Les limites en analyse : guide pratique

L’idée de limite

Considérez $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. En $x = 3$, la formule donne $\frac{0}{0}$ : $f(3)$ n’est donc pas définie. Pourtant, si vous évaluez $f$ en 2,9 ; 2,99 ; 3,01 et 3,1, vous obtenez 5,9 ; 5,99 ; 6,01 et 6,1. Les résultats se rapprochent de 6. On dit que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 3 est 6, et l’on écrit :

La valeur de la fonction au point lui-même n’influe pas sur la limite. Seul compte ce qui se passe autour. Graphiquement, la courbe de $f$ est la droite $y = x + 3$ privée du point $(3, 6)$, et la limite est la hauteur de ce trou.

De façon informelle, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ peut être rendu aussi proche que l’on veut de $L$ en prenant $x$ suffisamment proche de $a$, mais différent de lui. La version rigoureuse de cette phrase, la définition epsilon-delta, en fait un énoncé que l’on peut démontrer.

Méthode 1 : la substitution directe

Les polynômes, les fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s’annule pas, les racines, les exponentielles, les logarithmes et les fonctions trigonométriques sont continus sur leur ensemble de définition. Pour une fonction continue, la limite est simplement la valeur de la fonction : il suffit de remplacer.

Par exemple, $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$, et $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. Essayez toujours la substitution en premier. Si elle donne un nombre réel, c’est terminé. Si elle donne un nombre non nul divisé par zéro, la limite est infinie ou n’existe pas. Seules $\frac{0}{0}$ et les autres formes indéterminées du même genre demandent davantage de travail.

Méthode 2 : factoriser et simplifier

Si la substitution dans une fonction rationnelle donne $\frac{0}{0}$, le numérateur et le dénominateur ont le facteur commun $(x - a)$. Factorisez les deux, simplifiez, puis remplacez à nouveau.

La simplification est permise parce que la limite n’utilise jamais la valeur en $x = a$ lui-même. Le guide de factorisation présente les techniques nécessaires ici.

Méthode 3 : multiplier par la quantité conjuguée

Lorsque la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ vient d’une racine carrée, multipliez le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée, qui élimine la racine grâce à l’identité de la différence de deux carrés.

Limites à gauche et à droite, et quand une limite n’existe pas

Une limite unilatérale ne prend en compte que les valeurs venant d’un seul côté : $x \to a^-$ pour la limite à gauche et $x \to a^+$ pour la limite à droite. La limite existe seulement lorsque les deux limites unilatérales existent et sont égales.

Pour $f(x) = \frac{|x|}{x}$, toute valeur positive donne 1 et toute valeur négative donne $-1$. Ainsi $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ et $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Elles diffèrent, donc $\lim_{x \to 0} f(x)$ n’existe pas. Les fonctions définies par morceaux sont la cause la plus fréquente de ce comportement : vérifiez toujours les deux côtés au point où la définition change.

Une limite peut aussi ne pas exister parce que la fonction oscille. Quand $x \to 0$, $\sin\frac{1}{x}$ oscille entre $-1$ et 1 une infinité de fois et ne se stabilise sur aucune valeur.

Limites infinies et limites en l’infini

Si une fonction croît sans borne près de $a$, on écrit que la limite vaut $\infty$, comme dans $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. Au sens strict, la limite n’existe pas en tant que nombre, mais la notation indique comment elle fait défaut, et elle signale une asymptote verticale d’équation $x = a$.

Les limites quand $x \to \infty$ décrivent le comportement à long terme et les asymptotes horizontales. Pour une fonction rationnelle, divisez chaque terme par la plus haute puissance de $x$ du dénominateur :

Si le dénominateur est de plus haut degré, la limite vaut 0 ; par exemple, $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. Si c’est le numérateur, la fonction croît sans borne. Une célèbre limite en l’infini définit une constante : $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

Limites trigonométriques remarquables et théorème des gendarmes

Deux limites sont à la base de toutes les dérivées trigonométriques :

Dans les deux cas, la substitution donne $\frac{0}{0}$, et l’algèbre seule ne lève pas l’indétermination. Numériquement, $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ et $\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$, ce qui suggère le résultat, et un argument géométrique utilisant le théorème des gendarmes le démontre. L’angle doit être exprimé en radians.

Le théorème des gendarmes, ou théorème d’encadrement, affirme que si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ près de $a$ et que $g$ et $h$ tendent toutes deux vers $L$, alors $f$ tend aussi vers $L$. Par exemple, $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$, et les deux bornes tendent vers 0, donc $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$ alors que $\sin\frac{1}{x}$ seule n’a pas de limite.

La règle de L'Hôpital

Quand une limite est de la forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ et que les fonctions sont dérivables près du point, on peut remplacer le numérateur et le dénominateur par leurs dérivées : $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$, à condition que la nouvelle limite existe.

Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément. La règle de L'Hôpital n’est pas la formule de dérivation d’un quotient, et elle ne s’applique qu’aux formes indéterminées.

Limites, continuité et dérivées

Une fonction est continue en $a$ lorsque $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : la limite existe, la fonction est définie en ce point et les deux valeurs coïncident. La dérivée elle-même est une limite, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, qui commence toujours par être de la forme $\frac{0}{0}$ ; voyez ce qu’est une dérivée. Les intégrales et la convergence des séries se définissent elles aussi au moyen de limites.

La calculatrice de limites calcule les limites unilatérales et bilatérales, y compris les limites en l’infini, et indique la méthode utilisée. Pour vérifier une limite visuellement, la calculatrice graphique vous permet de zoomer autour du point.

Propriétés des limites

Les limites se comportent bien vis-à-vis des opérations. Si $\lim f(x)$ et $\lim g(x)$ existent, la limite de la somme est la somme des limites, la limite du produit est le produit des limites et la limite du quotient est le quotient des limites, pourvu que la limite du dénominateur ne soit pas nulle. Les multiples par une constante et les puissances fonctionnent de la même façon. Ces propriétés expliquent pourquoi la substitution directe marche pour les fonctions continues : un polynôme se construit à partir de sommes et de produits de $x$ et de constantes, et sa limite se construit donc de la même manière.

Les propriétés exigent que les deux limites existent séparément. La limite de $x\sin\frac{1}{x}$ en 0 vaut 0, mais on ne peut pas l’obtenir en multipliant des limites, car $\sin\frac{1}{x}$ n’a pas de limite en ce point. Dans ce genre de cas, il faut recourir au théorème des gendarmes.

Une stratégie valable pour la plupart des problèmes

1. Remplacez. Si vous obtenez un nombre réel, c’est la réponse.
2. Nombre non nul divisé par zéro : étudiez le signe de chaque côté pour choisir entre $\infty$, $-\infty$ ou l’absence de limite.
3. Zéro sur zéro avec des polynômes : factorisez et simplifiez.
4. Zéro sur zéro avec des racines carrées : multipliez par la quantité conjuguée.
5. Zéro sur zéro avec des fonctions trigonométriques : réécrivez en utilisant $\frac{\sin x}{x} \to 1$.
6. Limites en l’infini : divisez par la plus haute puissance du dénominateur.
7. Si l’algèbre bloque, appliquez la règle de L'Hôpital ou vérifiez numériquement avec des valeurs de part et d’autre.

Exercices corrigés : $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$, en factorisant la différence de deux cubes. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$, en l’écrivant $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$. $\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$, en divisant tout par $x$.

Questions fréquentes