Équation du second degré — Calculatrice de discriminant et de racines

Q: Quelles sont les formules des racines du second degré ?

Pour ax^2 + bx + c = 0, les solutions sont x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Elles s’appliquent à toute équation du second degré, y compris celles qu’on ne sait pas factoriser.

Q: Qu’indique le discriminant ?

Si b^2 - 4ac > 0, il y a deux racines réelles distinctes ; s’il vaut 0, il y a une racine double ; s’il est négatif, il y a deux racines complexes.

Q: La calculatrice donne-t-elle les racines complexes ?

Oui. Avec un discriminant négatif, les racines s’écrivent p ± qi ; pour x^2 + 2x + 5 = 0, ce sont -1 ± 2i.

Q: Comment trouver le sommet de la parabole ?

Le sommet est en x = -b/(2a) ; remplacez cette valeur pour obtenir l’ordonnée. La calculatrice affiche les deux coordonnées.

Q: Pourquoi a ne peut-il pas être nul dans une équation du second degré ?

Si a = 0, le terme en x^2 disparaît et l’équation devient du premier degré, bx + c = 0, avec au plus une solution. De plus, la formule diviserait par zéro : c’est pourquoi la calculatrice demande un a non nul.

À propos de la calculatrice d’équation du second degré

Une équation du second degré s’écrit $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$ . Sa courbe représentative est une parabole, et les solutions sont les points d’intersection avec l’axe des abscisses.

Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ indique le type de racines à attendre : deux racines réelles s’il est positif, une racine double s’il est nul et deux racines complexes conjuguées s’il est négatif. La calculatrice garde les radicaux exacts : $2x^2 + 4x - 3 = 0$ donne ainsi $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ .

Qu’est-ce qu’une équation du second degré ?

Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré deux : la plus haute puissance de l’inconnue est $x^2$ . Sous forme développée, elle s’écrit $ax^2 + bx + c = 0$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres et $a$ n’est pas nul. Le coefficient $a$ détermine l’ouverture de la parabole et si elle est tournée vers le haut ou vers le bas, $b$ la décale latéralement et $c$ est l’ordonnée à l’origine.

Comme la courbe de $y = ax^2 + bx + c$ est une parabole, elle peut couper l’axe des abscisses deux fois, le toucher une fois en son sommet ou ne jamais le toucher. Ces trois situations correspondent à deux solutions réelles, une solution double et aucune solution réelle, et le discriminant indique laquelle se présente avant même de calculer une racine.

Comment utiliser la calculatrice d’équation du second degré

Réécrivez votre équation de sorte qu’un des membres soit 0.
Saisissez les coefficients a, b et c. Les fractions et les nombres décimaux sont acceptés.
Appuyez sur Résoudre pour voir le discriminant, les deux racines, la forme factorisée et le sommet.

Formules

Formules des racines

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

Sommet

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Relations de Viète

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Exemple corrigé: x² − 3x − 10 = 0

L’exemple résolu est $x^2 - 3x - 10 = 0$ , donc $a = 1$ , $b = -3$ et $c = -10$ . Le discriminant vaut $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ , un carré parfait positif : il y a donc deux racines rationnelles. La formule donne $\frac{3 \pm 7}{2}$ , c’est-à-dire $x = -2$ et $x = 5$ . La calculatrice trouve aussi le sommet en $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ et la forme factorisée $(x + 2)(x - 5)$ , puis confirme avec les relations de Viète que la somme des racines vaut 3 et leur produit −10.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

Comment nous avons lu votre problème

Résoudre une équation du second degré sous forme développée avec le discriminant.

x^2 - 3x - 10 = 0

Solution étape par étape

Identifier les coefficients de ax² + bx + c = 0
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Calculer le discriminant
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, donc il y a deux racines réelles distinctes
Appliquer les formules des racines
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Simplifier chaque racine
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Trouver le sommet de la parabole
La parabole est tournée vers le haut : le sommet est un minimum.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Forme factorisée
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Formules utilisées

Formules des racines du second degré
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Discriminant
$\Delta = b^2 - 4ac$
Sommet
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

Le discriminant est positif : la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points.

Vérification

Remplacer x = -2 : 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
Remplacer x = 5 : 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Relations de Viète : somme des racines = 3 = −b/a = 3 ; produit = -10 = c/a = -10

Explication détaillée

Les trois cas du discriminant

Lorsque $\Delta > 0$ , la racine carrée est un nombre réel et le $\pm$ produit deux racines distinctes. Si de plus $\Delta$ est un carré parfait, comme le 49 de l’exemple, les racines sont rationnelles et le polynôme se factorise avec des entiers ; sinon, elles contiennent un radical, comme dans $2x^2 + 4x - 3 = 0$ , dont les racines sont $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ . Lorsque $\Delta = 0$ , les deux racines sont confondues : $x^2 - 6x + 9 = 0$ a la racine double $x = 3$ et la parabole ne fait que toucher l’axe. Lorsque $\Delta < 0$ , il n’y a pas de racine réelle et la calculatrice donne le couple de racines complexes, par exemple $-1 \pm 2i$ pour $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

D’où viennent les formules

Les formules des racines s’obtiennent en passant l’équation générale sous forme canonique. En divisant par $a$ et en faisant passer $c$ dans l’autre membre, on obtient $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ; ajouter $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ aux deux membres transforme le membre de gauche en carré parfait, $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . En prenant les racines carrées et en soustrayant $\frac{b}{2a}$ , la formule apparaît. Cette démonstration explique aussi le sommet : la parabole est symétrique par rapport à la droite $x = -\frac{b}{2a}$ , au milieu des deux racines.

Lire le sommet et la courbe

Le sommet est le point où la parabole change de sens de variation. Son abscisse est $-\frac{b}{2a}$ , et en la remplaçant dans l’équation on obtient l’ordonnée, qui est le minimum lorsque $a > 0$ et le maximum lorsque $a < 0$ . Dans l’exemple, le sommet est en $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ : l’expression $x^2 - 3x - 10$ n’est donc jamais inférieure à $-12.25$ . C’est pourquoi les fonctions du second degré sont si utiles dans les problèmes d’optimisation, comme trouver le point le plus haut d’une balle lancée ou le prix qui maximise une recette.

La forme canonique $a(x - h)^2 + k$ donne directement la même information, avec $(h, k)$ pour sommet.

Erreurs fréquentes

Utiliser $-b^2$ au lieu de $b^2$ lorsque $b$ est négatif : $(-3)^2 = 9$ .
Diviser seulement $-b$ par $2a$ au lieu du numérateur entier.
Saisir les coefficients avant d’avoir fait passer tous les termes dans un même membre.
Oublier le ± et ne donner qu’une seule racine.
Donner des racines complexes quand seules les solutions réelles sont demandées, ou l’inverse ; lisez bien l’énoncé.

Conseils

Si $b$ est pair, la formule se simplifie en $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ .
Vérifiez vos racines avec les relations de Viète : leur somme doit valoir $-\frac{b}{a}$ .
Si $\Delta$ est un carré parfait, le polynôme se factorise avec des entiers.
Divisez d’abord les trois coefficients par un facteur commun ; les racines ne changent pas et les calculs sont plus simples.
Le sommet se trouve à mi-chemin entre les deux racines, ce qui permet de vérifier rapidement les deux.

Questions fréquentes

Quelles sont les formules des racines du second degré ?

Pour $ax^2 + bx + c = 0$ , les solutions sont $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Elles s’appliquent à toute équation du second degré, y compris celles qu’on ne sait pas factoriser.

Qu’indique le discriminant ?

Si $b^2 - 4ac > 0$ , il y a deux racines réelles distinctes ; s’il vaut 0, il y a une racine double ; s’il est négatif, il y a deux racines complexes.

La calculatrice donne-t-elle les racines complexes ?

Oui. Avec un discriminant négatif, les racines s’écrivent $p \pm qi$ ; pour $x^2 + 2x + 5 = 0$ , ce sont $-1 \pm 2i$ .

Que se passe-t-il si a = 0 ?

L’équation est alors du premier degré, et non du second. Utilisez la calculatrice d’équations ou la calculatrice pour trouver x.

Comment trouver le sommet de la parabole ?

Le sommet est en $x = -\frac{b}{2a}$ ; remplacez cette valeur pour obtenir l’ordonnée. La calculatrice affiche les deux coordonnées.

Pourquoi garder les racines avec des radicaux plutôt qu’en décimales ?

Les radicaux exacts conservent toute la précision et montrent la structure de la réponse. Une valeur décimale approchée est affichée à côté par commodité.

Que signifie une racine double ?

Cela signifie que le discriminant est nul et que les deux racines sont le même nombre. La parabole touche l’axe des abscisses en son sommet sans le traverser, comme pour $x^2 - 6x + 9 = 0$ , qui a la racine double $x = 3$ .

Quand vaut-il mieux factoriser plutôt qu’utiliser la formule ?

Factorisez lorsque le discriminant est un carré parfait et que les nombres sont petits, car les racines sont alors rationnelles. La formule fonctionne toujours : utilisez-la quand la factorisation n’est pas évidente.

Pourquoi a ne peut-il pas être nul dans une équation du second degré ?

Si $a = 0$ , le terme en $x^2$ disparaît et l’équation devient du premier degré, $bx + c = 0$ , avec au plus une solution. De plus, la formule diviserait par zéro : c’est pourquoi la calculatrice demande un $a$ non nul.

Essayez la calculatrice d’équation du second degré

Saisissez a, b et c et obtenez le discriminant, les racines exactes, le sommet et la forme factorisée.

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Calculatrice d’équation du second degré