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Résoudre un problème

Calcul du PPCM

Trouvez le plus petit nombre positif qui est un multiple de toutes les valeurs de votre liste, avec le raisonnement expliqué.

De deux à dix nombres entiers séparés par des virgules ou des espaces.

Exemples

À propos du calcul du PPCM

Le plus petit commun multiple d’un ensemble d’entiers est le plus petit entier positif qui est un multiple de chacun d’eux. C’est le plus petit dénominateur commun quand on additionne des fractions, et la réponse à de nombreux problèmes d’horaires et de coïncidences.

Cet outil construit le PPCM à partir de la décomposition en facteurs premiers et le confirme avec l’identité lcm⁡(a,b)=∣ab∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{|ab|}{\gcd(a,b)}.

Qu’est-ce que le plus petit commun multiple ?

Les multiples d’un nombre s’obtiennent en le multipliant par 1, 2, 3, et ainsi de suite : les multiples de 12 sont 12, 24, 36, 48, etc., et ceux de 18 sont 18, 36, 54, etc. Un multiple commun apparaît dans les deux listes, et le plus petit commun multiple est le premier d’entre eux, ici 36.

Deux entiers positifs ont une infinité de multiples communs, et ce sont tous des multiples du PPCM. Le PPCM n’est jamais plus petit que le plus grand nombre de la liste ni plus grand que le produit de tous les nombres ; il est exactement égal à ce produit quand les nombres n’ont aucun facteur premier en commun.

Comment utiliser le calcul du PPCM

  1. Saisissez de deux à dix nombres entiers séparés par des virgules ou des espaces.
  2. Appuyez sur Calculer le PPCM.
  3. Examinez la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre et la plus grande puissance de chaque facteur premier retenue.

Formules

À partir de la décomposition en facteurs premiers

lcm⁡=∏pmax⁡(e1,e2,…)\operatorname{lcm} = \prod p^{\max(e_1, e_2, \ldots)}

Avec le PGCD

lcm⁡(a,b)=∣a⋅b∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

Plus de deux nombres

lcm⁡(a,b,c)=lcm⁡(lcm⁡(a,b),c)\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)

Exemple corrigé: 12, 18

L’exemple corrigé calcule le PPCM de 12 et 18. Leurs décompositions en facteurs premiers sont 12=22×312 = 2^2 \times 3 et 18=2×3218 = 2 \times 3^2. Comme gcd⁡(12,18)=6\gcd(12, 18) = 6, l’identité donne 12×186=2166=36\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36. Prendre chaque facteur premier avec son plus grand exposant, 22×32=362^2 \times 3^2 = 36, donne le même résultat, et les vérifications confirment que 36 est divisible exactement par 12 et par 18.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

3636

Comment nous avons lu votre problème

Calculer le plus petit commun multiple (PPCM) des nombres.

Solution étape par étape

  1. Décomposition en facteurs premiers de chaque nombre

    12=22×3,18=2×3212 = 2^{2} \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^{2}

  2. Utiliser le PGCD pour combiner 12 et 18

    lcm⁡(12,18)=12×18gcd⁡(12,18)=2166=36\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36

  3. Vérifier avec les facteurs premiers

    Prendre chaque facteur premier qui apparaît, avec son plus grand exposant.

    22×32=362^{2} \times 3^{2} = 36

Formules utilisées

  • PPCM à partir du PGCD

    lcm⁡(a,b)=∣a⋅b∣gcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

36 est le plus petit nombre positif divisible exactement par chacun des nombres saisis.

Vérification

  • 36 ÷ 12 = 3
  • 36 ÷ 18 = 2

Explication détaillée

Pourquoi les plus grandes puissances

Un multiple de 12 doit contenir 222^2 et 3 parmi ses facteurs premiers, et un multiple de 18 doit contenir 2 et 323^2. Pour être un multiple des deux, un nombre a besoin de 222^2 pour couvrir 12 et de 323^2 pour couvrir 18, et de rien d’autre. Prendre chaque facteur premier avec son plus grand exposant est donc le plus petit choix qui couvre tous les nombres, ce qui est exactement la définition du plus petit commun multiple.

Le PPCM dans les fractions et les horaires

Le plus petit dénominateur commun de deux fractions est le PPCM de leurs dénominateurs. Pour calculer 512+718\frac{5}{12} + \frac{7}{18}, on réécrit les deux fractions sur 36, ce qui garde des nombres plus petits qu’avec 12×18=21612 \times 18 = 216. Le PPCM résout aussi les questions d’horaires : si un bus part toutes les 8 minutes, un autre toutes les 12 et un troisième toutes les 15, ils repartent ensemble au bout de lcm⁡(8,12,15)=120\operatorname{lcm}(8, 12, 15) = 120 minutes.

Si la liste contient un 0, la calculatrice renvoie 0 par convention et explique que 0 est un multiple de tout entier, puisqu’il n’existe alors aucun multiple commun positif.

Comment le PPCM et le PGCD s’articulent

Pour deux entiers positifs, le produit du PGCD et du PPCM est toujours égal au produit des deux nombres. La raison se voit dans la décomposition en facteurs premiers : pour chaque facteur premier, le PGCD prend le plus petit exposant et le PPCM le plus grand, et à eux deux ils utilisent chaque exposant exactement une fois. Avec 12 et 18, le PGCD 6 et le PPCM 36 multipliés donnent 216, soit 12×1812 \times 18. Cette identité ne s’étend pas directement à trois nombres ou plus : la calculatrice les combine donc deux par deux.

Erreurs fréquentes

  • Multiplier tous les nombres entre eux ; on obtient un multiple commun, mais souvent pas le plus petit.
  • Prendre la plus petite puissance de chaque facteur premier ; le PPCM demande la plus grande.
  • Confondre le PPCM et le PGCD : le PPCM est au moins aussi grand que le plus grand des nombres.
  • Lister les multiples du plus grand nombre seulement et retenir le premier sans le tester avec les autres.

Conseils

  • Si un nombre est un multiple de tous les autres, c’est lui le PPCM.
  • Si les nombres sont premiers entre eux, le PPCM est simplement leur produit.
  • Utilisez le PPCM des dénominateurs comme dénominateur commun pour additionner des fractions.
  • Vérifiez un PPCM en le divisant par chaque nombre ; tous les quotients doivent être entiers.
  • Avec deux nombres, calculez d’abord le PGCD ; diviser leur produit par ce PGCD est souvent le chemin le plus court.
  • Avec de petits nombres, écrivez quelques multiples du plus grand et testez chacun avec les autres ; le premier qui convient est le PPCM.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que le plus petit commun multiple ?

C’est le plus petit entier positif divisible exactement par chacun des nombres. Le PPCM de 4, 6 et 10 vaut 60.

Quel lien y a-t-il entre le PPCM et le PGCD ?

Pour deux entiers positifs, leur produit est égal au PGCD multiplié par le PPCM, donc lcm⁡(a,b)=abgcd⁡(a,b)\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{\gcd(a,b)}.

Quand ai-je besoin du PPCM ?

Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, et dans les problèmes qui demandent quand des événements répétitifs vont de nouveau coïncider.

Que vaut le PPCM si l’un des nombres est 0 ?

Zéro est un multiple de tout nombre, mais le PPCM est défini comme le plus petit multiple commun positif : par convention, lcm⁡(a,0)=0\operatorname{lcm}(a, 0) = 0.

Le PPCM peut-il être plus petit que les nombres ?

Non. Le PPCM est toujours au moins aussi grand que la plus grande valeur absolue de la liste (sauf si un 0 y figure).

La calculatrice accepte-t-elle les nombres négatifs ?

Oui. Le signe n’a pas d’effet sur les multiples : le PPCM se calcule avec les valeurs absolues et il est donné sous forme d’un nombre positif.

Comment calculer le PPCM de trois nombres ?

Combinez-les deux par deux : lcm⁡(8,12)=24\operatorname{lcm}(8, 12) = 24, puis lcm⁡(24,15)=120\operatorname{lcm}(24, 15) = 120. Ou prenez chaque facteur premier avec son plus grand exposant : 23×3×5=1202^3 \times 3 \times 5 = 120.

Quelle différence entre le PPCM et le plus petit dénominateur commun ?

Le plus petit dénominateur commun est simplement le PPCM appliqué aux dénominateurs de fractions. Pour 512\frac{5}{12} et 718\frac{7}{18}, il vaut lcm⁡(12,18)=36\operatorname{lcm}(12, 18) = 36.

Essayez le calcul du PPCM

Saisissez vos nombres et consultez la décomposition en facteurs premiers et la vérification.

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