Calculatrice de fractions rationnelles

À propos de la calculatrice de fractions rationnelles

Les fractions rationnelles, aussi appelées expressions rationnelles, sont des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, comme $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Elles se comportent comme les fractions ordinaires : tout ce que vous savez sur la simplification, la réduction au même dénominateur et la division par une fraction reste valable. La différence, c’est que vous factorisez désormais des polynômes et que vous devez tenir compte des valeurs de $x$ qui annulent un dénominateur.

Cette calculatrice effectue cinq opérations sur les fractions rationnelles à une variable : simplifier, additionner, soustraire, multiplier et diviser. Elle factorise sur les rationnels tous les numérateurs et dénominateurs, construit le plus petit dénominateur commun lorsque c’est nécessaire, simplifie les facteurs communs et indique les valeurs interdites du résultat final, ce que beaucoup de corrigés oublient.

Qu’est-ce qu’une fraction rationnelle ?

Une fraction rationnelle est un quotient $\frac{P(x)}{Q(x)}$ de deux polynômes dans lequel $Q$ n’est pas le polynôme nul. Elle n’est pas définie aux points où $Q(x) = 0$ : son ensemble de définition est donc l’ensemble des réels privé des racines du dénominateur.

Deux fractions rationnelles sont égales si elles coïncident en tout point où elles sont toutes deux définies. Simplifier consiste à remplacer une fraction par une fraction égale irréductible, sans aucun facteur commun entre le numérateur et le dénominateur. Comme la simplification peut faire disparaître un facteur du dénominateur, les valeurs interdites de l’expression de départ doivent être conservées explicitement.

Comment utiliser la calculatrice de fractions rationnelles

Choisissez simplifier, additionner, soustraire, multiplier ou diviser.
Saisissez la première fraction dans A, en mettant numérateurs et dénominateurs entre parenthèses, par exemple (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Pour les quatre opérations, saisissez la seconde fraction dans B, comme 2/(x + 1).
Lancez le calcul et suivez les étapes de factorisation, de réduction au même dénominateur et de simplification.
Recopiez le résultat avec ses valeurs interdites.

Formules

Simplification

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Addition au même dénominateur

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Multiplication

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

Division

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Exemple corrigé: Simplifier (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

L’exemple résolu simplifie $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ jusqu’à la rendre irréductible. Le moteur reconnaît une différence de deux carrés au numérateur et un trinôme factorisable au dénominateur, qui ont en commun le facteur $x + 3$ .

Après simplification, le moteur liste les deux valeurs interdites, $-3$ et $-2$ . La valeur $-3$ n’annule plus le dénominateur simplifié, mais elle était interdite dans l’expression de départ : elle reste donc interdite.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\frac{x - 3}{x + 2}

Comment nous avons lu votre problème

Simplifier la fraction rationnelle jusqu’à la forme irréductible.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Solution étape par étape

Écrire sous la forme d’une seule fraction
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Factoriser le numérateur et le dénominateur
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Simplifier par le facteur commun
Le facteur x + 3 apparaît au numérateur et au dénominateur. Le simplifier ne change pas la valeur partout où l’expression de départ est définie.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Indiquer les valeurs interdites
L’expression de départ n’est pas définie là où un dénominateur (ou un diviseur) s’annule : x ≠ -3, x ≠ -2. Ces restrictions demeurent même si un facteur a été simplifié.

Formules utilisées

Simplification
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

Sous forme irréductible, le résultat est (x - 3)/(x + 2). Valeurs interdites : x ≠ -3, x ≠ -2.

Vérification

La forme simplifiée a été comparée à l’expression de départ en quatre points tests et elles concordent.

Explication détaillée

Additionner et soustraire

Pour additionner des fractions rationnelles, réduisez-les au même dénominateur. Le plus petit dénominateur commun est le produit de tous les facteurs distincts des dénominateurs, chacun élevé à la plus grande puissance avec laquelle il apparaît. Pour $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ , le plus petit dénominateur commun est $(x - 1)(x + 1)$ ; chaque numérateur est multiplié par le facteur qui manque à son dénominateur, et l’on obtient $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ .

La soustraction suit le même schéma, mais c’est le second numérateur entier qui est soustrait : mettez-le entre parenthèses avant de distribuer le signe moins. Après le regroupement, factorisez le nouveau numérateur pour voir si un facteur se simplifie avec le dénominateur commun.

Multiplier et diviser

La multiplication ne demande pas de dénominateur commun. Factorisez d’abord tout, simplifiez chaque facteur présent à la fois dans un numérateur et dans un dénominateur, puis multipliez ce qui reste. Simplifier avant de multiplier garde des polynômes de petite taille.

Pour diviser, multipliez par l’inverse de la seconde fraction. Cela ajoute une nouvelle restriction : le numérateur du diviseur ne peut pas être nul, car il devient un dénominateur une fois la fraction inversée. Diviser $\frac{x}{x + 2}$ par $\frac{x - 1}{x + 2}$ donne $\frac{x}{x - 1}$ , avec $x \neq -2$ et $x \neq 1$ comme valeurs interdites.

Pourquoi les valeurs interdites comptent

Les valeurs interdites ne sont pas une formalité. La courbe de $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ ressemble à celle de $\frac{x - 3}{x + 2}$ , mais elle présente un trou en $x = -3$ et une asymptote verticale en $x = -2$ . Quand on résout des équations avec des fractions rationnelles, une solution candidate égale à une valeur interdite n’est pas une vraie solution et doit être rejetée.

Erreurs fréquentes

Simplifier des termes d’une somme au lieu de facteurs, comme barrer le $x$ dans $\frac{x + 2}{x}$ .
Additionner séparément les numérateurs et les dénominateurs : $\frac1x + \frac1y$ n’est pas $\frac{2}{x + y}$ .
Oublier de distribuer le signe moins sur tout le second numérateur lors d’une soustraction.
Perdre les valeurs interdites après avoir simplifié par un facteur commun.
Inverser la première fraction au lieu de la seconde lors d’une division.

Conseils

Factorisez entièrement tous les numérateurs et dénominateurs avant toute autre opération.
Gardez le dénominateur commun sous forme factorisée ; le développer trop tôt rend la simplification plus difficile.
Rassemblez les valeurs interdites de tous les dénominateurs, y compris le numérateur du diviseur, avant de simplifier.
Vérifiez un résultat en remplaçant par une valeur comme $x = 5$ dans l’expression de départ et dans l’expression simplifiée.
Utilisez la calculatrice d’ensemble de définition pour voir l’ensemble de définition complet du résultat.

Questions fréquentes

Comment simplifier une fraction rationnelle ?

Factorisez entièrement le numérateur et le dénominateur, simplifiez par les facteurs qu’ils ont en commun et indiquez comme valeurs interdites les valeurs de x qui annulent le dénominateur de départ.

Qu’est-ce qu’une valeur interdite ?

Une valeur de la variable qui annule un dénominateur, si bien que l’expression n’y est pas définie. Les valeurs interdites de l’expression de départ le restent après simplification.

Comment trouver le plus petit dénominateur commun ?

Factorisez chaque dénominateur et multipliez tous les facteurs distincts, chacun avec la plus grande puissance avec laquelle il apparaît dans l’un des dénominateurs.

Pourquoi ne puis-je pas simplifier le x dans (x + 2)/x ?

Au numérateur, x est un terme d’une somme, pas un facteur de tout le numérateur. On ne peut simplifier que par des facteurs qui multiplient tout le numérateur et tout le dénominateur.

Comment diviser des fractions rationnelles ?

Multipliez la première fraction par l’inverse de la seconde, puis factorisez et simplifiez. Le numérateur de la seconde fraction ajoute de nouvelles valeurs interdites, car il devient un dénominateur.

La calculatrice accepte-t-elle plusieurs variables ?

Cette calculatrice travaille avec des fractions rationnelles à une seule variable. Pour des expressions polynomiales à plusieurs variables, utilisez la calculatrice pour simplifier une expression.

Quelle différence y a-t-il entre un trou et une asymptote ?

Un trou apparaît là où un facteur se simplifie entre le numérateur et le dénominateur. Une asymptote verticale apparaît là où un facteur reste au dénominateur après simplification.

Essayez la calculatrice de fractions rationnelles

Simplifiez, additionnez, soustrayez, multipliez ou divisez des fractions rationnelles avec les valeurs interdites à chaque étape.

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