Fonctions polynômes : degré, comportement aux bornes, racines et courbes

Ce qui fait d’une fonction un polynôme

Une fonction polynôme est une somme de termes, chacun étant une constante multipliée par une puissance de $x$ d’exposant entier naturel :

La plus grande puissance $n$ est le degré, le coefficient $a_n$ qui l’accompagne est le coefficient dominant et $a_0$ est le terme constant, qui est aussi l’ordonnée à l’origine. Le degré 1 donne des droites, le degré 2 des paraboles, le degré 3 des fonctions cubiques et le degré 4 des fonctions de degré quatre. Les expressions comportant des puissances négatives ou fractionnaires, comme $\frac{1}{x}$ ou $\sqrt{x}$, ou une variable au dénominateur ou en exposant, ne sont pas des polynômes.

Les polynômes sont définis pour tout réel et leurs courbes sont lisses et continues, sans pointes, sans trous ni asymptotes. C’est l’une des raisons pour lesquelles on les utilise tant pour modéliser et approcher d’autres fonctions.

Le comportement aux bornes selon le terme dominant

Pour des valeurs de $x$ très grandes, positives ou négatives, le terme dominant l’emporte sur tous les autres : les extrémités de la courbe se comportent donc comme $a_n x^n$. Seules deux informations comptent : la parité du degré et le signe du coefficient dominant.

• Degré pair et coefficient dominant positif : les deux extrémités montent, comme pour $x^2$.
• Degré pair et coefficient dominant négatif : les deux extrémités descendent, comme pour $-x^2$.
• Degré impair et coefficient dominant positif : la courbe descend à gauche et monte à droite, comme pour $x^3$.
• Degré impair et coefficient dominant négatif : la courbe monte à gauche et descend à droite, comme pour $-x^3$.

Par exemple, $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ est de degré impair avec un coefficient dominant négatif : la courbe monte vers la gauche et descend vers la droite, quelle que soit la taille apparente des autres coefficients. Par conséquent, un polynôme de degré impair coupe forcément l’axe des abscisses au moins une fois, puisque ses deux extrémités partent dans des directions opposées.

Racines, facteurs et multiplicité

Une racine de $p$ est une valeur $c$ telle que $p(c) = 0$. Les racines sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses, et chaque racine réelle $c$ correspond à un facteur $(x - c)$. C’est pourquoi la factorisation est l’outil principal pour trouver les racines, grâce à la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

Si un facteur est répété, la racine est de multiplicité supérieure à un, et la courbe se comporte différemment en ce point. En une racine de multiplicité impaire, la courbe traverse l’axe ; en une racine de multiplicité paire, elle le touche et repart du même côté. Plus la multiplicité est grande, plus la courbe est aplatie près de la racine.

Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles et au plus $n - 1$ extremums locaux, c’est-à-dire les maximums et minimums de sa courbe. Une cubique peut avoir un ou deux extremums locaux, ou aucun, comme le montre $x^3$. Les méthodes pour trouver des facteurs sont détaillées dans le guide sur la factorisation des polynômes.

Les théorèmes du reste et du facteur

Lorsqu’on divise un polynôme $p(x)$ par $(x - c)$, le reste est un simple nombre, et le théorème du reste affirme que ce nombre vaut $p(c)$. Le théorème du facteur en découle immédiatement : $(x - c)$ est un facteur exactement lorsque $p(c) = 0$.

En revanche, $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$ : la division de $p(x)$ par $(x - 2)$ laisserait un reste de $-4$, et $(x - 2)$ n’est pas un facteur.

Le schéma de Horner

Le schéma de Horner, aussi appelé division synthétique, est une façon compacte de diviser par $(x - c)$ en n’utilisant que les coefficients. Pour l’exemple 3, écrivez $c = 1$ et les coefficients $1, -2, -5, 6$.

1. Abaissez le premier coefficient : 1.
2. Multipliez-le par $c$ et ajoutez le résultat au coefficient suivant : $1 \times 1 = 1$, et $-2 + 1 = -1$.
3. Recommencez : $-1 \times 1 = -1$, et $-5 + (-1) = -6$.
4. Recommencez : $-6 \times 1 = -6$, et $6 + (-6) = 0$.
5. Le dernier nombre, 0, est le reste. Les autres, $1, -1, -6$, sont les coefficients du quotient : $x^2 - x - 6$.

Chaque puissance de $x$ a besoin de sa case : écrivez 0 pour tout terme manquant. Pour diviser $x^3 - 8$ par $(x - 2)$, on utilise les coefficients $1, 0, 0, -8$ et on obtient le quotient $x^2 + 2x + 4$ avec un reste nul, soit 0.

Le schéma de Horner ne fonctionne que pour des diviseurs de la forme $x - c$. Pour diviser par $2x - 1$, divisez par $x - \frac{1}{2}$ puis divisez le quotient par 2, ou posez la division euclidienne.

Combien de racines : le théorème fondamental

Le théorème fondamental de l’algèbre, ou théorème de d’Alembert-Gauss, garantit qu’un polynôme de degré $n \ge 1$ a exactement $n$ racines complexes, chacune comptée autant de fois que sa multiplicité. Certaines peuvent être réelles, d’autres complexes. Lorsque les coefficients sont réels, les racines complexes vont par paires conjuguées : si $2 + 3i$ est racine, $2 - 3i$ l’est aussi.

Cela explique pourquoi une cubique à coefficients réels a toujours au moins une racine réelle : ses trois racines ne peuvent pas être toutes complexes, puisque les complexes vont par paires. Un polynôme de degré quatre, en revanche, peut n’avoir aucune racine réelle, comme le montre $x^4 + 1$.

Lorsqu’une racine ne peut pas être trouvée exactement, le théorème des valeurs intermédiaires aide à la localiser. Pour $p(x) = x^3 + x - 1$, $p(0) = -1$ et $p(1) = 1$. Comme les courbes des polynômes n’ont pas de trous, la courbe coupe forcément l’axe quelque part entre 0 et 1 ; numériquement, la racine vaut environ $0.6823$.

Construire un polynôme à partir de ses racines

En sens inverse, les racines déterminent un polynôme à un facteur constant près. Supposons qu’une fonction du second degré ait pour racines 2 et $-1$ et passe par $(0, 4)$. Elle s’écrit forcément $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$. En remplaçant par le point, on obtient $4 = a(-2)(1)$, donc $a = -2$ et $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Développer et vérifier que $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ et $f(-1) = 0$ confirme le résultat.

Esquisser la courbe d’un polynôme

1. Trouvez le degré et le coefficient dominant pour fixer le comportement aux bornes.
2. Factorisez pour trouver les racines et leurs multiplicités.
3. Placez l’ordonnée à l’origine, qui est le terme constant.
4. Décidez en chaque racine si la courbe traverse ou touche l’axe selon sa multiplicité.
5. Reliez les points par une courbe lisse qui respecte le comportement aux bornes et possède au plus $n - 1$ maximums et minimums locaux.

On obtient ainsi une allure fidèle, mais pas les hauteurs exactes des maximums et minimums, qui demandent l’analyse. Comparer votre esquisse avec la calculatrice graphique est un bon moyen de gagner en assurance.

Une application : la plus grande boîte ouverte

Dans une feuille de carton de 10 centimètres sur 16, on découpe un carré de côté $x$ à chaque coin, puis on relève les bords pour former une boîte ouverte. Son volume est $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. Comme toutes les longueurs doivent être positives, l’ensemble de définition réaliste est $0 < x < 5$.

Les racines 0, 5 et 8 indiquent où le volume s’annule. Entre elles, le volume monte puis redescend, et l’analyse localise le maximum : $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$, qui s’annule en $x = 2$, à l’intérieur de l’ensemble de définition. La plus grande boîte a un volume de $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ centimètres cubes. Le guide des règles de dérivation montre comment calculer ces dérivées.

Erreurs fréquentes

• Déduire le comportement aux bornes du premier terme écrit plutôt que du terme de plus haut degré.
• Oublier les coefficients nuls des puissances manquantes dans le schéma de Horner.
• Supposer que la courbe traverse l’axe en chaque racine, sans tenir compte des multiplicités paires.
• Annoncer plus de $n - 1$ maximums et minimums locaux.
• Confondre la racine $c$ avec le signe du facteur : la racine 3 donne le facteur $(x - 3)$.

La calculatrice de polynômes trouve les racines, factorise et divise les polynômes en montrant chaque étape : vous pouvez l’utiliser pour vérifier les exemples ci-dessus.

Questions fréquentes