuxième ligne puis élimine $y$ de la première.

La matrice réduite se lit directement : $x = 2$ et $y = 1$ . En remplaçant, on obtient $2(2) + 3(1) = 7$ et $2 - 1 = 1$ : les deux équations sont vérifiées.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

x = 2,\ y = 1

Comment nous avons lu votre problème

2 équations linéaires à 2 inconnues (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Solution étape par étape

Écrire chaque équation sous forme standard
Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Construire la matrice augmentée [A | b]
Colonnes : x, y | constante.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Méthode de Gauss-Jordan
Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne.
Diviser R1 par 2
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
Diviser R2 par -5/2
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Forme échelonnée réduite
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Lire la solution unique
$x = 2,\ y = 1$

Formules utilisées

Écriture matricielle
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Opérations élémentaires sur les lignes
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

Le système a exactement une solution ; en la remplaçant dans chaque équation, toutes sont vérifiées.

Vérification

Équation 1 : 2x + 3y = 7 ✓
Équation 2 : x - y = 1 ✓

Explication détaillée

Combinaison, substitution et matrices

La substitution isole une inconnue dans une équation et la remplace dans les autres. La combinaison additionne des multiples des équations pour qu’une inconnue s’élimine. La méthode de Gauss-Jordan, c’est la combinaison menée dans un ordre fixe sur la matrice augmentée : on choisit un pivot dans chaque colonne, on le ramène à 1 et on annule tous les autres coefficients de cette colonne.

La version matricielle n’est pas une autre méthode, seulement une écriture plus ordonnée. Chaque ligne est une équation sans les noms des inconnues, et chaque opération sur les lignes est une chose que vous pourriez faire à la main sur les équations. Comme les calculs se font en fractions exactes, aucune erreur d’arrondi ne peut transformer un système lié en une fausse solution unique.

Reconnaître l’absence de solution ou une infinité de solutions

Si l’élimination produit une ligne comme $[0\ 0 \mid 5]$ , cette ligne affirme $0 = 5$ , ce qui est impossible : le système est incompatible. Géométriquement, ce sont des droites parallèles qui ne se coupent jamais.

Si une ligne devient entièrement nulle, $[0\ 0 \mid 0]$ , cette équation était une combinaison des autres et n’apporte aucune information. Lorsqu’il y a moins de pivots que d’inconnues, les inconnues sans pivot sont libres. La calculatrice les désigne comme paramètres et exprime les autres inconnues en fonction d’elles, ce qui décrit toute la droite ou tout le plan de solutions.

Systèmes plus grands

Trois équations à trois inconnues suivent le même schéma avec une colonne de plus. La méthode s’étend à toutes les tailles, et la calculatrice accepte des systèmes ayant plus ou moins d’équations que d’inconnues, en indiquant honnêtement le résultat dans chaque cas.

Erreurs fréquentes

Multiplier un seul membre d’une équation, ou seulement certains termes, en la multipliant par un nombre.
Perdre un signe moins en soustrayant une équation à une autre ; soustrayez tous les termes, y compris le second membre.
Supposer qu’un système a toujours exactement une solution. Repérez les contradictions et les lignes nulles.
Écrire les inconnues dans un ordre différent d’une équation à l’autre, ce qui décale les colonnes de la matrice.
Arrondir des fractions en cours de calcul, ce qui peut faire paraître légèrement incompatible un système compatible.

Conseils

Alignez les inconnues dans le même ordre dans toutes les équations avant de commencer.
Éliminez d’abord l’inconnue dont les coefficients sont les plus simples.
Remplacez votre réponse dans toutes les équations de départ, pas seulement dans la dernière utilisée.
Avec deux inconnues, tracez les deux droites pour prévoir si elles se coupent une fois, jamais ou en tous leurs points.

Questions fréquentes

Combien d’équations faut-il pour trouver trois inconnues ?

En général, trois équations indépendantes. Avec moins, il reste des inconnues libres et une infinité de solutions ; avec plus, les équations supplémentaires doivent être compatibles avec les autres.

Que signifie le message « aucune solution » ?

L’élimination a produit une égalité impossible comme 0 = 5. Les équations se contredisent ; avec deux inconnues, les droites sont parallèles.

Que sont les inconnues libres ?

Ce sont celles qui n’ont pas de pivot après l’élimination. Elles peuvent prendre n’importe quelle valeur et les autres inconnues s’expriment en fonction d’elles, ce qui donne une infinité de solutions.

Puis-je saisir des équations avec des inconnues dans les deux membres ?

Oui. Chaque équation est réordonnée sous forme standard, avec les termes en inconnues à gauche et la constante à droite, avant le début de l’élimination.

Pourquoi les réponses sont-elles des fractions et non des décimaux ?

Le moteur calcule en arithmétique rationnelle exacte : des réponses comme 7/3 restent donc exactes. Passez en écriture décimale seulement à la fin si votre cours le demande.

Peut-elle résoudre des systèmes non linéaires comme x au carré plus y au carré égale 25 ?

Non. Cette calculatrice est conçue pour les systèmes linéaires. Pour une seule équation polynomiale, utilisez la calculatrice d’équations ; pour les intersections de courbes, la calculatrice graphique peut les montrer visuellement.

Essayez la calculatrice de systèmes d’équations

Saisissez une équation par ligne et suivez chaque opération sur les lignes jusqu’à la solution exacte.

Utiliser la calculatrice Demander au solveur IA