Calculatrice d’intégrales définies

Pourquoi F(b) − F(a) donne l’aire

Imaginez une fonction aire $A(t)$ qui mesure l’aire sous $f$ de $a$ jusqu’à un point mobile $t$. Si vous déplacez $t$ d’une quantité minuscule $h$, l’aire ajoutée est une bande étroite de hauteur environ $f(t)$ et de largeur $h$, donc $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. En divisant par $h$ et en le faisant tendre vers zéro, on voit que $A'(t) = f(t)$ : la fonction aire est une primitive de $f$.

Deux primitives quelconques ne diffèrent que d’une constante, donc $A(t) = F(t) + C$ pour la primitive $F$ que vous avez trouvée. Comme $A(a) = 0$, la constante vaut $-F(a)$, et l’aire complète est $A(b) = F(b) - F(a)$. C’est pourquoi la constante d’intégration n’apparaît jamais dans une intégrale définie : elle s’élimine dans la soustraction.

Aire algébrique et aire géométrique

Quand la courbe passe sous l’axe, l’intégrale retranche cette partie. Dans $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$, l’arche positive et l’arche négative se compensent exactement, et le résultat est 0. C’est la bonne valeur de l’intégrale, mais ce n’est pas l’aire que vous hachureriez sur un graphique.

Pour obtenir l’aire totale, repérez les zéros de la fonction dans l’intervalle, intégrez sur chaque morceau et additionnez les valeurs absolues des résultats. La calculatrice accepte abs() : en saisissant abs(x-1) de 0 à 2, elle renvoie 1, l’aire cumulée de deux triangles, alors que x-1 sur le même intervalle renvoie 0.

Intégrales impropres : bornes infinies et asymptotes verticales

Une intégrale est impropre lorsqu’une borne est infinie ou que la fonction n’est pas bornée en un point de l’intervalle. Sa valeur se définit alors comme une limite. Pour $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$, la calculatrice trouve $F(x) = -\frac1x$, calcule la limite quand $x \to \infty$, qui vaut 0, soustrait $F(1) = -1$ et indique que l’intégrale converge vers 1.

La même idée s’applique aux asymptotes. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ converge vers 2 car $2\sqrt{x}$ a une limite finie en 0, alors que $\int_0^1 \frac1x\,dx$ diverge car $\ln x$ tend vers $-\infty$. Les deux fonctions explosent en zéro ; c’est la vitesse à laquelle elles le font qui décide du résultat. Si la singularité se trouve au milieu de l’intervalle, il faut couper l’intégrale en ce point, et chaque moitié doit converger séparément.

Sur toute la droite réelle, les deux bornes demandent une limite. La calculatrice évalue $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ comme $\arctan x$ de $-\frac{\pi}{2}$ à $\frac{\pi}{2}$ et renvoie exactement $\pi$.

Quand il n’y a pas de formule : l’intégration numérique

Certaines fonctions tout à fait courantes ont des primitives qui ne s’écrivent pas avec les fonctions élémentaires. La courbe en cloche $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ et $\sqrt{1 + x^3}$ en sont des exemples classiques. Leurs intégrales définies existent pourtant ; il faut simplement les calculer numériquement.

Dans ce cas, la calculatrice utilise la méthode de Simpson adaptative, qui ajuste des paraboles sur de petits morceaux de la courbe et subdivise là où l’estimation n’est pas encore assez précise, avec pour objectif une erreur inférieure à $10^{-10}$. Pour $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$, elle donne environ 0.7468241328 et le signale comme valeur approchée numérique, pour qu’il ne soit jamais confondu avec une valeur exacte.

Des propriétés utiles qui font gagner du temps

Inverser les bornes change le signe : $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Une intégrale sur un intervalle de largeur nulle vaut zéro. Pour une fonction impaire comme $x^3$ ou $\sin x$, l’intégrale sur un intervalle symétrique $[-a, a]$ est nulle, et pour une fonction paire elle vaut le double de l’intégrale de 0 à $a$. Repérer la symétrie avant de calculer peut transformer un problème fastidieux en une réponse d’une ligne.

L’intégrale est aussi linéaire : les constantes sortent et les sommes se séparent en intégrales distinctes. Avec la relation de Chasles, ces propriétés permettent de découper une région compliquée en morceaux faciles à traiter.