Qu’est-ce qu’une intégrale ? Une explication pour débutants

Intégrer, c’est additionner

Si une voiture roule à la vitesse constante de 60 km par heure pendant 2 heures, elle parcourt $60 \times 2 = 120$ km. Sur un graphique de la vitesse en fonction du temps, cette distance est l’aire d’un rectangle de hauteur 60 et de largeur 2. Quand la vitesse varie, la région sous la courbe n’est plus un rectangle, mais la distance reste l’aire sous la courbe de la vitesse. Trouver cette aire, c’est ce que fait une intégrale.

Plus généralement, chaque fois qu’une grandeur est un taux multiplié par une quantité, comme une vitesse par un temps, une masse volumique par un volume ou une force par une distance, et que ce taux varie, le total est une intégrale. La dérivée décompose un total en taux ; l’intégrale reconstitue le total à partir des taux.

Sommes de Riemann : approcher avec des rectangles

Pour trouver l’aire sous $f(x) = x^2$ de $x = 0$ à $x = 2$, découpez l’intervalle en 4 bandes de largeur $0.5$. Si vous prenez comme hauteur l’extrémité droite de chaque bande, vous obtenez des rectangles de hauteurs $f(0.5)$, $f(1)$, $f(1.5)$ et $f(2)$ :

Si vous utilisez plutôt les extrémités gauches, vous obtenez $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$. L’aire réelle se situe entre ces deux valeurs. Quand le nombre de bandes $n$ augmente, les deux sommes se rapprochent d’une même valeur, et cette limite est l’intégrale définie :

Le signe intégrale est un S allongé, pour « somme » ; $f(x)$ est la hauteur et $dx$ représente la largeur infiniment fine. Pour $x^2$ sur $[0, 2]$, la limite vaut exactement $\frac{8}{3} \approx 2.667$. La notion de limite, expliquée dans notre guide des limites, est ce qui transforme une approximation en valeur exacte.

Aire algébrique

Là où la courbe passe sous l’axe des abscisses, $f(x)$ est négative : les rectangles apportent donc des contributions négatives. L’intégrale définie mesure ainsi une aire algébrique : l’aire au-dessus de l’axe moins l’aire au-dessous.

Par exemple, $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$, car l’arche située au-dessus de l’axe entre 0 et $\pi$ compense exactement celle située au-dessous entre $\pi$ et $2\pi$. Chaque arche a une aire de 2, donc l’aire géométrique totale vaut 4. Pour obtenir l’aire totale, découpez l’intervalle là où la fonction change de signe et additionnez les valeurs absolues de chaque partie.

Primitives et intégrale indéfinie

Une primitive de $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$. Comme $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$, la fonction $x^3$ est une primitive de $3x^2$. C’est aussi le cas de $x^3 + 7$, ou de $x^3$ plus n’importe quelle constante, car la dérivée d’une constante est nulle. L’intégrale indéfinie les regroupe toutes :

Chaque règle de dérivation de base, lue à l’envers, donne une règle d’intégration :

Le théorème fondamental de l’analyse

Les deux sens de l’intégrale, une aire obtenue comme limite de sommes et une famille de primitives, sont reliés par le théorème fondamental de l’analyse. Sa forme pratique affirme que si $F$ est une primitive quelconque d’une fonction continue $f$, alors :

C’est remarquable : une somme infinie de rectangles se réduit à deux valeurs d’une fonction. L’autre partie du théorème affirme que la fonction aire cumulée $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ a pour dérivée $f(x)$ : intégration et dérivation se défont donc mutuellement.

La différence entre les deux types d’intégrale est étudiée plus en détail dans intégrales définies et indéfinies.

Deux techniques au-delà des règles de base

L’intégration ne possède ni règle du produit ni règle de la chaîne qui fonctionnent mécaniquement dans tous les cas : certaines techniques inversent donc ces règles de dérivation.

Applications

• Distance à partir de la vitesse : si $v(t) = 3t^2$ m/s, le déplacement pendant les 2 premières secondes vaut $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ m.
• Aire entre deux courbes : entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0, 1]$, l’aire vaut $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
• Valeur moyenne : la valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
• Probabilités : les aires sous une courbe de densité donnent des probabilités, comme pour la courbe de la loi normale sur laquelle reposent les scores z.
• Les volumes, le travail d’une force variable, le coût total à partir du coût marginal et les centres de masse sont tous des intégrales.

Erreurs fréquentes

• Oublier le $+ C$ dans une intégrale indéfinie.
• Appliquer la règle des puissances à $\frac{1}{x}$, ce qui reviendrait à diviser par zéro ; sa primitive est $\ln|x|$.
• Croire que $\int f g\,dx$ est égal à $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$.
• Interpréter une intégrale définie comme l’aire totale alors qu’une partie de la courbe est sous l’axe.
• Calculer $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$.

La calculatrice d’intégrales trouve des primitives en montrant chaque étape, et la calculatrice d’intégrales définies évalue des intégrales sur un intervalle et donne leur valeur numérique.

Pourquoi le théorème fondamental a du sens

Revenons à la voiture. Supposons que $s(t)$ soit sa position et $v(t) = s'(t)$ sa vitesse. Additionner la vitesse sur de minuscules intervalles de temps tout au long d’un trajet donne la variation totale de la position, c’est-à-dire la position finale moins la position initiale. En symboles, $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$, ce qui est exactement le théorème, avec $s$ dans le rôle de la primitive.

Vu ainsi, le théorème relève presque du bon sens : additionner toutes les petites variations d’une grandeur donne sa variation totale. Ce qui le rend si puissant, c’est qu’il transforme des calculs de limites difficiles en une simple soustraction, pourvu qu’on sache trouver une primitive.

Intégration numérique

Quand on ne peut pas écrire de primitive, ou quand la fonction n’est connue que par des mesures, on estime les intégrales numériquement. Les meilleures estimations utilisent des figures plus adaptées que les rectangles. La méthode des trapèzes fait la moyenne des sommes à gauche et à droite ; pour $x^2$ sur $[0, 2]$ avec 4 bandes, elle donne $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. La méthode du point milieu utilise la hauteur au centre de chaque bande et donne $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$. Les deux se rapprochent bien plus de la valeur exacte $2.667$ que l’une ou l’autre des sommes latérales.

La méthode de Simpson, qui ajuste des paraboles sur des groupes de trois points, est exacte pour cette fonction et pour tout polynôme de degré trois. Les logiciels utilisent des versions perfectionnées de ces idées pour calculer des intégrales avec de nombreuses décimales en une fraction de seconde.

Un peu d’histoire

Calculer des aires en additionnant de fines bandes est une idée ancienne. Archimède a calculé l’aire d’un segment de parabole il y a plus de deux mille ans avec une méthode très proche d’une limite. La grande avancée du dix-septième siècle, attribuée à Newton et Leibniz, fut le théorème fondamental, qui montra que l’on pouvait obtenir des aires en inversant la dérivation. Bernhard Riemann a donné aux sommes leur définition rigoureuse moderne au dix-neuvième siècle, d’où leur nom.

Questions fréquentes