L’algèbre linéaire est la mathématique des vecteurs et des matrices. Ces guides expliquent les opérations, leur sens géométrique et la façon de les calculer à la main sans étourderie.
Les matrices ressemblent à des tableaux de nombres, mais chacune décrit une transformation : une rotation, un étirement, une projection. Garder cette image en tête explique pourquoi le produit matriciel n’est pas commutatif, pourquoi un déterminant nul signifie qu’il n’y a pas d’inverse et ce qu’est vraiment un vecteur propre.
Chaque guide de cette rubrique associe le calcul à son sens. Vous verrez les règles sous forme de formules, des exemples corrigés en 2×2 et 3×3 avec chaque produit écrit, et des vérifications comme multiplier une matrice par son inverse pour retrouver l’identité. Les calculatrices de matrices, de déterminants, de matrices inverses, de valeurs propres, de produit scalaire et de produit vectoriel reproduisent les mêmes étapes.
Le calcul à la main reste important même si n’importe quel logiciel multiplie des matrices instantanément : il est évalué aux examens, et comprendre à la main un cas 2×2 ou 3×3 est ce qui permet d’interpréter ce que renvoie un ordinateur pour une matrice 100×100. Tous les exemples de cette rubrique sont assez petits pour être menés à bien sur papier.
Commencez par les bases du calcul matriciel, puis passez aux déterminants et aux inverses ; les vecteurs et les valeurs propres s’appuient sur les deux.
Algèbre linéaire
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres rangés en lignes et en colonnes. Les matrices stockent des données de façon compacte et, surtout, représentent des applications linéaires et des systèmes d’équations. Ce guide présente la notation et les opérations de base, en insistant sur le produit matriciel.
Algèbre linéaire
Le déterminant est un nombre unique calculé à partir d’une matrice carrée. Il indique si la matrice est inversible, comment elle multiplie les aires et les volumes et si elle inverse l’orientation. Ce guide présente toutes les méthodes de calcul habituelles, avec des exemples détaillés.
Algèbre linéaire
L’inverse d’une matrice carrée défait ce que fait la matrice, comme la division défait la multiplication. Une matrice est inversible exactement quand son déterminant est non nul. Ce guide présente la formule rapide pour les matrices 2 par 2, la méthode générale de Gauss-Jordan et la façon dont les inverses résolvent les systèmes d’équations.
Algèbre linéaire
Un vecteur propre d’une matrice est une direction que la matrice se contente d’étirer ou de retourner, sans jamais la faire tourner, et la valeur propre est le facteur d’étirement. Ils révèlent le comportement essentiel d’une matrice et sont à la base de la diagonalisation, de l’étude de stabilité, des chaînes de Markov et de la compression de données.
Algèbre linéaire
Le produit scalaire combine deux vecteurs en un seul nombre qui mesure à quel point ils pointent dans la même direction. C’est l’outil pour trouver l’angle entre deux vecteurs, vérifier s’ils sont orthogonaux, projeter un vecteur sur un autre et calculer le travail d’une force en physique.
Algèbre linéaire
Le produit vectoriel multiplie deux vecteurs de l’espace et renvoie un nouveau vecteur orthogonal aux deux. Sa norme est égale à l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs, ce qui en fait l’outil de référence pour les vecteurs normaux, les aires, les moments de force et les volumes.