La dérivation implicite, pas à pas

Équations explicites et implicites

Une équation explicite donne directement $y$ comme une formule en $x$, par exemple $y = x^2 + 1$. Pourtant, de nombreuses courbes importantes sont décrites de façon implicite, par une équation qui relie $x$ et $y$. Le cercle $x^2 + y^2 = 25$ en est un exemple bien connu. En isolant $y$, on obtient deux fonctions, $y = \sqrt{25 - x^2}$ pour la moitié supérieure et $y = -\sqrt{25 - x^2}$ pour la moitié inférieure, et dériver chacune séparément est fastidieux.

D’autres courbes ne permettent même pas d’isoler $y$ par des calculs élémentaires, comme $x^3 + y^3 = 6xy$ ou $e^y + xy = e$. Leurs courbes ont pourtant une tangente en presque tout point, et la dérivation implicite est l’outil qui permet d’en trouver les pentes. La méthode repose entièrement sur la règle de la chaîne : revoyez les règles de dérivation expliquées si cette règle ne vous semble pas tout à fait claire.

La méthode en quatre étapes

1. Dérivez les deux membres de l’équation par rapport à $x$.
2. Chaque fois que vous dérivez une expression contenant $y$, multipliez par $\frac{dy}{dx}$, car $y$ est une fonction de $x$ et la règle de la chaîne s’applique.
3. Regroupez d’un côté tous les termes contenant $\frac{dy}{dx}$ et de l’autre tout le reste.
4. Factorisez par $\frac{dy}{dx}$ et divisez pour l’isoler.

Le fait essentiel de l’étape 2 est cette identité issue de la règle de la chaîne, où $f$ est une fonction dérivable quelconque :

Ainsi, $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ et $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. Les produits comme $xy$ demandent en plus la règle du produit : $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Exemple : le cercle

Remarquez que le résultat implicite vaut pour les deux moitiés à la fois : en $(3, -4)$, la pente est $+\frac{3}{4}$. La formule montre aussi où les tangentes sont horizontales, lorsque $x = 0$, en $(0, 5)$ et $(0, -5)$, et où elles sont verticales, lorsque $y = 0$, en $(5, 0)$ et $(-5, 0)$. Le résultat contient $y$ en plus de $x$, ce qui est normal pour une dérivée implicite : pour obtenir un nombre, il faut un point de la courbe, pas seulement une valeur de $x$.

Des exemples où l’on ne peut pas isoler y

Dérivées secondes

Pour obtenir $\frac{d^2y}{dx^2}$, dérivez à nouveau implicitement la dérivée première, puis remplacez-y la dérivée première. Pour le cercle, partez de $y' = -\frac{x}{y}$ et appliquez la règle du quotient :

La dernière étape utilise l’équation de départ, $x^2 + y^2 = 25$, pour simplifier, une astuce souvent utile. Le résultat est négatif sur la moitié supérieure, où $y > 0$, donc la courbe y est concave, et positif sur la moitié inférieure, où elle est convexe, ce qui correspond bien à la forme d’un cercle.

Dérivées des fonctions réciproques

La dérivation implicite explique d’où viennent les dérivées des fonctions réciproques. Soit $y = \arctan x$. Alors $\tan y = x$. En dérivant, on obtient $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$, donc $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

La même démarche avec $y = \ln x$, réécrite $e^y = x$, donne $e^y\frac{dy}{dx} = 1$, de sorte que $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. En général, la pente d’une fonction réciproque est l’inverse de la pente de la fonction de départ au point correspondant, comme l’explique notre article sur les fonctions réciproques.

Vitesses liées

Lorsque les variables dépendent du temps, la même idée fonctionne en dérivant par rapport à $t$ au lieu de $x$. Chaque variable a son propre taux de variation.

Erreurs fréquentes

• Oublier le facteur $\frac{dy}{dx}$ en dérivant un terme contenant $y$.
• Traiter $xy$ comme une seule variable au lieu d’appliquer la règle du produit.
• Dériver la constante du membre de droite comme si c’était une variable ; une constante a pour dérivée 0.
• Remplacer par des nombres avant de dériver, ce qui fige des grandeurs qui varient.
• Utiliser un point qui n’appartient pas réellement à la courbe. Vérifiez toujours le point d’abord.

La calculatrice de dérivation implicite effectue toutes les étapes, regroupe les termes contenant la dérivée et peut évaluer la pente en un point. Pour les fonctions explicites, utilisez la calculatrice de dérivées.

Pourquoi la méthode est valable

La dérivation implicite suppose qu’au voisinage du point qui nous intéresse, la courbe est bien la représentation graphique d’une fonction dérivable $y(x)$, même si l’on ne peut pas l’écrire. En la substituant dans l’équation, celle-ci devient une identité en $x$, vraie pour tout $x$ proche du point. Deux expressions égales pour tout $x$ ont des dérivées égales : c’est pourquoi on peut dériver les deux membres.

L’hypothèse n’échoue qu’en des points particuliers, par exemple là où la tangente est verticale ou là où la courbe se recoupe. Le folium de Descartes se recoupe à l’origine, et la formule de la dérivée y donne $\frac{0}{0}$. En ces points, la courbe n’est pas localement la représentation d’une seule fonction, donc elle n’a pas de pente unique. Le théorème des fonctions implicites, étudié en analyse à plusieurs variables, précise exactement quand l’hypothèse est sûre.

Un raccourci avec les dérivées partielles

Si la courbe s’écrit $F(x, y) = 0$, il existe une formule compacte pour la pente, qui découle du même raisonnement :

Ici, $F_x$ et $F_y$ sont des dérivées partielles, obtenues en dérivant par rapport à une variable et en traitant l’autre comme une constante. Pour le cercle, $F = x^2 + y^2 - 25$ donne $F_x = 2x$ et $F_y = 2y$, donc la pente est $-\frac{x}{y}$, comme précédemment. La calculatrice de dérivées partielles calcule $F_x$ et $F_y$ pour vous.

Exercices corrigés

1. $x^2 - y^2 = 9$. Solution : $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, pente en $(3, 4)$. Solution : $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, qui y vaut $-\frac{4}{3}$.
3. $y^3 + y = x$. Solution : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, toujours positive, donc la courbe est toujours croissante.
4. $\cos y = x$. Solution : $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, ce qui mène à la dérivée de l’arc cosinus.

Dans chaque cas, vérifiez votre résultat en choisissant un point de la courbe, en estimant numériquement la pente à partir d’un point voisin et en comparant.

Où l’on rencontre des courbes implicites

Les équations implicites sont courantes en pratique. Les coniques, comme les ellipses et les hyperboles, s’écrivent naturellement sous forme implicite. En économie, une courbe d’indifférence relie des quantités de deux biens qui procurent au consommateur la même satisfaction, et sa pente, obtenue implicitement, est le taux auquel il accepte d’échanger un bien contre l’autre. En thermodynamique, les équations d’état relient pression, volume et température, et la dérivation implicite indique comment une grandeur varie quand on en modifie une autre. Chaque fois que deux grandeurs sont liées par une relation plutôt que par une formule, cette méthode donne leur taux de variation.

Questions fréquentes