Compléter le carré et obtenir la forme canonique : guide étape par étape

L’idée de la méthode

Un trinôme carré parfait est le développement du carré d’un binôme. En développant $(x + h)^2$, on obtient $x^2 + 2hx + h^2$ : le terme constant est le carré de la moitié du coefficient de $x$. Compléter le carré consiste à ajouter exactement cette constante pour qu’une expression devienne un carré parfait.

Par exemple, la moitié de 6 est 3 et $3^2 = 9$, donc $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. En développant le membre de droite, on obtient $x^2 + 6x + 9 - 9$, ce qui le confirme. Géométriquement, $x^2 + 6x$ est un carré de $x$ sur $x$ plus deux bandes de $3$ sur $x$, et le coin manquant est un carré de $3$ sur $3$ d’aire 9.

Le même schéma fonctionne avec un signe moins. La moitié de $-10$ est $-5$ et $(-5)^2 = 25$, donc $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. La constante ajoutée est toujours positive, puisque c’est un carré, alors que le signe dans la parenthèse est celui de $b$. Garder ces deux faits bien séparés évite la plupart des erreurs dans les étapes suivantes.

Résoudre une équation du second degré en complétant le carré

1. Si le coefficient de $x^2$ n’est pas 1, divisez tous les termes par ce coefficient.
2. Faites passer le terme constant dans le membre de droite.
3. Ajoutez $(b/2)^2$ aux deux membres.
4. Écrivez le membre de gauche sous la forme $(x + b/2)^2$ et simplifiez celui de droite.
5. Prenez la racine carrée des deux membres, sans oublier le $\pm$, puis isolez $x$.

Quand le coefficient dominant n’est pas 1

La formule du discriminant concorde : $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. Avec un coefficient du milieu impair, les fractions sont inévitables mais restent maniables. Pour $x^2 + 5x - 1 = 0$, la moitié de 5 est $\frac{5}{2}$, donc $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ et $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Solutions complexes

Si le membre de droite est négatif, il n’y a pas de solution réelle, mais la méthode donne toujours les solutions complexes.

Vérification : $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$, et $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

La forme canonique d’une parabole

L’usage le plus courant de la complétion du carré pour étudier une fonction est de passer de $y = ax^2 + bx + c$ à la forme canonique $y = a(x - h)^2 + k$, où $(h, k)$ est le sommet. Comme un carré n’est jamais négatif, le sommet est le minimum lorsque $a > 0$ et le maximum lorsque $a < 0$.

L’erreur la plus fréquente dans l’exemple 4 est d’oublier de multiplier le 9 soustrait par le $-2$ mis en facteur. Redévelopper votre forme canonique est une vérification rapide.

Le raccourci $h = -\frac{b}{2a}$ donne la même abscisse du sommet ; compléter le carré montre d’où vient cette formule. La calculatrice d’équations du second degré indique le sommet en plus des racines.

Démonstration de la formule du discriminant

Compléter le carré dans l’équation générale $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$ aboutit à la formule du discriminant, et c’est pourquoi cette formule fonctionne toujours.

L’étape intermédiaire s’obtient en ajoutant $\frac{b^2}{4a^2}$ aux deux membres et en écrivant $-\frac{c}{a}$ sous la forme $-\frac{4ac}{4a^2}$. Le guide pour résoudre une équation du second degré explique quand utiliser la formule, la factorisation ou cette méthode.

Cercles et autres applications

Compléter le carré en $x$ et en $y$ transforme l’équation développée d’un cercle en sa forme centre-rayon.

En analyse, la même étape prépare des intégrales comme $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$ : écrire le dénominateur sous la forme $(x + 1)^2 + 4$ donne $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$. La calculatrice d’intégrales utilise ce changement de variable quand il s’applique.

Erreurs fréquentes

• Ajouter $(b/2)^2$ dans un seul membre.
• Compléter le carré avant de diviser par un coefficient dominant différent de 1.
• Oublier le $\pm$ en prenant la racine carrée, ce qui fait perdre une solution.
• Utiliser $b^2$ ou $b/2$ au lieu de $(b/2)^2$.
• Mal lire le signe du sommet : $(x - 3)^2$ donne $h = 3$, et $(x + 3)^2$ donne $h = -3$.

Essayez votre propre exemple dans la calculatrice pour compléter le carré, qui affiche chacune des étapes ci-dessus.

Ce que révèle la forme canonique

Une fois une fonction du second degré écrite sous la forme $a(x - h)^2 + k$, on lit de nombreuses informations sans autre calcul. Le sommet est $(h, k)$ et l’axe de symétrie est la droite verticale $x = h$. L’ensemble image s’en déduit directement : si $a > 0$, la valeur minimale est $k$ et l’ensemble image est $[k, \infty)$ ; si $a < 0$, la valeur maximale est $k$ et l’ensemble image est $(-\infty, k]$.

On en déduit aussi le nombre de points d’intersection avec l’axe des abscisses. Poser $a(x - h)^2 + k = 0$ donne $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. Si $-\frac{k}{a}$ est positif, il y a deux points d’intersection ; s’il est nul, le sommet touche l’axe ; s’il est négatif, la parabole ne coupe jamais l’axe. Dans l’exemple 3, $(x - 2)^2 = -3$ n’a pas de solution réelle, ce qui concorde avec un sommet à hauteur 3 sur une parabole tournée vers le haut. Dans l’exemple 4, $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ donne $(x - 3)^2 = 4$ : les points d’intersection sont $x = 1$ et $x = 5$.

Les problèmes d’optimisation reposent sur la même idée. Si le bénéfice obtenu en vendant à un prix $p$ vaut $P = -2p^2 + 12p - 10$, en centaines d’euros, l’exemple 4 montre que le bénéfice maximal est de 8 centaines d’euros pour $p = 3$. Inutile de dériver : le terme au carré ne peut que faire descendre la valeur sous la hauteur du sommet.

Exercices d’entraînement corrigés

Essayez de les résoudre avant de regarder les solutions. Chacun utilise une étape des exemples précédents.

1. Résolvez $x^2 - 10x + 21 = 0$. Solution : $(x - 5)^2 = 4$, donc $x = 3$ ou $x = 7$.
2. Résolvez $x^2 + 2x - 4 = 0$. Solution : $(x + 1)^2 = 5$, donc $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. Écrivez $y = x^2 + 8x + 10$ sous forme canonique. Solution : $y = (x + 4)^2 - 6$, sommet $(-4, -6)$.
4. Écrivez $y = 3x^2 - 6x + 1$ sous forme canonique. Solution : $y = 3(x - 1)^2 - 2$, sommet $(1, -2)$.
5. Trouvez le centre et le rayon de $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$. Solution : $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, centre $(-1, 4)$, rayon 3.

Si une solution ne correspond pas, redéveloppez votre carré complété et comparez-le ligne à ligne avec l’expression de départ ; l’écart montre généralement quelle constante a été mal ajoutée ou retranchée.

Pourquoi cette méthode vaut la peine d’être apprise

Puisqu’on dispose de la formule du discriminant, on peut se demander pourquoi on enseigne encore la complétion du carré. La réponse est qu’il s’agit d’une transformation, et pas seulement d’une astuce de résolution. Elle réécrit une expression de sorte que la variable n’apparaisse qu’à un seul endroit, à l’intérieur d’un carré. L’expression devient alors facile à analyser : son minimum ou son maximum, sa symétrie et ses zéros se lisent d’un coup d’œil.

Cette idée revient dans toutes les mathématiques. Les coniques, comme les cercles, les ellipses et les hyperboles, s’identifient en complétant le carré en deux variables. En statistique, la densité de la loi normale contient un carré complété dans son exposant, et l’étude de nombre de ses propriétés repose sur le même calcul. En analyse, les intégrales comportant une expression du second degré sous une racine ou au dénominateur deviennent des intégrales usuelles après cette étape. La physique s’en sert pour trouver les positions d’équilibre des fonctions d’énergie.

S’entraîner sur des équations simples développe donc une compétence que les chapitres suivants tiennent pour acquise. Si vous savez refaire les exemples 1 à 5 sans notes, vous êtes bien préparé à ces usages et aux questions d’examen qui demandent de montrer la méthode plutôt que de donner seulement les racines.

Questions fréquentes