Calculatrice de produit scalaire

À propos de la calculatrice de produit scalaire

Le produit scalaire est la façon la plus simple de comparer deux vecteurs. On multiplie les composantes correspondantes et on additionne les résultats, ce qui donne un seul nombre mesurant à quel point les vecteurs pointent dans la même direction. À partir de ce nombre, vous pouvez trouver l’angle qu’ils forment, vérifier s’ils sont orthogonaux et projeter un vecteur sur un autre.

Cette calculatrice accepte des vecteurs ayant un nombre quelconque de composantes, pourvu que les deux aient la même longueur. Elle affiche les produits des composantes, leur somme, les deux normes, l’angle en degrés ainsi que la projection scalaire et la projection orthogonale du premier vecteur sur le second. Si l’un des vecteurs est le vecteur nul, elle explique pourquoi l’angle ne peut pas être défini.

Qu’est-ce que le produit scalaire ?

Le produit scalaire de $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ et $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ est $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ . Contrairement au produit vectoriel, le résultat est un nombre, et non un vecteur.

Géométriquement, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ , où $\theta$ est l’angle formé par les vecteurs. Le produit scalaire est positif quand l’angle est aigu, nul quand les vecteurs sont orthogonaux et négatif quand l’angle est obtus.

Comment utiliser la calculatrice de produit scalaire

Saisissez les composantes du premier vecteur séparées par des virgules, par exemple 1, 2, 3.
Saisissez le second vecteur avec le même nombre de composantes.
Cliquez sur Calculer.
Lisez le produit scalaire, les normes et l’angle entre les vecteurs.
Utilisez l’étape de projection si vous avez besoin de la composante d’un vecteur dans la direction de l’autre.

Formules

Produit scalaire

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

Norme

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

Angle entre deux vecteurs

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

Projection de u sur v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

Exemple corrigé: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

L’exemple utilise $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ et $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ . Les produits des composantes valent 4, $-10$ et 18, dont la somme est 12.

Les normes valent $\sqrt{14}$ et $\sqrt{77}$ , donc $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ et l’angle mesure environ $68.56°$ . Le produit scalaire positif confirme que l’angle est aigu.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

u v = 12

Comment nous avons lu votre problème

Produit scalaire de deux vecteurs de dimension 3.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

Solution étape par étape

Multiplier les composantes correspondantes
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
Additionner les produits
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
Calculer les normes
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
Angle entre les vecteurs
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
Projection scalaire et projection orthogonale de u sur v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

Formules utilisées

Produit scalaire
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

Le produit scalaire est positif : l’angle entre les vecteurs est donc aigu.

Vérification

Calculé de façon exacte ; le produit scalaire est symétrique, donc v·u donne la même valeur.

Explication détaillée

Mesurer des angles et tester l’orthogonalité

En isolant $\cos\theta$ dans la formule géométrique, on obtient l’angle entre deux vecteurs non nuls quelconques. Comme seul le signe de ce cosinus décide si un angle est aigu ou obtus, le signe du produit scalaire suffit à le savoir, avant même de calculer la moindre norme.

Deux vecteurs sont orthogonaux exactement lorsque leur produit scalaire est nul. Pour $\langle 1, 0 \rangle$ et $\langle 0, 1 \rangle$ , le produit scalaire vaut 0 et l’angle vaut $90°$ . Ce test fonctionne en toute dimension ; c’est pourquoi l’orthogonalité se définit par le produit scalaire en dimension quatre ou plus, où l’on ne peut pas dessiner les angles.

Projections orthogonales

La projection scalaire $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ est la longueur algébrique de l’ombre que $\mathbf{u}$ projette sur la droite dirigée par $\mathbf{v}$ . La projection orthogonale multiplie le vecteur unitaire dans la direction de $\mathbf{v}$ par cette longueur. En retranchant la projection de $\mathbf{u}$ , il reste la composante orthogonale à $\mathbf{v}$ : c’est l’idée sur laquelle reposent le procédé de Gram-Schmidt et la méthode des moindres carrés.

En physique, le travail d’une force constante $\mathbf{F}$ qui déplace un objet selon un déplacement $\mathbf{d}$ vaut $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : seule la composante de la force dans la direction du mouvement travaille.

Propriétés

Le produit scalaire est symétrique, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , et distributif par rapport à l’addition. Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est le carré de sa norme, et c’est ainsi que l’on calcule les normes. Multiplier l’un des vecteurs par $k$ multiplie le produit scalaire par $k$ , mais ne change pas l’angle lorsque $k$ est positif.

Le produit scalaire est aussi lié à la loi des cosinus (théorème d’Al-Kashi). En développant $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ , on obtient $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ , ce qui est exactement la loi des cosinus pour le triangle formé par les deux vecteurs et leur différence. Cette identité explique pourquoi la formule de l’angle fonctionne.

Erreurs fréquentes

Attendre un vecteur comme réponse ; le produit scalaire est un seul nombre.
Multiplier des composantes qui ne se correspondent pas, ou des vecteurs de longueurs différentes.
Oublier la racine carrée dans le calcul des normes.
Laisser la calculatrice en radians alors que l’angle est demandé en degrés.
Projeter sur le mauvais vecteur ; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ et $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ sont différents.

Conseils

Testez d’abord l’orthogonalité : un produit scalaire nul signifie un angle droit.
Utilisez le signe du produit scalaire pour prévoir si l’angle est aigu ou obtus.
Si vous normalisez d’abord les vecteurs à la longueur 1, le produit scalaire est directement $\cos\theta$ .
Utilisez la calculatrice de produit vectoriel lorsque vous avez besoin d’un vecteur orthogonal aux deux.
Utilisez la calculatrice de matrices pour obtenir de nombreux produits scalaires à la fois sous forme de produit matriciel.
Écrivez les deux vecteurs en colonnes côte à côte pour aligner les composantes correspondantes avant de multiplier.

Questions fréquentes

Comment calculer le produit scalaire ?

Multipliez les composantes correspondantes des deux vecteurs et additionnez les produits. Pour ⟨1, 2, 3⟩ et ⟨4, −5, 6⟩, on obtient 4 − 10 + 18 = 12.

Comment trouver l’angle entre deux vecteurs ?

Divisez le produit scalaire par le produit des normes et prenez l’arc cosinus. La calculatrice l’affiche en degrés.

Que signifie un produit scalaire nul ?

Que les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires), à condition qu’aucun des deux ne soit le vecteur nul.

Le produit scalaire peut-il être négatif ?

Oui. Un produit scalaire négatif signifie que l’angle entre les vecteurs est supérieur à 90°.

La calculatrice fonctionne-t-elle au-delà de trois dimensions ?

Oui. Les vecteurs peuvent avoir un nombre quelconque de composantes, pourvu que les deux en aient autant.

Quelle différence entre produit scalaire et produit vectoriel ?

Le produit scalaire donne un nombre qui mesure l’alignement et fonctionne en toute dimension. Le produit vectoriel donne un vecteur orthogonal aux deux vecteurs donnés et n’est défini que pour des vecteurs de l’espace à trois dimensions.

Que se passe-t-il si l’un des vecteurs est nul ?

Le produit scalaire vaut 0, mais l’angle n’est pas défini car le vecteur nul n’a pas de direction. La calculatrice le signale au lieu de donner un angle.

Essayez la calculatrice de produit scalaire

Saisissez deux vecteurs et obtenez leur produit scalaire, l’angle qu’ils forment et la projection, avec chaque étape expliquée.

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