Calculatrices d’analyse : dérivées, intégrales et limites

L’analyse étudie la variation et l’accumulation. La dérivée mesure la vitesse à laquelle une grandeur change ; l’intégrale additionne de petits morceaux pour trouver des aires et des totaux. Ces calculatrices montrent quelle règle s’applique à chaque étape et vérifient chaque résultat.

Calculatrices

Calculatrice de dérivées

Voyez quelle formule de dérivation s’applique à chaque étape, de l’opération la plus extérieure vers l’intérieur.

Calculatrice d’intégrales

Intégrales indéfinies et définies, avec la méthode indiquée à chaque étape et chaque primitive vérifiée avant d’être affichée.

Calculatrice d’intégrales définies

Saisissez une fonction et les deux bornes d’intégration pour obtenir la valeur exacte de l’intégrale définie, avec la primitive, l’évaluation F(b) − F(a) et, pour les intégrales impropres, la limite qui décide de la convergence.

Calculatrice de limites

Saisissez une fonction et la valeur vers laquelle tend x pour calculer la limite, avec la forme indéterminée identifiée, la règle qui la lève et une vérification numérique du résultat.

Calculatrice de dérivées partielles

Saisissez une fonction de plusieurs variables et la variable, ou la suite de variables, par rapport à laquelle dériver, et obtenez la dérivée partielle avec chaque règle expliquée et, si vous le souhaitez, sa valeur en un point.

Calculatrice de dérivation implicite

Saisissez une équation en x et y pour calculer dy/dx par dérivation implicite, avec la dérivée d’une composée appliquée à chaque terme en y, le calcul qui isole y′ et, si vous le souhaitez, la pente et la tangente en un point.

Calculatrice de séries de Taylor

Saisissez une fonction, un centre et un ordre pour construire son polynôme de Taylor, avec chaque dérivée évaluée au centre, des coefficients exacts et, si vous donnez une valeur de x, l’approximation comparée à la valeur exacte.

Calculatrice de convergence de séries

Saisissez le terme général d’une série pour savoir si elle converge ou diverge, quel critère permet de conclure et pourquoi, avec la somme exacte chaque fois que la série est géométrique.

Notions abordées

Dérivation: Règles de la puissance, du produit, du quotient et de la composée, dérivées successives et calcul en un point.
Intégration: Primitives, changement de variable, intégration par parties, décomposition en éléments simples et intégrales définies.
Limites: Substitution directe, règle de L’Hôpital, limites à gauche et à droite et limites à l’infini.
Plusieurs variables et dérivation implicite: Dérivées partielles, dérivées croisées et dy/dx à partir d’une équation implicite.
Séries: Polynômes de Taylor et de Maclaurin et critères de convergence des séries.

Comment les outils d’analyse détaillent leur démarche

Chaque dérivée est décomposée selon les règles qui la produisent. La calculatrice repère l’opération la plus extérieure, applique la règle correspondante puis progresse vers l’intérieur : un exercice sur la dérivée d’une composée montre donc la dérivée extérieure et la dérivée intérieure avant de les multiplier. Les intégrales indiquent la technique employée, qu’il s’agisse d’une primitive usuelle, d’un changement de variable, d’une intégration par parties ou d’une décomposition en éléments simples, et chaque primitive est vérifiée en la dérivant à nouveau.

Les limites se calculent par substitution directe quand c’est possible, et sinon en simplifiant, en appliquant la règle de L’Hôpital ou en comparant les croissances à l’infini. Les intégrales définies donnent une valeur exacte lorsqu’une primitive existe, et une valeur approchée clairement signalée dans le cas contraire.

Développer son intuition

L’analyse devient plus simple quand on associe les symboles à des images. Une dérivée est la pente d’une tangente, une intégrale définie est une aire algébrique et un polynôme de Taylor est une courbe qui épouse la fonction de départ près d’un point. Utilisez la calculatrice graphique en parallèle de ces outils pour voir ce que signifie chaque résultat, puis vérifiez que le signe et l’ordre de grandeur de votre réponse correspondent à la courbe.

Guides

Les règles de dérivation expliquées avec des exemples corrigés
Calculer des dérivées à partir de la définition par les limites est lent. Un petit ensemble de règles, chacune démontrée une seule fois à partir de cette définition, permet de dériver presque n’importe quelle formule en quelques lignes. Ce guide présente chaque règle, explique pourquoi elle fonctionne et comment les combiner.