Comment calculer l’inverse d’une matrice

Qu’est-ce que l’inverse ?

Pour les nombres, l’inverse de 5 est $\frac{1}{5}$ car $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Les matrices n’ont pas de division, mais la même idée s’applique. L’inverse d’une matrice carrée $A$ est la matrice $A^{-1}$ qui vérifie :

Ici, $I$ est la matrice identité, l’équivalent matriciel du 1. Si $A$ décrit une transformation, comme tourner et étirer le plan, alors $A^{-1}$ est la transformation qui ramène tout à sa position de départ. Seules les matrices carrées peuvent avoir une inverse, et même pas toutes. Une matrice qui a une inverse est dite inversible ou régulière ; une matrice sans inverse est dite singulière.

Le critère est le déterminant : $A$ est inversible exactement quand $\det(A) \ne 0$. Un déterminant nul signifie que la matrice écrase l’espace sur une dimension inférieure : des entrées différentes aboutissent à la même sortie et il est impossible de défaire la transformation.

La formule pour les matrices 2 par 2

Pour une matrice $2 \times 2$, il existe une formule courte : échangez les coefficients de la diagonale principale, changez le signe des deux autres et divisez par le déterminant.

En revanche, $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ a pour déterminant $4 - 4 = 0$. Sa première ligne est le double de la seconde : elle n’a donc pas d’inverse, et la formule vous obligerait à diviser par zéro.

La méthode de Gauss-Jordan pour toute taille

Pour les matrices $3 \times 3$ et plus grandes, la méthode habituelle est celle de Gauss-Jordan. Écrivez $A$ et l’identité côte à côte dans une matrice augmentée $[A \mid I]$. Utilisez des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer la moitié gauche en $I$. Les mêmes opérations transforment la moitié droite en $A^{-1}$. Si une ligne de zéros apparaît à gauche, la matrice est singulière et n’a pas d’inverse.

Il se trouve que cette matrice a pour déterminant 1, c’est pourquoi son inverse ne contient que des entiers. La plupart des inverses contiennent des fractions : gardez donc les coefficients sous forme de fractions, et non de décimaux arrondis, pendant les calculs.

La formule de la comatrice

Il existe aussi une formule qui généralise la règle $2 \times 2$. Remplacez chaque coefficient par son cofacteur, le déterminant signé du mineur obtenu en supprimant la ligne et la colonne de ce coefficient : on obtient la comatrice. Transposez-la ensuite pour obtenir la matrice adjointe, notée $\operatorname{adj}(A)$ :

Cette formule est utile en théorie et pour des matrices $3 \times 3$ à coefficients simples, mais pour une matrice $3 \times 3$ elle demande neuf déterminants $2 \times 2$, et le travail augmente très vite avec la taille. Pour toute matrice plus grande, la méthode de Gauss-Jordan est le choix pratique.

Résoudre des systèmes avec l’inverse

Un système linéaire écrit $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ se résout en multipliant les deux membres à gauche par $A^{-1}$, ce qui donne $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. C’est l’équivalent de résoudre $5x = 10$ en divisant par 5.

La méthode est particulièrement pratique quand il faut résoudre plusieurs systèmes ayant les mêmes coefficients mais des seconds membres différents, car l’inverse n’est calculée qu’une fois. Pour un seul système, l’élimination est généralement plus rapide, comme l’explique résoudre des systèmes d’équations.

Propriétés des inverses

• L’inverse d’un produit inverse l’ordre, comme quand on retire ses chaussures puis ses chaussettes dans l’ordre inverse de celui où on les a mises.
• Si $A$ est inversible, son inverse est unique.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Pour un nombre $k$ non nul, $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• Une matrice diagonale à coefficients diagonaux non nuls s’inverse en prenant l’inverse de chaque coefficient diagonal.

Les inverses en pratique

Les matrices inverses sont essentielles en théorie et apparaissent en infographie, où annuler une transformation de la caméra revient à appliquer son inverse ; en cryptographie, où le chiffre de Hill déchiffre les messages avec une matrice inverse ; et en statistique, où la formule des moindres carrés pour la régression contient une inverse.

Pourtant, les logiciels de calcul numérique calculent rarement une inverse explicitement juste pour résoudre un système. Les méthodes fondées sur l’élimination sont plus rapides et moins sensibles aux erreurs d’arrondi, surtout avec des matrices presque singulières, dont le déterminant est proche de zéro. La calculatrice de matrice inverse affiche chaque étape de Gauss-Jordan avec des fractions exactes, et la calculatrice de matrices vous permet de vérifier que $AA^{-1}$ est bien l’identité.

Pourquoi la formule 2 par 2 fonctionne

La formule est facile à vérifier, et comprendre pourquoi elle marche aide à la retenir. Multipliez la matrice de départ par la matrice dont la diagonale est échangée et dont les autres coefficients ont changé de signe :

Le résultat est le déterminant multiplié par l’identité. En divisant par le déterminant, il reste exactement l’identité, ce que doit produire une inverse. Ce calcul montre aussi pourquoi un déterminant nul est rédhibitoire : le produit est alors la matrice nulle, et aucune mise à l’échelle ne peut la transformer en identité.

Erreurs fréquentes lors de l’inversion

• Changer le signe des coefficients diagonaux au lieu de les échanger dans la formule $2 \times 2$.
• Oublier de diviser par le déterminant à la fin.
• Appliquer une opération sur les lignes à la moitié gauche de $[A \mid I]$ mais pas à la moitié droite.
• Multiplier $\mathbf{b}$ du mauvais côté : la solution est $A^{-1}\mathbf{b}$, et $\mathbf{b}A^{-1}$ n’est généralement même pas défini.
• Arrondir les fractions en décimaux trop tôt, si bien que la vérification finale ne redonne plus exactement l’identité.

Toutes ces erreurs se repèrent avec la même habitude : multipliez votre résultat par la matrice de départ avant d’aller plus loin. La vérification prend une minute et coûte bien moins cher que de refaire tout le calcul plus tard.

Exercices

Essayez-les avant de regarder les solutions. D’abord, inversez la matrice de lignes $(2, 1)$ et $(5, 3)$. Son déterminant vaut $6 - 5 = 1$ : l’inverse est donc simplement la matrice dont la diagonale est échangée et dont les autres coefficients ont changé de signe, de lignes $(3, -1)$ et $(-5, 2)$. Ensuite, déterminez si la matrice de lignes $(3, 6)$ et $(1, 2)$ est inversible. Son déterminant vaut $6 - 6 = 0$ : elle est singulière. Puis inversez la matrice diagonale ayant 2, 4 et 5 sur sa diagonale : l’inverse a pour coefficients diagonaux un demi, un quart et un cinquième. Enfin, utilisez la première solution pour résoudre $2x + y = 4$ et $5x + 3y = 11$ : en multipliant l’inverse par le second membre, on obtient $x = 3(4) - 11 = 1$ et $y = -5(4) + 2(11) = 2$, et les deux équations sont vérifiées.

Questions fréquentes