Le produit vectoriel de deux vecteurs expliqué

Ce que donne le produit vectoriel

Le produit scalaire transforme deux vecteurs en un nombre. Le produit vectoriel, lui, transforme deux vecteurs en un troisième vecteur. Il n’est défini qu’en dimension trois, et son résultat a deux caractéristiques essentielles. Sa direction est orthogonale aux deux vecteurs de départ, et sa norme est égale à l’aire du parallélogramme qu’ils forment :

Ici, $\theta$ est l’angle entre les vecteurs, compris entre 0 et 180 degrés. Comme le sinus de 0 et de 180 degrés est nul, le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est toujours nul, et des vecteurs orthogonaux donnent la plus grande norme possible pour leurs longueurs.

La formule avec les coordonnées

Pour $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ et $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$, les coordonnées sont :

Cette formule est difficile à mémoriser, c’est pourquoi la plupart des gens utilisent plutôt un déterminant symbolique. Placez les vecteurs unitaires $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ et $\mathbf{k}$ sur la première ligne, puis les coordonnées de $\mathbf{a}$ et de $\mathbf{b}$, et développez selon la première ligne :

Terminez toujours par les deux vérifications avec le produit scalaire. Elles prennent quelques secondes et repèrent presque toutes les erreurs de signe, surtout sur la coordonnée du milieu.

La règle de la main droite et l’ordre

Il existe deux sens opposés orthogonaux aux deux vecteurs, et la règle de la main droite en choisit un. Pointez les doigts de la main droite le long de $\mathbf{a}$, repliez-les vers $\mathbf{b}$, et le pouce indique la direction de $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. Pour les vecteurs unitaires de la base canonique, on obtient $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ et $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

Si l’on inverse l’ordre, le pouce pointe de l’autre côté : le produit vectoriel est donc antisymétrique :

Il n’est pas non plus associatif : $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, alors que $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. Il est en revanche distributif par rapport à l’addition, et les scalaires se factorisent, de sorte que $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

Aires de parallélogrammes et de triangles

Puisque sa norme est l’aire d’un parallélogramme, le produit vectoriel donne directement des aires à partir de coordonnées. Les vecteurs de l’exemple 1 définissent un parallélogramme d’aire $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$, et le triangle ayant ces deux côtés a une aire moitié moindre, environ 3,67.

Vecteurs normaux et équations de plans

Un plan est déterminé par l’un de ses points et un vecteur normal, orthogonal au plan. Comme le produit vectoriel de deux vecteurs du plan est orthogonal aux deux, c’est exactement un tel vecteur normal. Dans l’exemple 2, le vecteur $(6, 3, 2)$ est normal au plan passant par $P$, $Q$ et $R$, donc le plan a pour équation $6x + 3y + 2z = d$. En remplaçant par $P(1, 0, 0)$, on obtient $d = 6$.

Le plan est $6x + 3y + 2z = 6$, et $Q$ et $R$ le vérifient aussi : $3 \cdot 2 = 6$ et $2 \cdot 3 = 6$. La même idée sert sans cesse en images de synthèse 3D, où chaque triangle d’un modèle a besoin d’un vecteur normal pour déterminer son éclairage et la face tournée vers la caméra.

Le moment d’une force et d’autres applications en physique

Le moment d’une force, ou couple, qui mesure son effet de rotation, est un produit vectoriel : $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, où $\mathbf{r}$ va du point de rotation au point d’application de la force. Sa norme vaut $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

Le moment cinétique et la force magnétique exercée sur une charge en mouvement sont aussi des produits vectoriels, et dans chaque cas la règle de la main droite donne la direction du résultat.

Le produit mixte et le volume

En combinant les deux produits, on obtient le produit mixte $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$, égal au déterminant $3 \times 3$ dont les lignes sont $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ et $\mathbf{c}$. Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs. Pour $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ et $(0, 0, 3)$, le parallélépipède est un simple pavé droit et le produit mixte vaut $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Un produit mixte nul signifie que les trois vecteurs sont coplanaires.

La calculatrice de produit vectoriel calcule les produits vectoriels en détaillant chaque étape du déterminant, et donne aussi les aires et l’angle entre les vecteurs. Associez-la à la calculatrice de produit scalaire pour vérifier l’orthogonalité.

Distance d’un point à une droite

L’interprétation en termes d’aire résout aussi un problème classique de distance. Prenez une droite passant par un point $A$ et de vecteur directeur $\mathbf{u}$, et un point $P$ extérieur à la droite. Le parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AP}$ et $\mathbf{u}$ a pour aire $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, et comme sa base mesure $|\mathbf{u}|$, sa hauteur, qui est la distance de $P$ à la droite, est l’aire divisée par la base.

Par exemple, prenez la droite passant par l’origine de vecteur directeur $(1, 2, 2)$ et le point $P(2, 1, 3)$. Le produit vectoriel $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ a pour norme $\sqrt{26}$, et le vecteur directeur a pour norme 3, donc la distance vaut $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. Vous pouvez le confirmer par une projection : le point est à $\sqrt{14}$ de l’origine et son projeté sur la droite est à $\frac{10}{3}$, et le théorème de Pythagore donne la même distance.

Erreurs fréquentes et exercices

• Oublier le signe moins de la coordonnée du milieu en développant le déterminant.
• Inverser l’ordre des vecteurs, ce qui change le sens du résultat.
• Prendre la norme du produit vectoriel pour l’aire du triangle au lieu de sa moitié.
• Vouloir calculer le produit vectoriel de vecteurs du plan sans leur ajouter d’abord une troisième coordonnée nulle.

Pour vous entraîner, vérifiez que $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$, ce qui est la règle $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$. Confirmez ensuite que $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ est le vecteur nul, puisque le second vecteur est le double du premier. Enfin, calculez $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$ ; vous devriez obtenir $(1, -1, 1)$, et les deux vérifications par produit scalaire devraient donner zéro.

Pourquoi la formule donne un vecteur orthogonal

Il vaut la peine de comprendre pourquoi la formule avec les coordonnées fonctionne, plutôt que de simplement lui faire confiance. Faites le produit scalaire du résultat avec $\mathbf{a}$ lui-même : vous obtenez $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$. En développant, chaque terme apparaît deux fois avec des signes opposés, donc le total est exactement nul. La même simplification se produit avec $\mathbf{b}$. Dans le langage des déterminants, faire le produit scalaire avec $\mathbf{a}$ remplace la ligne des vecteurs unitaires par $\mathbf{a}$, ce qui donne un déterminant ayant deux lignes égales, et un tel déterminant est toujours nul. Dans les deux cas, l’orthogonalité est inscrite dans la formule et ne doit rien au hasard de quelques exemples particuliers.

Questions fréquentes