Calculatrice de dérivées partielles

À propos de la calculatrice de dérivées partielles

La plupart des grandeurs en sciences et en économie dépendent de plusieurs variables. Le volume d’un cylindre dépend de son rayon et de sa hauteur, le bénéfice d’une entreprise dépend du prix et des dépenses de publicité, et la température d’une pièce dépend des trois coordonnées. Une dérivée partielle répond à une question précise sur une telle fonction : à quelle vitesse le résultat change-t-il quand une seule variable varie et que toutes les autres restent fixes ?

Cette calculatrice obtient ces taux de façon exacte. Écrivez une fonction comme $x^2 y + \sin(xy)$ , choisissez la variable, et la calculatrice dérive terme à terme avec les règles de la somme, du facteur constant, de la puissance, du produit et de la composée, en traitant toute autre lettre comme une constante. Chaque règle apparaît comme une étape à part : vous voyez ainsi pourquoi $y$ reste devant $\cos(xy)$ et pourquoi un terme comme $4y$ disparaît quand on dérive par rapport à $x$ .

Les dérivées d’ordre supérieur fonctionnent de la même façon. Saisissez xx pour la dérivée partielle seconde en $x$ , ou xy pour la dérivée croisée qui dérive d’abord en $x$ puis en $y$ . Ajoutez un point comme x = 1, y = 2 pour y évaluer le résultat. Chaque résultat est contrôlé de manière indépendante avant d’être affiché.

Qu’est-ce qu’une dérivée partielle ?

Pour une fonction $f(x, y)$ , la dérivée partielle par rapport à $x$ , notée $\frac{\partial f}{\partial x}$ ou $f_x$ , est la dérivée ordinaire que l’on obtient en traitant $y$ comme un nombre fixé. Formellement, $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . Le symbole arrondi $\partial$ signale qu’il y a d’autres variables et qu’elles sont maintenues constantes.

Géométriquement, la représentation de $f(x, y)$ est une surface. En la coupant par le plan $y =$ constante, on obtient une courbe, et $f_x$ est la pente de cette courbe. De même, $f_y$ est la pente de la coupe dans la direction de $y$ . Ensemble, les dérivées partielles premières forment le vecteur gradient $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ , qui pointe dans la direction de plus forte croissance.

Les dérivées partielles interviennent en optimisation (les points critiques sont ceux où toutes les dérivées partielles premières s’annulent), en physique (les équations de la chaleur, des ondes et de Laplace s’écrivent avec elles), en économie (coût marginal et utilité marginale) et en apprentissage automatique, où les gradients guident l’entraînement de tout réseau de neurones.

Comment utiliser la calculatrice de dérivées partielles

Écrivez la fonction en utilisant n’importe quelle lettre comme variable, par exemple x^2 y + sin(x y) ou x^3 y^2 + 4y. Une espace ou un * entre des lettres indique une multiplication.
Dans le deuxième champ, saisissez la variable par rapport à laquelle vous voulez dériver, comme x ou y.
Pour les ordres supérieurs, écrivez une lettre par dérivation, dans l’ordre : xx pour f_xx, xy pour f_xy (d’abord x, puis y), yyx, etc.
Si vous le souhaitez, donnez une valeur à chaque variable, comme x = 1, y = 2, pour évaluer la dérivée en ce point.
Cliquez sur Dériver et suivez les étapes, chacune avec la règle qu’elle utilise.

Formules

Définition

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Notation des dérivées croisées

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Théorème de Schwarz (Clairaut)

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{si elles sont continues}

Vecteur gradient

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Dérivée d’une composée dans une dérivée partielle

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Exemple corrigé: ∂/∂x de x²y + sin(xy)

L’exemple résolu est calculé en direct pour $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ , dérivée par rapport à $x$ . Avec $y$ constant, le premier terme est une constante fois $x^2$ : il devient donc $2xy$ . Le second terme demande la dérivée d’une composée : la dérivée de $\sin u$ est $\cos u$ fois $\frac{\partial u}{\partial x}$ , et pour $u = xy$ cette dérivée intérieure vaut $y$ .

En additionnant les morceaux, on obtient $2xy + y\cos(xy)$ , que la calculatrice factorise en $f_x = y(2x + \cos(xy))$ . Remarquez que $y$ n’est jamais dérivé ; il se comporte exactement comme le ferait le nombre 5 à la même place.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

Comment nous avons lu votre problème

Calculer la dérivée partielle première f_x de f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Solution étape par étape

Identifier la fonction et l’ordre de dérivation
Dériver par rapport à x ; toutes les autres variables (y) sont considérées comme constantes.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Dérivée d’une somme : dériver chaque terme séparément
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Dérivée d’une composée — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Dérivée de k × u
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Dérivée de k × u
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Dérivée d’une puissance : d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Simplifier : f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Formules utilisées

Définition
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Dérivées croisées (Schwarz)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{si elles sont continues}$

Une dérivée partielle mesure comment f varie lorsqu’une seule variable bouge : les autres variables sont traitées exactement comme des nombres, si bien que les règles de dérivation habituelles s’appliquent.

Vérification

Contrôlé avec un dérivateur symbolique indépendant en plusieurs points tests ✓

Explication détaillée

Maintenir les autres variables constantes

La seule idée derrière toute dérivée partielle est que les variables par rapport auxquelles on ne dérive pas sont figées. Si vous avez du mal à le voir, remplacez-les d’abord par un nombre précis. Dériver $x^3 y^2 + 4y$ par rapport à $y$ revient à dériver $8y^2 + 4y$ quand $x = 2$ : le résultat est de la forme $2 \cdot 8y + 4$ , et en remettant $x^3$ à la place de 8 on obtient $f_y = 2x^3 y + 4$ .

Cela explique aussi quels termes disparaissent. Un terme qui ne contient que des variables figées est une constante : sa dérivée partielle est donc nulle. Dans $f = x^2 + 3xy$ , la dérivée partielle par rapport à $y$ ignore complètement $x^2$ et donne $f_y = 3x$ .

Les règles habituelles restent valables

La dérivation partielle utilise exactement les mêmes règles que l’analyse à une variable : puissance, somme, facteur constant, produit, quotient et composée. Seule la comptabilité change. Un produit de deux facteurs contenant $x$ demande la formule du produit quand on dérive en $x$ , mais si l’un des facteurs ne contient que $y$ , c’est simplement un facteur constant.

C’est avec la dérivée d’une composée que l’on se trompe le plus. Quand une fonction s’applique à une expression à plusieurs variables, comme $e^{xy}$ ou $\ln(x^2 + y^2)$ , la dérivée intérieure est elle aussi une dérivée partielle. Ainsi, $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ et $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

Dérivées partielles secondes et dérivées croisées

En dérivant à nouveau une dérivée partielle, on obtient une dérivée partielle seconde. Une fonction de deux variables en a quatre : $f_{xx}$ , $f_{yy}$ et les dérivées croisées $f_{xy}$ et $f_{yx}$ . Les indices se lisent de gauche à droite : $f_{xy}$ signifie dériver d’abord en $x$ puis en $y$ . La notation fractionnaire $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ se lit de droite à gauche et décrit la même chose.

Pour $f = x^2 y^3$ , dériver en $x$ donne $2xy^3$ , puis dériver en $y$ donne $f_{xy} = 6xy^2$ , qui vaut 24 au point $(1, 2)$ . Dériver dans l’autre ordre donne $3x^2y^2$ puis de nouveau $6xy^2$ . Cette coïncidence est le théorème de Schwarz, aussi appelé théorème de Clairaut : pour les fonctions dont les dérivées partielles secondes sont continues, l’ordre de dérivation croisée n’a pas d’importance. La calculatrice l’indique comme vérification chaque fois qu’elle calcule une dérivée croisée.

Les dérivées partielles secondes ont des usages concrets. Dans le test des dérivées secondes pour un point critique de $f(x, y)$ , la quantité $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ détermine si le point est un maximum local, un minimum local ou un point col.

Évaluer en un point et interpréter le nombre

Une dérivée partielle est elle-même une fonction de toutes les variables : sa valeur dépend donc du point où l’on se trouve. Pour $f = x^2 + 3xy$ , la dérivée $f_x = 2x + 3y$ vaut 8 en $(1, 2)$ . Cela signifie que, près de ce point, augmenter $x$ d’une petite quantité $\Delta x$ en gardant $y = 2$ augmente $f$ d’environ $8\,\Delta x$ .

Les unités rendent l’interprétation concrète. Si $V(r, h) = \pi r^2 h$ est le volume d’un cylindre en centimètres cubes, alors $V_r = 2\pi r h$ s’exprime en centimètres cubes par centimètre de rayon et indique à quel point le volume est sensible à une variation du rayon à hauteur fixée.

Erreurs fréquentes

Dériver aussi la variable maintenue constante, par exemple écrire $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ .
Garder un terme comme $4y$ en dérivant par rapport à $x$ ; c’est une constante, qui donne 0.
Oublier la dérivée partielle intérieure dans une composée, par exemple écrire $\cos(xy)$ pour $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ .
Lire $f_{xy}$ dans le mauvais ordre ; l’ordre des indices est l’ordre de dérivation.
Confondre $\frac{\partial f}{\partial x}$ avec la dérivée totale $\frac{df}{dx}$ lorsque $y$ dépend lui-même de $x$ .

Conseils

Remplacez mentalement les variables figées par des nombres si vous ne savez plus ce qui est constant.
Sortez les constantes avant de dériver ; en dérivant en $x$ , $x^2 y^3$ vaut $y^3$ fois $x^2$ .
Utilisez le théorème de Schwarz comme vérification gratuite : calculez $f_{xy}$ et $f_{yx}$ et comparez-les.
Écrivez $\nabla f$ dès que vous avez les deux dérivées partielles premières ; la plupart des applications demandent le gradient complet.
Simplifiez la dérivée première avant de calculer la dérivée seconde pour que les expressions restent maniables.
Regardez le signe d’une dérivée partielle en un point pour savoir si la fonction croît ou décroît dans cette direction.

Questions fréquentes

Comment écrire une fonction de deux variables ?

Utilisez des lettres pour les variables et une espace ou un * pour la multiplication, par exemple x^2 y + sin(x y) ou x^2*y + sin(x*y). Toute lettre qui n’est pas un nom de fonction, comme sin ou log, est traitée comme une variable.

Comment obtenir une dérivée partielle seconde comme f_xx ?

Écrivez la variable une fois par dérivation dans le champ « Dériver par rapport à » : xx pour f_xx, yy pour f_yy. La calculatrice dérive plusieurs fois et montre chaque étape séparément.

f_xy est-elle égale à f_yx ?

Pour presque toutes les fonctions rencontrées en cours, oui. Le théorème de Schwarz le garantit dès que les dérivées croisées sont continues. La calculatrice affiche la comparaison pour que vous voyiez qu’elles concordent.

Que signifie le symbole ∂ ?

C’est un d arrondi utilisé pour les dérivées partielles. Il indique que la fonction a plusieurs variables et que toutes, sauf celle du dénominateur, restent constantes pendant la dérivation.

Peut-elle évaluer la dérivée partielle en un point ?

Oui. Saisissez des valeurs pour toutes les variables, comme x = 1, y = 2, dans le champ facultatif. La calculatrice les remplace dans la dérivée finale et donne le nombre ; par exemple, f_x = 2x + 3y vaut 8 en (1, 2).

Fonctionne-t-elle avec trois variables ?

Oui. Une fonction comme x y z ou x^2 + y z peut être dérivée par rapport à n’importe laquelle de ses lettres. Pour x y z, la dérivée partielle par rapport à z vaut xy.

En quoi une dérivée partielle diffère-t-elle d’une dérivée ordinaire ?

Les règles sont identiques, mais une dérivée ordinaire porte sur une seule variable, alors qu’une dérivée partielle choisit une variable parmi plusieurs et traite les autres comme des constantes. Le résultat reste une fonction de toutes les variables.

Qu’est-ce que le gradient et comment les dérivées partielles le forment-elles ?

Le gradient est le vecteur de toutes les dérivées partielles premières, comme ⟨f_x, f_y⟩. Il pointe dans la direction où la fonction croît le plus vite, et sa norme est ce taux de croissance maximal.

Pourquoi ma dérivée partielle ne ressemble-t-elle pas au corrigé du manuel ?

Des expressions équivalentes peuvent s’écrire de bien des façons. La calculatrice peut mettre un facteur en évidence, comme dans y(2x + cos(xy)) au lieu de 2xy + y cos(xy), ou ordonner les facteurs autrement. Développez les deux formes, ou évaluez-les au même point, pour vérifier qu’elles concordent.

Essayez la calculatrice de dérivées partielles

Saisissez une fonction de plusieurs variables et obtenez fx, fy ou n’importe quelle dérivée croisée, avec chaque règle expliquée.

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