La loi des cosinus expliquée avec des exemples

La formule

Notez le triangle de la façon habituelle : angles $A$, $B$, $C$ et côtés opposés $a$, $b$, $c$. La loi des cosinus, appelée en France théorème d’Al-Kashi, a trois versions, une par côté, qui suivent toutes le même schéma :

Lisez-la ainsi : le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, moins un terme correctif. L’angle de ce terme est celui qui est opposé au côté du membre de gauche, c’est-à-dire aussi l’angle compris entre les deux côtés du membre de droite. Lorsque $C = 90^\circ$, $\cos C = 0$ et la correction disparaît : il reste $c^2 = a^2 + b^2$. Le théorème de Pythagore en est donc un cas particulier.

En isolant le cosinus, on obtient la forme utilisée pour trouver les angles :

Une courte démonstration par les coordonnées

Placez le sommet $C$ à l’origine et le côté $a$ sur le demi-axe des abscisses positives : le sommet $B$ se trouve alors en $(a, 0)$. Le sommet $A$ est à la distance $b$ de l’origine dans la direction de l’angle $C$ : ses coordonnées sont donc $(b\cos C, b\sin C)$.

Le côté $c$ est la distance de $A$ à $B$. Par la formule de la distance, $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. En développant, on obtient $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$, et comme $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, cela donne $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. La démonstration vaut que $C$ soit aigu ou obtus, car les coordonnées gèrent automatiquement les signes.

La même identité apparaît sous forme vectorielle, $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, et c’est pourquoi le produit scalaire permet de trouver l’angle entre deux vecteurs.

Trouver un côté : deux côtés et l’angle compris

Quand on connaît deux côtés et l’angle qu’ils forment (CAC), la loi des sinus ne permet pas de démarrer, car aucun côté n’est associé à son angle opposé. La loi des cosinus donne directement le troisième côté.

Trouver les angles : les trois côtés

Lorsque les trois côtés sont connus (CCC), utilisez la forme du cosinus pour chaque angle. Commencez par le plus grand angle, opposé au plus long côté. S’il est obtus, son cosinus est négatif, et l’arc cosinus le traite correctement car il renvoie des angles de $0^\circ$ à $180^\circ$. Une fois le plus grand angle connu, les deux autres sont forcément aigus : même la loi des sinus pourrait alors terminer sans aucune ambiguïté.

Si les trois longueurs ne peuvent pas former un triangle, la formule le signale : le cosinus sort de $[-1, 1]$. Avec des côtés 3, 4 et 8, l’angle opposé à 8 aurait $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$, ce qui est impossible, en accord avec l’inégalité triangulaire $3 + 4 < 8$.

Acutangle, rectangle ou obtusangle sans calculatrice

Le signe de $a^2 + b^2 - c^2$ est celui de $\cos C$. Si $c$ est le plus long côté, on obtient une classification rapide :

• $c^2 < a^2 + b^2$ : le plus grand angle est aigu, donc le triangle est acutangle.
• $c^2 = a^2 + b^2$ : le triangle est rectangle.
• $c^2 > a^2 + b^2$ : le triangle est obtusangle.

Avec des côtés 5, 7 et 10, $100 > 74$ : le triangle est obtusangle, comme l’a confirmé l’exemple 3. Avec 6, 8 et 9, $81 < 100$ : il est acutangle.

L’aire à partir des trois côtés : la formule de Héron

En combinant la loi des cosinus et la formule de l’aire $\frac{1}{2}ab\sin C$, on aboutit à la formule de Héron, qui n’utilise que les longueurs des côtés. Soit $s = \frac{a + b + c}{2}$ le demi-périmètre. Alors :

Avec des côtés 5, 7 et 10, $s = 11$ et l’aire vaut $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$. En guise de vérification, $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ donne le même résultat, 16,25.

Choisir entre les deux lois

Utilisez la loi des cosinus dans les cas CAC et CCC, les deux cas où il n’y a aucun couple côté-angle opposé. Utilisez la loi des sinus quand vous avez un côté et son angle opposé. Dans les problèmes mixtes, la loi des cosinus intervient généralement en premier et la loi des sinus termine. Le guide pour résoudre un triangle rassemble tous les cas au même endroit.

Un avantage pratique de la loi des cosinus est qu’elle ne donne jamais de réponse ambiguë pour un angle, car chaque cosinus compris entre $-1$ et 1 correspond à exactement un angle entre $0^\circ$ et $180^\circ$. La loi des sinus, elle, ne distingue pas un angle aigu de son supplémentaire obtus. C’est pourquoi de nombreux manuels recommandent de calculer le plus grand angle avec le cosinus dès qu’un angle obtus est possible.

Erreurs fréquentes

• Calculer d’abord $a^2 + b^2 - 2ab$ puis multiplier par $\cos C$. Le produit $2ab\cos C$ doit être calculé avant la soustraction.
• Utiliser un angle qui n’est pas celui compris entre les deux côtés donnés.
• Oublier la racine carrée finale lorsqu’on cherche un côté.
• Mélanger degrés et radians sur la calculatrice.
• Arrondir $c$ trop tôt, puis utiliser cette valeur arrondie pour trouver les angles.

La calculatrice de la loi des cosinus résout les cas CAC, CCC et d’autres en affichant chaque substitution. Pour réviser les valeurs exactes du cosinus aux angles remarquables, consultez la calculatrice du cercle trigonométrique.

Où sert la loi des cosinus

Toute situation comportant deux distances connues et l’angle qu’elles forment relève de la loi des cosinus. Les navigateurs l’utilisent pour savoir à quelle distance du port se trouve un bateau après deux trajets de caps différents. Les ingénieurs s’en servent pour calculer la longueur d’un tirant ou d’un câble reliant les extrémités de deux poutres qui forment un angle connu. En robotique, l’angle que doit prendre chaque articulation d’un bras à deux segments pour atteindre un point s’obtient en isolant un angle dans la loi des cosinus, puisque l’on connaît les longueurs des deux segments et la distance à la cible.

La même formule mesure, en science des données, à quel point deux listes de nombres se ressemblent. Si l’on traite chaque liste comme un vecteur, le cosinus de l’angle qu’elles forment, calculé à partir du produit scalaire, s’appelle la similarité cosinus ; on l’utilise dans les moteurs de recherche et les systèmes de recommandation. La géométrie est identique à celle du triangle ; seul le nombre de dimensions change.

Exercices corrigés

1. Les côtés 4 et 6 forment un angle de $120^\circ$. Trouvez le troisième côté. Solution : $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$, puisque $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. Trouvez le plus grand angle du triangle de côtés 7, 8 et 13. Solution : $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$, donc l’angle mesure exactement $120^\circ$.
3. Le triangle de côtés 9, 12 et 15 est-il acutangle, rectangle ou obtusangle ? Solution : $81 + 144 = 225 = 15^2$, il est donc rectangle.
4. Trouvez l’aire du triangle de côtés 13, 14 et 15. Solution : $s = 21$, aire $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

Questions fréquentes