Factoriser un polynôme : une liste de contrôle étape par étape

Pourquoi la factorisation compte

Factoriser un polynôme, c’est l’écrire comme un produit de polynômes plus simples. Développer $(x + 3)(x + 4)$ donne $x^2 + 7x + 12$ ; factoriser, c’est faire le chemin inverse. La forme factorisée est souvent bien plus utile : elle montre immédiatement les racines d’une équation, simplifie les fractions rationnelles en éliminant les facteurs communs et révèle où une courbe coupe l’axe des abscisses.

Toute factorisation se vérifie en remultipliant les facteurs. Si le développement ne redonne pas exactement le polynôme de départ, quelque chose ne va pas : faites-en une habitude.

La liste de contrôle de la factorisation

Chaque professeur et chaque manuel ordonnent les techniques un peu différemment, mais la liste suivante convient à presque tous les polynômes d’un premier cours d’algèbre. Appliquez-la dans l’ordre et recommencez sur chaque facteur jusqu’à ce que plus rien ne se factorise.

1. Mettez en facteur le plus grand facteur commun à tous les termes.
2. Comptez les termes. Avec deux termes, cherchez une différence de deux carrés ou une somme ou différence de deux cubes.
3. Avec trois termes, cherchez un carré parfait et, sinon, utilisez la recherche produit-somme ou la méthode du produit AC.
4. Avec quatre termes, essayez le regroupement.
5. À partir du degré trois et sans forme évidente, utilisez le théorème des racines rationnelles et la division de polynômes.
6. Repassez sur chaque facteur, puis développez pour vérifier.

Étape 1 : le plus grand facteur commun

Commencez toujours par là. Cherchez le plus grand nombre qui divise tous les coefficients et la plus petite puissance de chaque variable présente dans tous les termes.

Si le coefficient dominant est négatif, mettez en facteur un facteur commun négatif. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ est bien plus confortable que de travailler avec un terme en $x^2$ négatif.

Trinômes de coefficient dominant 1

Pour $x^2 + bx + c$, cherchez deux nombres $m$ et $n$ tels que $mn = c$ et $m + n = b$. On a alors $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$ : 3 et 4 donnent 12 quand on les multiplie et 7 quand on les additionne, d’où les facteurs $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$ : $-5$ et 3 donnent $-15$ quand on les multiplie et $-2$ quand on les additionne, d’où les facteurs $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$ : $-4$ et $-5$, ce qui donne $(x - 4)(x - 5)$.

Les signes offrent un raccourci. Si $c$ est positif, les deux nombres ont le signe de $b$. Si $c$ est négatif, les nombres sont de signes contraires et celui qui a la plus grande valeur absolue porte le signe de $b$.

Trinômes de coefficient dominant quelconque : la méthode du produit AC

Lorsque $a \neq 1$, multipliez $a$ par $c$, cherchez deux nombres de produit $ac$ et de somme $b$, servez-vous-en pour scinder le terme du milieu, puis factorisez par regroupement.

Un trinôme à coefficients entiers se factorise dans les entiers exactement lorsque $b^2 - 4ac$ est un carré parfait. Pour $3x^2 - 10x + 8$, le discriminant vaut $100 - 96 = 4$, un carré parfait : la recherche doit donc aboutir. Si le discriminant n’est pas un carré parfait, arrêtez de chercher et utilisez plutôt la formule du discriminant.

Les identités remarquables à reconnaître

Trois formes reviennent si souvent qu’il vaut la peine de les reconnaître au premier coup d’œil :

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$ : on applique l’identité deux fois.
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$, car $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ et $12x = 2(2x)(3)$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ et $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

Une somme de deux carrés comme $x^2 + 4$ ne se factorise pas dans les nombres réels. Son discriminant vaut $-16$, qui est négatif.

Quatre termes : la factorisation par regroupement

Partagez le polynôme en deux paires, mettez en facteur ce qui est commun dans chacune et cherchez une parenthèse commune.

Si les parenthèses ne correspondent pas, essayez de réordonner les termes en d’autres paires avant d’abandonner.

Degrés supérieurs : le théorème des racines rationnelles

Pour un polynôme à coefficients entiers, toute racine rationnelle $\frac{p}{q}$ écrite sous forme irréductible vérifie : $p$ divise le terme constant et $q$ divise le coefficient dominant. Testez les candidats jusqu’à ce que l’un donne zéro, puis divisez par le facteur correspondant.

La calculatrice de polynômes effectue la division étape par étape si vous voulez comparer.

Erreurs fréquentes en factorisation

• Oublier le facteur commun, ce qui laisse un trinôme plus difficile et un résultat incomplet.
• S’arrêter trop tôt : $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ n’est pas terminé, car $x^2 - 4$ se factorise encore.
• Traiter $a^2 + b^2$ comme une différence de deux carrés.
• Faire des erreurs de signe en regroupant : $-4x - 12 = -4(x + 3)$, et non $-4(x - 3)$.
• Ne pas vérifier en développant. Multiplier prend quelques secondes et détecte toutes les erreurs ci-dessus.

Essayez vos propres polynômes dans la calculatrice de factorisation, qui indique la méthode utilisée à chaque étape, et servez-vous des formes factorisées pour simplifier des fractions rationnelles.

Savoir quand un polynôme ne se factorise pas

Tous les polynômes ne se factorisent pas dans les entiers, et s’en rendre compte tôt fait gagner beaucoup de temps. Pour un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$ à coefficients entiers, calculez le discriminant $b^2 - 4ac$. S’il est un carré parfait, le polynôme se factorise en facteurs du premier degré à coefficients rationnels. S’il est positif sans être un carré parfait, les racines sont irrationnelles et l’on dit que le polynôme est irréductible sur les rationnels ; s’il est négatif, il ne se factorise pas du tout dans les réels.

Par exemple, $x^2 + 3x + 1$ a pour discriminant $9 - 4 = 5$, qui n’est pas un carré parfait : aucune paire d’entiers ne donne 1 en les multipliant et 3 en les additionnant. Ses racines, $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$, s’obtiennent avec la formule du discriminant. La somme de carrés $x^2 + 4$ a pour discriminant $-16$ et ne se factorise pas dans les réels, même si elle se factorise dans les complexes sous la forme $(x - 2i)(x + 2i)$.

Pour les polynômes de degré trois ou plus, le théorème des racines rationnelles fournit une liste finie de candidats. Si aucun n’est racine, le polynôme n’a aucun facteur du premier degré à coefficients rationnels, même si un polynôme de degré quatre pourrait encore se décomposer en deux polynômes du second degré.

À quoi sert la factorisation par la suite

La factorisation n’est pas un chapitre isolé. Résoudre des équations polynomiales repose sur la règle du produit nul : si $AB = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$. Simplifier des fractions rationnelles dépend de l’élimination des facteurs communs. Trouver les points d’intersection avec l’axe des abscisses et le signe d’un polynôme utilise directement la forme factorisée, et en analyse, les limites de la forme $\frac{0}{0}$ se lèvent souvent en factorisant puis en simplifiant.

Par exemple, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ne se calcule pas par substitution, mais en factorisant le numérateur en $(x - 2)(x + 2)$ puis en simplifiant, il reste $x + 2$ : la limite vaut donc 4. La décomposition en éléments simples pour intégrer commence elle aussi par factoriser complètement le dénominateur.

Vérifiez toujours une factorisation en la développant. Multiplier prend moins de temps que factoriser et repère aussitôt les erreurs de signe.

Pour contrôler une de vos factorisations, saisissez-la dans la calculatrice de factorisation ou développez votre résultat avec la calculatrice de simplification.

Questions fréquentes