Qu’est-ce qu’une dérivée ? Une introduction claire

Du taux de variation moyen au taux instantané

Si une voiture parcourt 120 km en 2 heures, sa vitesse moyenne est de 60 km par heure. Ce nombre ne dit rien de ce qu’affichait le compteur à un moment donné, qui a pu indiquer 0 à un feu rouge ou 100 sur l’autoroute. La dérivée est la version mathématique de la lecture du compteur : le taux de variation à un instant, et non sur un intervalle.

Pour toute fonction $f$, le taux de variation moyen entre $x$ et $x + h$ est la pente de la droite passant par ces deux points de la courbe, appelée sécante :

Pour obtenir le taux instantané, on rétrécit l’intervalle. Quand $h$ tend vers 0, la sécante pivote jusqu’à devenir la tangente, la droite qui effleure la courbe au point. La limite des pentes des sécantes est la dérivée.

La définition formelle

Le nombre dérivé de $f$ en $x$ est

lorsque cette limite existe. On dit alors que $f$ est dérivable en $x$. On ne peut pas simplement poser $h = 0$ dans la fraction, car on obtient $\frac{0}{0}$. On simplifie plutôt algébriquement jusqu’à ce que le $h$ du dénominateur disparaisse, puis on calcule la limite. Si les limites sont nouvelles pour vous, notre guide des limites explique d’abord l’idée.

Notations

Plusieurs notations coexistent, et toutes désignent la même chose. La notation de Lagrange, avec un prime, écrit $f'(x)$. La notation de Leibniz écrit $\frac{dy}{dx}$ ou $\frac{d}{dx}f(x)$, ce qui rappelle qu’une dérivée est un quotient de petites variations et rend la dérivation des fonctions composées naturelle. En physique, on note souvent la dérivée par rapport au temps avec un point, $\dot{x}$.

Dériver deux fois donne la dérivée seconde, notée $f''(x)$ ou $\frac{d^2y}{dx^2}$. Si $s(t)$ est la position, alors $s'(t)$ est la vitesse et $s''(t)$ l’accélération.

Ce que la dérivée dit d’une courbe

• Là où $f'(x) > 0$, la fonction est croissante.
• Là où $f'(x) < 0$, elle est décroissante.
• Là où $f'(x) = 0$, la tangente est horizontale ; les maximums et minimums locaux se situent en ces points (ou là où $f'$ n’existe pas).
• Là où $f''(x) > 0$, la courbe est convexe, tournée vers le haut comme une tasse ; là où $f''(x) < 0$, elle est concave.

Les règles qui rendent ce travail rapide, comme la règle des puissances utilisée ici, sont présentées dans les règles de dérivation expliquées.

Un exemple physique : une pierre qui tombe

Une pierre lâchée sans vitesse initiale parcourt une distance $s(t) = 4.9t^2$ mètres au bout de $t$ secondes, si l’on néglige la résistance de l’air. Entre $t = 1$ et $t = 3$, elle passe de 4,9 m à 44,1 m : sa vitesse moyenne vaut donc $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ m/s.

Sa vitesse instantanée est la dérivée, $s'(t) = 9.8t$ m/s. En $t = 2$, elle vaut 19,6 m/s, exactement la moyenne sur l’intervalle de 1 à 3 secondes ; pour une fonction du second degré, le taux moyen sur un intervalle est toujours égal au taux instantané en son milieu. La dérivée seconde, $s''(t) = 9.8$ m/s², est l’accélération constante de la pesanteur.

Les unités sont un bon contrôle pour toute dérivée. La dérivée d’une grandeur en mètres par rapport au temps en secondes s’exprime en mètres par seconde. En économie, la dérivée du coût total en euros par rapport à la quantité produite est le coût marginal, en euros par unité.

Quand la dérivée n’existe pas

Une fonction n’est pas dérivable en un point si la limite du taux d’accroissement n’y existe pas. Sur une courbe, cela se manifeste de quatre façons :

• Un point anguleux, comme $|x|$ en 0, où la pente vaut $-1$ à gauche et $+1$ à droite.
• Un point de rebroussement, comme $x^{2/3}$ en 0, où les pentes deviennent infiniment raides dans des sens opposés.
• Une tangente verticale, comme $\sqrt[3]{x}$ en 0, où la pente est infinie.
• Une discontinuité, comme un saut ou un trou.

La dérivabilité entraîne la continuité : si $f'(a)$ existe, $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse, comme le montre $|x|$, continue partout mais qui présente un point anguleux en 0.

Estimer une dérivée numériquement

Quand on ne dispose pas d’une formule, par exemple avec des données mesurées, on peut estimer la dérivée avec un petit pas. Le taux d’accroissement centré est généralement plus précis que la version unilatérale :

Pour $f(x) = \sin x$ en $x = 0$ avec $h = 0.01$, on obtient $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$, très proche de la valeur exacte $\cos 0 = 1$. Les calculatrices graphiques et les tableurs utilisent ce type d’estimation. La calculatrice de dérivées, elle, dérive de façon symbolique et montre chaque règle appliquée, et la calculatrice de limites évalue directement la définition par les limites.

À quoi servent les dérivées

Toute question du type « à quelle vitesse » ou « quelle est la meilleure valeur » est une question de dérivée. Les ingénieurs trouvent les dimensions d’un emballage qui utilise le moins de matière en annulant la dérivée de sa surface. Les économistes trouvent le niveau de production qui maximise le bénéfice, celui où la recette marginale égale le coût marginal. Les médecins modélisent l’évolution dans le temps de la concentration d’un médicament dans le sang, et la dérivée leur indique quand elle atteint son maximum.

L’apprentissage automatique repose sur les dérivées à très grande échelle. Entraîner un modèle consiste à ajuster des millions de paramètres pour réduire une mesure de l’erreur, et la direction dans laquelle chaque paramètre se déplace est donnée par une dérivée, selon une méthode appelée descente de gradient. La physique s’écrit presque entièrement avec des dérivées : la deuxième loi de Newton affirme que la force est égale à la masse multipliée par la dérivée seconde de la position.

Un peu d’histoire

Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz ont développé le calcul différentiel indépendamment, dans la seconde moitié du dix-septième siècle. Newton pensait en grandeurs qui s’écoulent dans le temps, tandis que Leibniz travaillait avec des différences infiniment petites, et sa notation $\frac{dy}{dx}$ est celle qu’utilisent aujourd’hui la plupart des manuels. Leurs méthodes fonctionnaient à merveille, mais reposaient sur des idées floues de nombres infiniment petits. La définition rigoureuse par les limites utilisée dans cet article a été mise au point au dix-neuvième siècle, surtout grâce à Augustin-Louis Cauchy et Karl Weierstrass, et a enfin donné au sujet des fondements solides.

Questions fréquentes