Calculatrice de dérivées

Q: Que dit la dérivée seconde sur une courbe ?

Son signe indique la convexité. Là où f'' > 0, la courbe est tournée vers le haut (convexe), là où f'' < 0 elle est tournée vers le bas (concave), et là où elle change de signe il y a un point d’inflexion.

Q: Où une fonction n’est-elle pas dérivable ?

Aux points anguleux, aux pointes, aux tangentes verticales et aux sauts de la courbe. Par exemple, |x| a un point anguleux en 0, où les pentes à gauche et à droite valent -1 et 1 : il n’existe donc pas de tangente unique.

À propos de la calculatrice de dérivées

La dérivée $f'(x)$ mesure le taux de variation instantané de $f$ : la pente de la tangente en chaque point. On l’obtient en appliquant un petit nombre de formules à la structure de l’expression.

Cette calculatrice transforme votre fonction en arbre, applique à chaque nœud la formule qui convient et la note comme une étape. Le résultat est simplifié puis, avant d’être affiché, contrôlé avec un dérivateur indépendant en plusieurs points tests.

Choisissez un ordre jusqu’à la dérivée cinquième et, si vous le souhaitez, une valeur de x où évaluer le résultat.

Qu’est-ce qu’une dérivée, au juste ?

La dérivée d’une fonction mesure à quelle vitesse sa sortie change quand son entrée change. Géométriquement, c’est la pente de la tangente, la droite qui frôle la courbe en un point et y suit la même direction qu’elle. Pour une droite, la pente est la même partout, mais pour une courbe comme $y = x^2$ elle change d’un point à l’autre : la dérivée est donc elle-même une fonction. $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$ indique que la pente vaut 2 en $x = 1$ , 6 en $x = 3$ et $-4$ en $x = -2$ .

Formellement, la dérivée est une limite de taux d’accroissement, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ . Ce taux est la pente d’une sécante passant par deux points proches de la courbe, et quand $h$ tend vers zéro la sécante devient la tangente. Calculer cette limite à chaque fois serait long ; en pratique, on utilise donc un petit nombre de formules, chacune démontrée une seule fois à partir de la définition par les limites. La calculatrice applique exactement ces formules et indique laquelle est utilisée à chaque étape.

Les dérivées apparaissent dès que les taux de variation comptent : la vitesse est la dérivée de la position, l’accélération est la dérivée de la vitesse, le coût marginal est la dérivée du coût total et la vitesse d’une réaction chimique est la dérivée d’une concentration.

Cette calculatrice dérive par rapport à $x$ . Pour les fonctions de plusieurs variables, utilisez la calculatrice de dérivées partielles, et pour les équations mêlant $x$ et $y$ , la dérivation implicite.

Comment utiliser la calculatrice de dérivées

Saisissez la fonction de x, par exemple x^2 sin(x) ou e^(3x)/x. Vous pouvez aussi écrire d/dx devant.
Choisissez l’ordre : dérivée première, seconde, jusqu’à la dérivée cinquième.
Si vous le souhaitez, saisissez une valeur de x pour y évaluer la dérivée, puis cliquez sur Dériver.

Formules

Dérivée d’une puissance

\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}

Dérivée d’un produit

(uv)' = u'v + uv'

Dérivée d’un quotient

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Dérivée d’une composée

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Dérivées usuelles

(\sin x)' = \cos x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac1x

Exemple corrigé: x² sin(x)

L’exemple dérive $f(x) = x^2 \sin x$ . La fonction est le produit de $u = x^2$ et $v = \sin x$ ; la calculatrice applique donc la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ . Elle obtient $u' = 2x$ avec la dérivée d’une puissance et $v' = \cos x$ grâce aux dérivées trigonométriques usuelles, puis les combine en $f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ . Enfin, le résultat est comparé numériquement à un taux d’accroissement en plusieurs points pour le confirmer.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)

Comment nous avons lu votre problème

Calculer la dérivée de x² sin(x) par rapport à x.

\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right]

Solution étape par étape

Dérivée d’un produit : (uv)′ = u′v + uv′
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2} \sin\left( x\right)\right] = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$
d/dx[sin x] = cos x
$\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
Dérivée d’une puissance : d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Regrouper et simplifier
$f'(x) = 2x \sin\left( x\right)+{x}^{2} \cos\left( x\right)$

Formules utilisées

Puissance d’une puissance
$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$
Règle du produit
$(uv)' = u'v + uv'$

La dérivée se construit de l’extérieur vers l’intérieur : les sommes se séparent en termes, les constantes se mettent en facteur, les produits et les quotients suivent leurs formules, et chaque fonction composée est multipliée par la dérivée de sa fonction intérieure (dérivée d’une composée).

Vérification

Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests ✓

Explication détaillée

Les formules de base

Presque toutes les dérivées d’un premier cours découlent de quelques formules. La dérivée d’une puissance donne $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ pour tout $n$ réel, ce qui inclut aussi les racines, puisque $\sqrt{x} = x^{1/2}$ a pour dérivée $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Les règles du facteur constant et de la somme permettent de dériver un polynôme terme à terme. La fonction exponentielle $e^x$ est sa propre dérivée, et le logarithme donne $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$ . Chacune des six fonctions trigonométriques a une dérivée usuelle, à commencer par $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ et $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ .

Ces dérivées de base se combinent grâce à trois formules structurelles. La formule du produit traite $f \cdot g$ , celle du quotient traite $\frac{f}{g}$ et celle de la composée traite une fonction à l’intérieur d’une autre. Reconnaître la structure que l’on a sous les yeux représente l’essentiel du travail, c’est pourquoi la calculatrice nomme la formule dans le titre de chaque étape.

La dérivée d’une composée en pratique

La dérivée d’une composée dit que si $y = f(g(x))$ , alors $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ : on dérive la fonction extérieure en laissant l’intérieur tel quel, puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur. Pour $\sin(x^2)$ , la fonction extérieure est le sinus et l’intérieur est $x^2$ , donc la dérivée est $\cos(x^2) \cdot 2x$ . La calculatrice l’écrit $2\cos(x^2)\,x$ , qui est la même expression avec les facteurs dans un autre ordre.

La dérivée d’une composée se cache aussi dans d’autres formules. Dans $e^{3x}$ , l’intérieur est $3x$ , donc la dérivée est $3e^{3x}$ , et la calculatrice appelle cette étape dérivée de l’exponentielle avec $e^u \cdot u'$ . Oublier le facteur apporté par la fonction intérieure est l’erreur de dérivation la plus fréquente, et comparer votre résultat avec l’étape de la calculatrice pour la fonction intérieure est le moyen le plus rapide de la repérer.

Quotients et simplification

Pour un quotient $\frac{u}{v}$ , la formule est $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ . L’ordre au numérateur compte, car la soustraction n’est pas commutative. En dérivant $\frac{e^{3x}}{x}$ , on obtient $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$ , que la calculatrice simplifie en $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ . Les deux formes sont correctes, tout comme $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ . Si votre résultat a une autre allure, donnez à la variable une valeur comme $x = 1$ dans les deux ; une concordance en plusieurs points est un bon indice que les expressions sont équivalentes.

Dérivées successives et évaluation en un point

Dériver une nouvelle fois donne la dérivée seconde, qui mesure comment la pente elle-même varie. Une dérivée seconde positive signifie que la courbe est convexe, tournée vers le haut comme une tasse, et une dérivée seconde négative qu’elle est concave. Pour $f(x) = x^3$ , la dérivée première est $3x^2$ et la dérivée seconde $6x$ ; en évaluant en $x = 2$ , on obtient $f''(2) = 12$ . En physique, si $x^3$ était une position, 12 serait l’accélération à l’instant 2.

Évaluer la dérivée première en un point donne la pente de la tangente en ce point et, avec le point lui-même, permet d’écrire l’équation de la tangente. C’est la base de l’approximation affine et de la méthode de Newton pour résoudre des équations.

Utiliser les dérivées pour trouver les maximums et minimums

Une fonction dérivable ne peut atteindre un maximum ou un minimum local que là où sa dérivée s’annule ou n’est pas définie, car au sommet d’une colline ou au fond d’une vallée la tangente est horizontale. Pour optimiser une fonction, dérivez-la, posez $f'(x) = 0$ , résolvez en $x$ et étudiez chaque candidat. Pour $f(x) = x^3 - 3x$ , la dérivée est $3x^2 - 3$ , qui s’annule en $x = -1$ et en $x = 1$ . La dérivée seconde $6x$ est négative en $-1$ et positive en $1$ : la courbe a donc un maximum local en $(-1, 2)$ et un minimum local en $(1, -2)$ .

Sur un intervalle fermé, les valeurs maximale et minimale peuvent aussi se trouver aux bornes ; comparez donc également la fonction en ces points. De nombreux problèmes appliqués, comme minimiser la matière d’une boîte de volume fixé, suivent exactement ce schéma une fois la grandeur à optimiser écrite comme fonction d’une seule variable.

Comment la calculatrice vérifie son résultat

La dérivation symbolique peut échouer de façon subtile, surtout lors de la simplification ; le résultat n’est donc pas accepté sans contrôle. La calculatrice évalue sa dérivée en un ensemble de points tests et la compare à un taux d’accroissement centré, $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ pour un petit $h$ , calculé directement à partir de votre fonction de départ. Si les deux concordent avec une tolérance stricte en tous les points où la fonction est définie, la vérification est réussie et elle est indiquée sous le résultat. Vous pouvez appliquer la même idée à la main avec une calculatrice : choisissez une valeur de $x$ , décalez-la un peu vers le haut et vers le bas et regardez si la variation de $f$ divisée par la variation de $x$ concorde avec votre dérivée.

Erreurs fréquentes

Oublier la dérivée de l’intérieur dans une composée : $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ , et non $\cos 3x$ .
Écrire $(uv)' = u'v'$ ; la formule du produit comporte deux termes.
Inverser l’ordre du numérateur dans la formule du quotient.
Appliquer la dérivée d’une puissance à $a^x$ ; les exponentielles demandent $(a^x)' = a^x \ln a$ .
Écrire $(uv)' = u'v'$ ; la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.
Traiter une constante comme $\pi$ ou $e^2$ comme une variable et la dériver.

Conseils

Réécrivez les racines et les inverses sous forme de puissances : $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\frac1{x^2} = x^{-2}$ .
Repérez la dernière opération de l’expression ; elle indique quelle formule appliquer en premier.
Utilisez la dérivation logarithmique pour des fonctions comme $x^x$ .
Avant de dériver, réécrivez les racines et les inverses sous forme de puissances : $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ .
N’utilisez la formule du quotient que si le dénominateur contient $x$ ; $\frac{x^2}{5}$ est simplement $\frac15x^2$ .
Simplifiez la fonction avant de dériver quand c’est possible ; $\frac{x^3 + x}{x}$ vaut simplement $x^2 + 1$ pour $x \ne 0$ .

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une dérivée ?

C’est le taux de variation d’une fonction par rapport à sa variable, égal à la pente de la tangente : $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ .

Quelles fonctions puis-je dériver ?

Les polynômes, les puissances et les racines, les exponentielles, les logarithmes, les fonctions trigonométriques et leurs réciproques, les fonctions hyperboliques et toute combinaison de celles-ci par +, −, ×, ÷ et composition.

Comment calculer une dérivée seconde ?

Choisissez Dérivée seconde dans le menu Ordre. La calculatrice dérive à nouveau la dérivée première simplifiée et montre les deux étapes.

Puis-je évaluer la dérivée en un point ?

Oui. Saisissez une valeur comme 2 ou pi/4 dans le champ Évaluer en pour obtenir $f'(a)$ , la pente de la tangente en $x = a$ .

Comment savoir si le résultat est juste ?

Chaque résultat est comparé numériquement à une dérivée calculée indépendamment en 8 points tests. S’ils ne concordent pas, aucun résultat n’est affiché.

Pourquoi mon résultat n’a-t-il pas la même allure que celui du manuel ?

Des expressions équivalentes peuvent s’écrire de nombreuses façons, par exemple $\frac{2x}{x^2+1}$ et $2x(x^2+1)^{-1}$ . Remplacez la variable par une valeur dans les deux pour vérifier qu’elles concordent.

Comment dériver une fonction composée ?

Dérivez la fonction extérieure en gardant l’expression intérieure inchangée, puis multipliez par la dérivée de l’expression intérieure. Pour $\sin(x^2)$ , on obtient $\cos(x^2) \cdot 2x$ .

Que dit la dérivée seconde sur une courbe ?

Son signe indique la convexité. Là où $f'' > 0$ , la courbe est tournée vers le haut (convexe), là où $f'' < 0$ elle est tournée vers le bas (concave), et là où elle change de signe il y a un point d’inflexion.

Où une fonction n’est-elle pas dérivable ?

Aux points anguleux, aux pointes, aux tangentes verticales et aux sauts de la courbe. Par exemple, $|x|$ a un point anguleux en 0, où les pentes à gauche et à droite valent $-1$ et $1$ : il n’existe donc pas de tangente unique.

Essayez la calculatrice de dérivées

Saisissez une fonction et obtenez sa dérivée, avec chaque formule expliquée et vérifiée.

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