Pré-analyse

Trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction

Q: Quelles valeurs un polynôme accepte-t-il ?

Tous les réels, (-∞, ∞). Les polynômes n’utilisent que des additions, des soustractions et des multiplications : aucune valeur ne provoque de division par zéro, de racine d’indice pair d’un nombre négatif ni de logarithme non défini.

Par MathSolver Pro Editorial Team · Publié le 25 octobre 2026

L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs qu’une fonction accepte en entrée ; l’ensemble image est l’ensemble des valeurs qu’elle peut produire. Trouver le premier, c’est chercher les valeurs interdites ; trouver le second, c’est se demander quelles valeurs sont réellement atteintes.

Définitions et notation

Une fonction associe à chaque élément d’un ensemble appelé ensemble de définition exactement une image. L’ensemble de toutes les images effectivement obtenues est l’ensemble image. Pour $f(x) = x^2$ , tout réel peut être élevé au carré : l’ensemble de définition est donc l’ensemble des réels, mais un carré n’est jamais négatif : l’ensemble image est $[0, \infty)$ .

L’ensemble de définition et l’ensemble image s’écrivent généralement avec des intervalles. Un crochet inclut la borne et une parenthèse l’exclut ; l’infini prend toujours une parenthèse. Les morceaux séparés se réunissent avec le symbole de réunion $\cup$ : tous les réels sauf 3 s’écrivent ainsi $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$ . La notation ensembliste, comme $\{x \mid x \neq 3\}$ , dit la même chose en mots.

Si une fonction est donnée par une formule sans autre précision, son ensemble de définition est l’ensemble de définition naturel : le plus grand ensemble de réels pour lequel la formule a un sens. Un énoncé peut aussi restreindre volontairement l’ensemble de définition, par exemple dans un problème concret où une longueur ne peut pas être négative.

Il est utile de voir une fonction comme une machine. L’ensemble de définition est la liste des entrées que la machine accepte sans se bloquer, et l’ensemble image est la liste de tout ce qui peut en sortir. Deux fonctions ayant la même formule mais des ensembles de définition différents sont, au sens strict, des fonctions différentes ; c’est pourquoi l’ensemble de définition fait partie de la définition et n’est pas un détail secondaire.

Trouver l’ensemble de définition : les trois contraintes

Pour les fonctions rencontrées en algèbre et en pré-analyse, seules trois choses peuvent mal tourner avec une valeur réelle. Examinez chacune et excluez les valeurs qui la provoquent.

Division par zéro : un dénominateur ne peut pas être nul.
Racines d’indice pair de nombres négatifs : l’expression sous une racine carrée, quatrième, etc., doit être positive ou nulle. Les racines d’indice impair, comme les racines cubiques, acceptent tout réel.
Logarithmes de nombres négatifs ou nuls : l’argument d’un logarithme doit être strictement positif.

\frac{A}{B}: B \neq 0, \qquad \sqrt{A}: A \ge 0, \qquad \log_b A: A > 0

Les polynômes comme $3x^4 - x + 7$ ne présentent aucune de ces situations : leur ensemble de définition est l’ensemble des réels, $(-\infty, \infty)$ . Il en va de même pour $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $|x|$ et les racines cubiques.

Exemples d’ensembles de définition

Exemple 1 : $f(x) = \sqrt{x - 4}$

L’expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle : $x - 4 \ge 0$ .
Donc $x \ge 4$ , et l’ensemble de définition est $[4, \infty)$ .

Exemple 2 : $g(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 9}$

Annulez le dénominateur pour trouver les valeurs interdites : $x^2 - 9 = 0$ , donc $x = 3$ ou $x = -3$ .
Ensemble de définition : $(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$ .

Exemple 3 : $h(x) = \ln(5 - 2x)$

L’argument doit être strictement positif : $5 - 2x > 0$ .
Résolvez : $-2x > -5$ , et diviser par $-2$ inverse le sens, donc $x < \frac{5}{2}$ .
Ensemble de définition : $\left(-\infty, \frac{5}{2}\right)$ .

Exemple 4 : $k(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$

Condition de la racine carrée : $x + 2 \ge 0$ , donc $x \ge -2$ .
Condition du dénominateur : $x \neq 1$ .
Les deux doivent être vérifiées à la fois : $[-2, 1) \cup (1, \infty)$ .

L’exemple 3 a utilisé la règle de division d’une inégalité par un nombre négatif. Le guide pour résoudre une inéquation l’explique, ainsi que les tableaux de signes pour des conditions comme $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$ .

Lorsqu’une fonction combine plusieurs de ces situations, écrivez chaque condition séparément, résolvez-les une à une, puis prenez l’intersection des résultats. La plupart des erreurs viennent d’une condition oubliée, pas de leur résolution.

Trouver l’ensemble image par le calcul

L’ensemble image est souvent plus difficile, car il demande quelles valeurs sont possibles en sortie et non quelles entrées sont permises. Trois techniques couvrent la plupart des cas.

Première : utilisez les ensembles images connus des fonctions de référence. Les racines carrées et les valeurs absolues ne sont jamais négatives, $e^x$ est toujours strictement positive, et $\sin x$ et $\cos x$ restent entre $-1$ et $1$ . Les transformations décalent ou dilatent ces ensembles. Pour $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$ , la racine donne $[0, \infty)$ , multiplier par deux laisse $[0, \infty)$ et ajouter 1 donne $[1, \infty)$ .

Deuxième : pour les fonctions du second degré, mettez sous forme canonique pour trouver le sommet. Comme un carré n’est jamais négatif, l’ordonnée du sommet est le minimum ou le maximum.

Exemple 5 : ensemble image de $f(x) = x^2 - 4x + 1$

Forme canonique : $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .
Comme $(x - 2)^2 \ge 0$ , la plus petite valeur est $-3$ , atteinte en $x = 2$ .
Ensemble image : $[-3, \infty)$ .

Troisième : isolez $x$ dans $y = f(x)$ et déterminez quelles valeurs de $y$ donnent un $x$ valable dans l’ensemble de définition.

Exemple 6 : ensemble image de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$

Écrivez $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ et chassez le dénominateur : $y(x - 3) = 2x + 1$ .
Regroupez les termes en $x$ : $yx - 2x = 3y + 1$ , donc $x(y - 2) = 3y + 1$ et $x = \frac{3y + 1}{y - 2}$ .
Cela fonctionne pour tout $y$ sauf $y = 2$ . Vérifiez-le directement : $\frac{2x + 1}{x - 3} = 2$ exigerait $2x + 1 = 2x - 6$ , ce qui est impossible.
Ensemble image : $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ . La droite $y = 2$ est l’asymptote horizontale.

La même méthode donne l’ensemble image de $\frac{1}{x^2 + 1}$ . Le dénominateur vaut au moins 1, donc la valeur vaut au plus 1 ; elle est par ailleurs toujours strictement positive, mais s’approche de 0 autant qu’on veut. L’ensemble image est $(0, 1]$ .

Lire l’ensemble de définition et l’ensemble image sur une courbe

Sur un graphique, l’ensemble de définition est l’ombre que projette la courbe sur l’axe des abscisses, et l’ensemble image son ombre sur l’axe des ordonnées. Parcourez la courbe de gauche à droite pour trouver l’ensemble de définition et de bas en haut pour trouver l’ensemble image. Les points pleins signalent des bornes incluses, les points vides des points exclus, et les flèches indiquent que la courbe se prolonge indéfiniment.

Les asymptotes verticales signalent des valeurs absentes de l’ensemble de définition, et les asymptotes horizontales signalent souvent des valeurs absentes de l’ensemble image, comme dans l’exemple 6. Attention toutefois : une courbe peut couper une asymptote horizontale, et l’asymptote seule ne prouve donc pas qu’une valeur est exclue. La calculatrice graphique est un bon moyen de visualiser ces caractéristiques avant de les confirmer par le calcul.

Fonctions définies par morceaux et contextes concrets

Pour une fonction définie par morceaux, l’ensemble de définition est la réunion des intervalles sur lesquels chaque morceau est défini, et l’ensemble image la réunion des valeurs prises par chaque morceau. Supposons que $f(x) = x + 2$ pour $x < 0$ et $f(x) = 3$ pour $x \ge 0$ . L’ensemble de définition est l’ensemble des réels. Le premier morceau produit toutes les valeurs inférieures à 2 et le second seulement la valeur 3 : l’ensemble image est donc $(-\infty, 2) \cup \{3\}$ .

Dans les applications, le contexte restreint encore l’ensemble de définition. L’aire d’un carré, $A = s^2$ , accepte en tant que formule tout réel $s$ , mais la longueur d’un côté doit être strictement positive : l’ensemble de définition pratique est $s > 0$ et l’ensemble image $A > 0$ . La hauteur d’une balle lancée n’a de sens que du lancer jusqu’au moment où elle touche le sol : son ensemble de définition est un intervalle de temps fermé, même si la formule du second degré de la hauteur est définie partout.

Ensemble de définition et ensemble image dans la suite du programme

Ces idées reviennent sans cesse. Une fonction admet une réciproque sur un ensemble où elle est injective, et la réciproque échange ensemble de définition et ensemble image, comme l’explique le guide sur les fonctions réciproques. La composée $f(g(x))$ exige que chaque valeur de $g$ appartienne à l’ensemble de définition de $f$ ; voyez la composition de fonctions. Les logarithmes et les exponentielles, traités dans les logarithmes, forment un couple classique aux ensembles échangés.

Erreurs fréquentes

Simplifier avant de chercher l’ensemble de définition. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ se simplifie en $x + 3$ , mais $x = 3$ reste exclu de la fonction de départ.
Utiliser $>$ au lieu de $\ge$ avec les racines carrées, ce qui supprime à tort la borne où la racine vaut zéro.
Utiliser $\ge$ au lieu de $>$ avec les logarithmes, ce qui inclut à tort un argument nul.
Supposer que l’ensemble image est l’ensemble des réels parce que l’ensemble de définition l’est.
Mettre un crochet du côté de l’infini.

Pour vérifier vos réponses, essayez la calculatrice d’ensemble de définition et d’ensemble image, qui énumère chaque contrainte trouvée et les intervalles obtenus.

Questions fréquentes

Quelles valeurs un polynôme accepte-t-il ?

Tous les réels, $(-\infty, \infty)$ . Les polynômes n’utilisent que des additions, des soustractions et des multiplications : aucune valeur ne provoque de division par zéro, de racine d’indice pair d’un nombre négatif ni de logarithme non défini.

L’ensemble image est-il toujours plus difficile à trouver que l’ensemble de définition ?

En général oui, car il dépend de l’allure complète de la fonction. La forme canonique, l’expression de $x$ en fonction de $y$ et les ensembles images connus des fonctions de référence règlent la plupart des cas ; une courbe constitue une vérification utile.

Une asymptote horizontale signifie-t-elle qu’une valeur n’est pas dans l’ensemble image ?

Pas toujours. L’asymptote décrit le comportement très loin à gauche ou à droite, et la courbe peut la couper en un $x$ fini. Résolvez $f(x) = c$ pour savoir si la valeur de l’asymptote, $c$ , est réellement atteinte.

Comment écrire l’ensemble des réels privé de deux valeurs ?

Utilisez trois intervalles réunis. Par exemple, tous les réels sauf $-3$ et $3$ s’écrivent $(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$ .

MathSolver Pro Editorial Team

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