Calculatrice d’intégrales

Choisir une méthode

Il n’existe pas d’algorithme unique applicable à la main à toutes les intégrales : le savoir-faire consiste à reconnaître la forme. Commencez par la linéarité : séparez les sommes et sortez les facteurs constants, puis utilisez le tableau des primitives usuelles pour les puissances, les exponentielles, $\frac1x$ et les fonctions trigonométriques. Si une partie de la fonction est la dérivée d’une autre partie, essayez un changement de variable. S’il s’agit du produit de deux fonctions de types différents, comme un polynôme et une exponentielle ou un polynôme et un sinus, essayez l’intégration par parties. Les fractions rationnelles demandent une décomposition en éléments simples, et des formes comme $\frac{1}{x^2 + 1}$ mènent aux fonctions trigonométriques réciproques.

La calculatrice essaie ces méthodes dans un ordre semblable et nomme celle qui a abouti : ses étapes vous guident donc aussi pour choisir la méthode la prochaine fois.

Le changement de variable, étape par étape

Le changement de variable inverse la dérivée d’une composée. Dans $\int 2x\cos(x^2)\,dx$, la fonction intérieure est $x^2$ et sa dérivée $2x$ apparaît en facteur : on pose donc $u = x^2$ et $du = 2x\,dx$. L’intégrale devient $\int \cos u\,du = \sin u$, et en revenant à la variable de départ on obtient $\sin(x^2) + C$. La calculatrice montre chacune de ces lignes. Si la dérivée de la fonction intérieure n’apparaît qu’à un facteur constant près, par exemple dans $x\cos(x^2)$, le même changement fonctionne après ajustement par $\frac12$.

Intégration par parties et méthode du tableau

L’intégration par parties inverse la dérivée d’un produit : $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Choisissez pour $u$ le facteur qui se simplifie quand on le dérive, en général le polynôme, et pour $dv$ le facteur facile à intégrer. Quand $u$ est un polynôme de degré $n$, répéter le procédé $n$ fois le réduit à zéro, et la méthode du tableau organise ces répétitions en deux colonnes. C’est pourquoi l’exemple s’arrête après deux lignes : la dérivée de $x$ vaut 1, puis 0.

Intégrales définies et bornes d’intégration

Remplissez la borne inférieure et la borne supérieure pour transformer le problème en intégrale définie. La calculatrice trouve d’abord une primitive puis applique le théorème fondamental : pour $\int_0^3 x^2\,dx$, elle utilise $F(x) = \frac{x^3}{3}$ et calcule $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$. Les bornes peuvent être des expressions comme pi/2. Si vous n’avez besoin que du nombre, la calculatrice d’intégrales définies fonctionne aussi lorsqu’il n’existe pas de primitive élémentaire, car elle évalue l’aire numériquement.

Quand il n’y a pas de primitive élémentaire

Certaines fonctions d’apparence simple, comme $e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ et $\sqrt{1 + x^3}$, ont des primitives qui ne peuvent pas s’écrire comme une combinaison finie de polynômes, de racines, d’exponentielles, de logarithmes et de fonctions trigonométriques. C’est un résultat démontré, pas une lacune de méthode. Pour ces fonctions, la calculatrice indique qu’elle n’a pas trouvé de primitive au lieu d’en inventer une, et une intégrale définie sur un intervalle donné peut toujours être calculée numériquement.

Par exemple, la calculatrice d’intégrales définies évalue numériquement $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ et précise que le résultat est une approximation.

Pourquoi la constante d’intégration compte

Comme la dérivée de toute constante est nulle, $\frac{x^3}{3}$, $\frac{x^3}{3} + 5$ et $\frac{x^3}{3} - 2$ ont toutes pour dérivée $x^2$. Leurs courbes se déduisent les unes des autres par translation verticale, et le $+ C$ décrit toute cette famille. La constante est déterminée dès que l’on dispose d’une information supplémentaire, appelée condition initiale. Si une vitesse vaut $v(t) = 2t$ et que la position à l’instant 0 vaut 4, l’intégration donne $s(t) = t^2 + C$, et $s(0) = 4$ impose $C = 4$. Dans une intégrale définie, la constante s’élimine dans $F(b) - F(a)$, c’est pourquoi elle n’apparaît jamais dans un résultat numérique.

Aire algébrique et aire totale

Une intégrale définie compte positivement l’aire au-dessus de l’axe des abscisses et négativement celle qui se trouve en dessous. Sur une période complète, $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, alors que la courbe délimite une aire strictement positive : l’arche au-dessus de l’axe et le creux en dessous se compensent exactement. Lorsqu’un problème demande l’aire totale entre une courbe et l’axe, cherchez où la fonction change de signe, intégrez chaque morceau séparément et additionnez les valeurs absolues. Pour $\sin x$ sur $[0, 2\pi]$, on obtient $2 + 2 = 4$.

La même distinction apparaît dans les problèmes de mouvement. Intégrer la vitesse donne la variation nette de la position, tandis qu’intégrer la valeur absolue de la vitesse donne la distance totale parcourue.

Comment lire les étapes

Chaque étape montre une transformation de l’intégrale, avec la règle ou la ligne du tableau dans le titre et la formule en dessous. Les étapes de linéarité découpent le problème en intégrales plus petites, résolues une par une puis rassemblées : une fonction longue produit donc une liste plus longue d’étapes courtes plutôt qu’un grand saut. Quand un changement de variable est utilisé, la ligne qui introduit $u$ montre aussi $du$, et c’est là que l’on voit pourquoi la méthode fonctionne. La dernière étape ajoute toujours la constante d’intégration pour une intégrale indéfinie, ou remplace la variable par les bornes pour une intégrale définie.