Fonctions réciproques : trouver, représenter et vérifier une réciproque

Ce que fait une fonction réciproque

Une fonction prend une entrée et produit une sortie. Sa réciproque, notée $f^{-1}$, parcourt le chemin inverse : elle prend une valeur de $f$ et renvoie l’antécédent qui l’a produite. Si $f(a) = b$, alors $f^{-1}(b) = a$. Appliquer l’une puis l’autre ramène au point de départ.

Un exemple de la vie courante est la conversion des températures. La fonction $F = \frac{9}{5}C + 32$ convertit les degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Sa réciproque, $C = \frac{5}{9}(F - 32)$, effectue la conversion inverse. Si l’on entre 37 degrés Celsius dans la première, on obtient 98,6 degrés Fahrenheit, et si l’on entre 98,6 dans la seconde, on retrouve 37.

La notation demande de l’attention. Le $-1$ de $f^{-1}$ n’est pas un exposant. La réciproque $f^{-1}(x)$ n’est pas l’inverse $\frac{1}{f(x)}$. Pour $f(x) = 2x$, la réciproque est $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, alors que l’inverse est $\frac{1}{2x}$.

Quand la réciproque existe-t-elle ?

On ne peut inverser une fonction que si chaque valeur provient d’un seul antécédent. Une telle fonction est dite injective. Si deux entrées différentes donnent la même valeur, impossible de savoir laquelle renvoyer : il n’existe pas de réciproque sur cet ensemble.

La fonction $f(x) = x^2$ échoue à ce test sur l’ensemble des réels, car $f(3) = f(-3) = 9$. Si on lui demandait de défaire 9, une réciproque ne saurait pas s’il faut renvoyer 3 ou $-3$. Graphiquement, c’est le test de la droite horizontale : une fonction est injective exactement lorsque aucune droite horizontale ne coupe sa courbe plus d’une fois. La droite $y = 9$ coupe la parabole $y = x^2$ deux fois : la parabole échoue au test.

Les fonctions strictement croissantes ou strictement décroissantes le réussissent automatiquement. Les fonctions affines de coefficient directeur non nul, $x^3$, $e^x$ et $\ln x$ sont toutes injectives sur leur ensemble de définition naturel.

Calculer la réciproque algébriquement

1. Remplacez $f(x)$ par $y$.
2. Échangez $x$ et $y$ dans toute l’expression.
3. Isolez $y$ dans la nouvelle équation.
4. Remplacez $y$ par $f^{-1}(x)$ et précisez son ensemble de définition, qui est l’ensemble image de $f$.

Quand $y$ apparaît plusieurs fois après l’échange, regroupez tous les termes en $y$ dans un même membre et mettez $y$ en facteur, exactement comme dans l’exemple 3.

Restreindre l’ensemble de définition

Une fonction non injective peut admettre une réciproque si l’on restreint son ensemble de définition à un intervalle où elle l’est. C’est ainsi que sont définies la racine carrée et les fonctions trigonométriques réciproques.

Restreindre $f(x) = x^2$ à $x \ge 0$ ne garde que la moitié droite de la parabole, qui est injective. Sa réciproque est $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ pour $x \ge 0$. Avec $x \le 0$, on obtiendrait $-\sqrt{x}$.

Les fonctions trigonométriques réciproques fonctionnent de la même façon. Le sinus n’est pas injectif : $\arcsin x$ est donc définie comme la réciproque du sinus restreint à $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. C’est pourquoi $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$, et non $\frac{5\pi}{6}$ : le résultat doit appartenir à l’intervalle restreint.

Exponentielles et logarithmes

Le couple de réciproques le plus important avant l’analyse est formé de $e^x$ et $\ln x$ : $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$. Plus généralement, $\log_b x$ est la réciproque de $b^x$. Le guide sur les logarithmes construit toutes leurs propriétés à partir de ce fait.

Courbes des fonctions réciproques

Comme la réciproque échange entrées et sorties, chaque point $(a, b)$ de la courbe de $f$ devient le point $(b, a)$ de la courbe de $f^{-1}$. Géométriquement, échanger les coordonnées revient à faire une symétrie par rapport à la droite $y = x$. La courbe d’une réciproque est donc l’image miroir de la courbe de départ par rapport à cette diagonale.

Cela donne un moyen rapide d’esquisser une réciproque et un contrôle utile : les courbes de $e^x$ et $\ln x$ sont symétriques l’une de l’autre, tout comme celles de $x^3$ et $\sqrt[3]{x}$. Les caractéristiques s’échangent aussi. Une asymptote horizontale de $f$ devient une asymptote verticale de $f^{-1}$, exactement comme dans l’exemple 3. Tracer les deux fonctions avec la droite $y = x$ dans la calculatrice graphique rend la symétrie évidente.

Vérifier une réciproque

Pour démontrer que deux fonctions sont réciproques, composez-les dans les deux ordres et simplifiez. Si les deux composées valent $x$ sur les ensembles concernés, les fonctions sont réciproques. Pour l’exemple 3 :

Un contrôle informel plus rapide consiste à choisir une entrée, appliquer $f$, puis votre réciproque, et voir si l’on retrouve l’entrée. Cela ne prouve pas que la formule est juste, mais détecte la plupart des erreurs. La composition est détaillée dans le guide sur la composition de fonctions.

Les réciproques en analyse

Si $f$ est dérivable et injective, la pente de la réciproque en un point est l’inverse de la pente de $f$ au point correspondant. Si $f(a) = b$ et $f'(a) \neq 0$, alors :

Pour $f(x) = x^3 + x$, on a $f(1) = 2$ et $f'(x) = 3x^2 + 1$, donc $f'(1) = 4$ et $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. Cela fonctionne même si trouver une formule pour $f^{-1}$ serait très difficile. C’est la raison pour laquelle la dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$, puisque $\ln$ est la réciproque de $e^x$.

Erreurs fréquentes

• Traiter $f^{-1}(x)$ comme si c’était $\frac{1}{f(x)}$.
• Oublier d’échanger $x$ et $y$, ce qui ne fait que réécrire la fonction de départ.
• Chercher une formule pour une fonction non injective sans restreindre son ensemble de définition.
• Choisir le mauvais signe d’une racine carrée après avoir restreint l’ensemble de définition.
• Ne pas préciser l’ensemble de définition de la réciproque, qui doit être l’ensemble image de la fonction de départ.

La calculatrice de fonction réciproque affiche les étapes d’échange et de résolution, puis vérifie le résultat par composition.

Réciproques à partir de tableaux et dans les applications

Une formule n’est pas toujours nécessaire. Si un tableau décrit une fonction injective, on obtient sa réciproque en échangeant les deux colonnes. Supposons qu’un transporteur facture selon le poids et que sa grille tarifaire indique que 1 kilogramme coûte 6 euros, 2 kilogrammes 9 euros et 3 kilogrammes 12 euros. Le tableau réciproque répond à la question inverse : connaissant le prix payé par un client, combien pesait le colis ? Un paiement de 9 euros correspond à 2 kilogrammes. Si deux poids avaient le même prix, la question inverse n’aurait pas de réponse unique : c’est la condition d’injectivité qui apparaît dans un contexte concret.

Beaucoup de formules réelles s’utilisent dans les deux sens. Un simulateur de prêt calcule la mensualité à partir du montant emprunté, et sa réciproque indique combien on peut emprunter pour une mensualité supportable. Une recette adaptée au nombre de parts peut s’inverser pour savoir combien de parts on obtient avec une quantité donnée de farine. En sciences, une courbe d’étalonnage convertit une concentration connue en une mesure de l’appareil, et la réciproque convertit une mesure en concentration. Dans tous les cas, la réciproque est utile précisément parce que la relation de départ est injective sur l’intervalle de valeurs qui nous intéresse.

Voir les réciproques ainsi rend les étapes algébriques naturelles. Échanger $x$ et $y$ n’est qu’une manière compacte de dire que les rôles d’entrée et de sortie ont été échangés, et isoler $y$ revient à répondre à la question inverse.

Questions fréquentes