Intégrale définie ou intégrale indéfinie ?

La différence en un coup d’œil

• Notation : indéfinie $\int f(x)\,dx$ ; définie $\int_a^b f(x)\,dx$, avec une borne inférieure $a$ et une borne supérieure $b$.
• Résultat : l’indéfinie donne une fonction plus une constante ; la définie donne un nombre.
• Sens : l’indéfinie répond à la question « quelles fonctions ont cette dérivée ? » ; la définie à « combien s’accumule entre $a$ et $b$ ? ».
• Constante : l’indéfinie exige $+ C$ ; dans une intégrale définie, la constante s’élimine.
• Vérification : dérivez le résultat d’une indéfinie pour retrouver la fonction intégrée ; estimez celui d’une définie à partir d’un graphique ou avec des rectangles.

Si les intégrales sont nouvelles pour vous, commencez par qu’est-ce qu’une intégrale, qui construit les deux idées depuis le début.

Intégrales indéfinies : des familles de primitives

L’intégrale indéfinie de $f$ est l’ensemble de toutes les fonctions dont la dérivée est $f$. Comme ajouter une constante ne change pas la dérivée, le résultat est toujours une famille de courbes, chacune décalée verticalement par rapport aux autres :

Pour choisir un membre de la famille, il faut une information supplémentaire, généralement une valeur connue. On parle alors de problème avec condition initiale.

La physique s’en sert en permanence. Si l’accélération est constante et égale à $-9.8$ m/s², une première intégration donne la vitesse $v(t) = -9.8t + v_0$, et une seconde la hauteur $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$. Les deux constantes sont la vitesse initiale et la hauteur initiale.

Intégrales définies : des nombres issus de limites de sommes

Une intégrale définie se définit comme une limite de sommes de Riemann et représente l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses de $a$ à $b$. Le théorème fondamental de l’analyse fournit le raccourci pour la calculer :

Utiliser $F + C$ au lieu de $F$ ne change rien, car $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. C’est pourquoi on se passe de la constante.

Propriétés des intégrales définies

Les sommes et les constantes multiplicatives passent à travers le signe intégrale, comme pour les dérivées. La symétrie peut faire gagner beaucoup de travail : si $f$ est impaire, c’est-à-dire $f(-x) = -f(x)$, alors $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. Par exemple, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$ car les moitiés négative et positive se compensent. Si $f$ est paire, $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, donc $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$. Pour $x^2$ sur $[0, 3]$, elle vaut $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$ : un rectangle de hauteur 3 et de largeur 3 a la même aire que la région sous la parabole.

Le changement de variable ne se fait pas de la même façon

Dans une intégrale indéfinie, on change de variable, on intègre, puis on revient à la variable de départ. Dans une intégrale définie, on peut changer les bornes pour qu’elles correspondent à la nouvelle variable et ne jamais revenir en arrière.

Une erreur courante consiste à passer à $u$ en gardant les anciennes bornes en $x$. Soit vous changez les bornes, soit vous revenez à $x$ avant d’évaluer, mais jamais un peu des deux.

Là où elles se rejoignent : les fonctions d’accumulation

Une intégrale définie dont la borne supérieure varie est une fonction : $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. C’est une primitive particulière de $f$, celle qui vaut 0 en $x = a$. Par exemple, $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

La première partie du théorème fondamental affirme que $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Ainsi, $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, même si cette intégrale n’a pas de formule usuelle. Si la borne supérieure est elle-même une fonction, la règle de la chaîne ajoute un facteur : $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. Les règles de dérivation sont résumées dans les règles de dérivation expliquées.

Intégrales impropres

Une intégrale définie sur un intervalle infini, ou d’une fonction qui tend vers l’infini à l’intérieur de l’intervalle, est dite impropre et se définit comme une limite. Par exemple :

Une région infiniment longue peut donc avoir une aire finie. En revanche, $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ croît sans borne : elle diverge. Cette comparaison est à la base du critère de l’intégrale présenté dans critères de convergence des séries.

Laquelle des deux l’énoncé demande-t-il ?

Regardez si le signe intégrale porte des bornes, ou repérez des expressions comme « de… à », « entre », « total », « aire » ou « combien ». Elles indiquent une intégrale définie et une réponse numérique. Des expressions comme « trouver une fonction », « solution générale » ou « primitive » indiquent une intégrale indéfinie avec $+ C$. Un énoncé qui donne une valeur initiale, comme $f(0) = 2$, demande une intégrale indéfinie suivie du calcul de $C$.

Utilisez la calculatrice d’intégrales pour les intégrales indéfinies pas à pas, et la calculatrice d’intégrales définies pour les évaluer sur un intervalle, y compris les intégrales impropres.

Une comparaison détaillée sur une seule fonction

Voir les deux types d’intégrale appliqués à la même fonction rend le contraste concret. Prenez la fonction qui donne le débit d’eau entrant dans une cuve, en litres par minute, et supposez qu’il vaut $4t + 2$ au bout de $t$ minutes.

L’intégrale indéfinie, $2t^2 + 2t + C$, décrit la quantité d’eau dans la cuve à tout moment, mais seulement à une quantité initiale inconnue près. Si la cuve contenait 10 litres au départ, alors $C = 10$ et le volume au bout de $t$ minutes est $2t^2 + 2t + 10$ litres. C’est une fonction que l’on peut évaluer à n’importe quel instant.

L’intégrale définie de $t = 0$ à $t = 5$ répond à une autre question : combien d’eau est entrée pendant ces cinq minutes ? Elle vaut $(50 + 10) - 0 = 60$ litres, quelle que soit la quantité d’eau présente au départ. La première réponse est une formule pour un état ; la seconde, un nombre unique pour une variation. La plupart des problèmes concrets entrent clairement dans l’un de ces deux types dès que l’on se demande si l’énoncé veut une quantité à un instant ou un total sur un intervalle.

Erreurs fréquentes avec chaque type

Pour les intégrales indéfinies, l’erreur la plus courante est d’oublier la constante. Cela peut sembler anodin, mais dans un problème avec condition initiale, cela supprime justement ce qu’on vous demande de trouver, et dans les équations différentielles, cela masque toute une famille de solutions. Une autre erreur consiste à oublier de réécrire le résultat en fonction de la variable de départ après un changement de variable.

Pour les intégrales définies, les erreurs typiques sont de soustraire dans le mauvais ordre, de confondre anciennes et nouvelles bornes après un changement de variable et d’interpréter une aire algébrique comme une aire totale. Autre piège : intégrer d’un seul coup à travers un point où la fonction n’est pas définie, comme $\frac{1}{x^2}$ de $-1$ à 1. Appliquer la formule à l’aveugle donne $-2$, ce qui est impossible pour une fonction positive ; en réalité, l’intégrale diverge, car la fonction tend vers l’infini en 0. Vérifiez toujours que la fonction intégrée est continue sur tout l’intervalle avant d’utiliser le théorème fondamental.

Comment les deux idées s’articulent

Il est utile de voir l’intégrale indéfinie comme l’outil et l’intégrale définie comme le travail. Trouver une primitive est l’étape difficile et créative ; une fois qu’on l’a, toute intégrale définie de cette fonction sur n’importe quel intervalle s’obtient par une soustraction. C’est pourquoi les manuels consacrent tant de temps aux techniques de calcul de primitives, et pourquoi une seule primitive bien trouvée peut répondre d’un coup à toute une série de questions sur les aires, les distances et l’accumulation.

Questions fréquentes