Les règles de dérivation expliquées avec des exemples corrigés

Pourquoi des règles plutôt que des limites

La dérivée se définit comme une limite, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, et l’article qu’est-ce qu’une dérivée applique cette définition à des fonctions simples. Le faire pour chaque problème serait épuisant. Les mathématiciens ont plutôt démontré une fois pour toutes des règles générales, qui traitent aujourd’hui les polynômes, les racines, les exponentielles, les logarithmes, les fonctions trigonométriques et toutes leurs combinaisons.

Voyez ces règles comme deux familles : les dérivées des fonctions de référence, et les règles qui permettent de les combiner par sommes, produits, quotients et compositions.

Les règles de base : constantes, puissances et sommes

Une constante ne change jamais : son taux de variation est nul. La règle des puissances vaut pour tout exposant réel $n$, et pas seulement pour les entiers positifs, ce qui la rend bien plus utile qu’il n’y paraît. Les constantes multiplicatives restent telles quelles, et la dérivée d’une somme est la somme des dérivées.

Avant de dériver, réécrivez sous forme de puissances les racines et les fractions qui ont $x$ au dénominateur. La plupart des erreurs avec la règle des puissances viennent de l’oubli de cette étape.

Fonctions exponentielles, logarithmes et fonctions trigonométriques

Ces dérivées valent la peine d’être apprises par cœur, car tous les problèmes plus longs sont construits à partir d’elles :

La fonction $e^x$ est sa propre dérivée, ce qui explique pourquoi $e$ apparaît partout en analyse. Les règles trigonométriques exigent un angle en radians ; en degrés, un facteur supplémentaire $\frac{\pi}{180}$ apparaît. Les dérivées trigonométriques restantes sont $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ et $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$, et toutes se déduisent de la règle du quotient présentée plus bas.

La dérivée d’un produit

La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées. Pour comprendre pourquoi, imaginez un rectangle de côtés $f$ et $g$. Quand les deux côtés augmentent un peu, l’aire gagne une bande de taille $f' \cdot g$ le long d’un côté et une autre de taille $f \cdot g'$ le long de l’autre, plus un minuscule coin qui disparaît à la limite.

La dérivée d’un quotient

Ici, l’ordre compte à cause de la soustraction. Une façon courante de la retenir : la dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, le tout sur le bas au carré, le haut étant le numérateur et le bas le dénominateur.

Appliquée à $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, elle donne $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, ce qui confirme le tableau précédent.

La dérivée d’une fonction composée

La règle de dérivation des fonctions composées, souvent appelée règle de la chaîne, s’applique aux fonctions emboîtées les unes dans les autres. Si $y = f(g(x))$, alors :

En mots : dérivez la fonction extérieure en laissant l’intérieur intact, puis multipliez par la dérivée de l’intérieur. En notation de Leibniz, avec $u = g(x)$, on écrit $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. Les taux se multiplient : si $u$ varie 3 fois plus vite que $x$ et $y$ varie 2 fois plus vite que $u$, alors $y$ varie 6 fois plus vite que $x$. Repérer la fonction intérieure et la fonction extérieure, c’est la compétence travaillée dans la composition de fonctions.

Combiner les règles

Les vrais problèmes mélangent les règles. Travaillez de l’extérieur vers l’intérieur : déterminez la dernière opération de l’expression, appliquez sa règle, puis occupez-vous de chaque morceau.

Quand on ne peut pas isoler $y$, comme dans $x^2 + y^2 = 25$, la règle de la chaîne fonctionne encore grâce à la dérivation implicite.

Erreurs fréquentes

• Oublier la dérivée intérieure dans une fonction composée, par exemple écrire $\cos(x^2)$ comme dérivée de $\sin(x^2)$.
• Multiplier les dérivées dans un produit au lieu d’utiliser la règle du produit.
• Inverser l’ordre au numérateur de la règle du quotient, ce qui change le signe.
• Appliquer la règle des puissances à $e^x$ ou à $2^x$ ; ce sont des fonctions exponentielles, pas des puissances.
• Utiliser des degrés dans les dérivées trigonométriques.

Pour vérifier un résultat, la calculatrice de dérivées montre quelle règle elle applique à chaque étape, et la calculatrice graphique vous permet de comparer la pente d’une courbe avec les valeurs de votre dérivée.

Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions trigonométriques réciproques ont des dérivées algébriques, ce qui surprend beaucoup d’élèves la première fois. On les obtient en dérivant implicitement la relation réciproque ; par exemple, si $y = \arcsin x$, alors $\sin y = x$, et dériver les deux membres donne $\cos y \cdot y' = 1$. Comme $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ sur l’ensemble image de l’arc sinus, on aboutit au résultat :

Ces deux résultats comptent davantage en intégration qu’en dérivation, car ils expliquent pourquoi des intégrales comme $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ font apparaître une arc tangente.

Dérivées successives

Dériver une dérivée donne la dérivée seconde, et l’on applique à chaque fois les mêmes règles. Pour $y = x^4$, les dérivées sont $4x^3$, puis $12x^2$, puis $24x$, puis 24, et toutes les suivantes valent 0. Un polynôme de degré $n$ s’annule toujours après $n + 1$ dérivations.

Le sinus et le cosinus, eux, forment un cycle : les dérivées de $\sin x$ sont $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ puis de nouveau $\sin x$, et elles se répètent toutes les quatre étapes. L’exponentielle $e^x$ ne change jamais. Ces régularités sont le point de départ des séries de Taylor, qui approchent une fonction à l’aide de toutes ses dérivées en un seul point.

Exercices corrigés

Essayez chacun avant de lire la solution. Déterminez d’abord la règle la plus extérieure.

1. $\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$. Solution : $6x^2 + \frac{1}{x^2}$.
2. $\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$. Solution : $x^2e^x(3 + x)$, par la règle du produit.
3. $\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$. Solution : $-5\sin(5x + 1)$, par la règle de la chaîne.
4. $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$. Solution : $\frac{1 - \ln x}{x^2}$, par la règle du quotient.
5. $\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$. Solution : $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$, par la règle de la chaîne avec la puissance $\frac{1}{2}$.

Les règles en situation : des taux qui dépendent les uns des autres

C’est la règle de la chaîne qui rend possibles les problèmes de taux liés. Supposons qu’une onde circulaire s’étende sur un étang de sorte que son rayon augmente de 2 cm par seconde. L’aire vaut $A = \pi r^2$, et en dérivant par rapport au temps on obtient $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$. Quand le rayon mesure 10 cm, l’aire augmente au rythme de $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ centimètres carrés par seconde.

La même idée répond aux questions sur une échelle qui glisse le long d’un mur, un ballon qu’on gonfle ou l’ombre d’une personne qui s’éloigne d’un lampadaire. Dans chaque cas, on écrit une équation reliant les grandeurs, on dérive chaque terme par rapport au temps avec la règle de la chaîne, puis on remplace par les valeurs à l’instant considéré. Remplacer avant de dériver est une erreur classique, car cela transforme en constantes des grandeurs qui varient.

Questions fréquentes