Résoudre une inéquation et écrire la solution sous forme d’intervalle

Les symboles d’inégalité et la forme de la solution

Une inéquation compare deux expressions avec l’un de ces quatre symboles : $<$ (strictement inférieur à), $>$ (strictement supérieur à), $\le$ (inférieur ou égal à) et $\ge$ (supérieur ou égal à). Sa solution est généralement un ensemble infini de nombres : on l’exprime par une inégalité, une représentation sur la droite graduée ou un intervalle.

• $x < 5$ correspond à l’intervalle $(-\infty, 5)$ ; la parenthèse indique que 5 est exclu, et sur la droite graduée on le marque d’un point vide.
• $x \le 3$ correspond à $(-\infty, 3]$ ; le crochet indique que 3 est inclus, et on le marque d’un point plein.
• $-2 \le x < 4$ correspond à $[-2, 4)$.
• L’infini prend toujours une parenthèse, car ce n’est pas un nombre que l’on peut inclure. En France, on écrit souvent un crochet tourné vers l’extérieur à la place de la parenthèse ; les deux notations désignent le même ensemble.

La seule règle qui change par rapport aux équations

Vous pouvez ajouter ou soustraire n’importe quel nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser les deux membres par un nombre positif, exactement comme pour une équation. Mais si vous multipliez ou divisez les deux membres par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse.

Pour comprendre pourquoi, partez de l’affirmation vraie $-2 < 3$ et multipliez les deux membres par $-1$. Vous obtenez $2$ et $-3$, et $2 > -3$. Multiplier par un nombre négatif retourne la droite graduée, ce qui change le côté le plus grand. Il en va de même si vous échangez les deux membres d’une inégalité : $5 > x$ signifie la même chose que $x < 5$.

Inéquations du premier degré

Tester une valeur de chaque côté de la borne prend dix secondes et repère à coup sûr un changement de sens oublié.

Inéquations doubles : « et » et « ou »

Un encadrement comme $-3 \le 2x + 1 < 9$ signifie que les deux conditions sont vraies. On le résout en appliquant la même opération aux trois membres à la fois.

La solution est $[-2, 4)$, la partie commune aux deux conditions. Une condition avec « ou », comme $x < -1$ ou $x \ge 3$, est la réunion de deux morceaux et s’écrit $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$.

Inéquations avec valeur absolue

La valeur absolue $|A|$ est la distance de $A$ à zéro. Une distance inférieure à $k$ signifie être proche de zéro, ce qui donne un seul intervalle ; une distance supérieure à $k$ signifie en être éloigné, ce qui donne deux morceaux. Pour $k > 0$ :

Si $k$ est négatif, $|A| < k$ n’a aucune solution et $|A| > k$ est vraie pour tout réel, puisqu’une valeur absolue n’est jamais négative.

Inéquations du second degré avec un tableau de signes

N’essayez pas de prendre des racines carrées dans une inégalité. Ramenez plutôt tout dans un membre, cherchez où l’expression s’annule et étudiez son signe entre ces points.

Graphiquement, $y = x^2 - x - 6$ est une parabole tournée vers le haut qui se trouve au-dessus de l’axe des abscisses à l’extérieur de ses racines, ce qui concorde avec le tableau de signes. La calculatrice d’équations du second degré trouve les racines si elles sont difficiles à factoriser.

Inéquations rationnelles

Dans une inéquation où l’inconnue figure au dénominateur, ne multipliez jamais les deux membres par ce dénominateur : vous ne savez pas s’il est positif ou négatif. Utilisez plutôt un tableau de signes avec les zéros du numérateur et du dénominateur.

Inéquations à deux inconnues

Une inéquation comme $y > 2x + 1$ décrit une région du plan. Tracez la droite frontière $y = 2x + 1$, en pointillés si l’inégalité est stricte et en trait plein si c’est $\le$ ou $\ge$, puis hachurez le demi-plan qui la vérifie. Le plus rapide est de tester l’origine : $0 > 1$ est faux, donc hachurez le côté qui ne contient pas $(0, 0)$. La calculatrice graphique représente directement ce type d’inéquation.

Erreurs fréquentes

• Oublier d’inverser le sens après avoir multiplié ou divisé par un nombre négatif.
• Multiplier par une expression contenant l’inconnue dont on ignore le signe.
• Écrire $|x - 4| < 3$ seulement sous la forme $x - 4 < 3$, ce qui fait perdre la borne inférieure.
• Mettre un crochet du côté de l’infini, ou le mauvais symbole à une borne.
• Inclure une valeur qui annule un dénominateur.

La calculatrice d’inéquations montre chaque étape et la notation en intervalles. Pour les étapes de résolution d’équations utilisées tout du long, consultez comment résoudre une équation du premier degré.

Un problème concret avec une inéquation

Les inéquations apparaissent dès qu’une situation comporte une limite, un minimum ou un budget. Des expressions comme « au moins », « pas plus de », « au plus » et « dépasse » indiquent le symbole à utiliser : « au moins » signifie $\ge$, « au plus » et « pas plus de » signifient $\le$, et « dépasse » ou « plus de » signifient $>$.

Le contexte a ajouté une contrainte que l’algèbre seule ne donnait pas. Les problèmes réels exigent souvent $t \ge 0$ ou une condition d’entier : demandez-vous toujours quelles valeurs ont du sens avant d’écrire l’intervalle final.

Vérifier une solution sous forme d’intervalle

La solution d’une inéquation comporte trois éléments où peuvent se glisser des erreurs : les valeurs frontières, l’inclusion ou non de chaque borne, et le côté de la borne que l’on garde. Vérifiez-les dans cet ordre. Remplacez chaque borne dans l’inéquation de départ pour voir si elle donne l’égalité, ce qui indique si cette borne appartient à la solution. Testez ensuite une valeur à l’intérieur de chaque intervalle de votre solution et une autre à l’extérieur.

Dans l’exemple rationnel, $x = 1$ donne $\frac{0}{3} = 0$, et $0 \le 0$ est vrai : 1 est donc inclus. En $x = -2$, l’expression n’est pas définie : $-2$ est exclu même si l’inégalité admet l’égalité. Ces deux vérifications confirment les symboles de $(-2, 1]$.

Questions fréquentes