Calculatrice de logarithmes

À propos de la calculatrice de logarithmes

Un logarithme répond à une seule question : à quel exposant faut-il élever la base pour obtenir ce nombre ? Comme $2^5 = 32$ , on a $\log_2 32 = 5$ . Les logarithmes défont les exponentielles : c’est donc l’outil pour résoudre toute équation où l’inconnue figure dans un exposant, des intérêts composés au pH en passant par les décibels.

La calculatrice propose trois modes. Le mode calcul trouve $\log_b(x)$ et donne un résultat rationnel exact, comme $\log_4 8 = \tfrac32$ , lorsque $x$ est une puissance rationnelle de $b$ , ou sinon une expression par changement de base avec sa valeur décimale. Le mode résoudre $b^x = y$ trouve l’exposant, et le mode résoudre $\log_b(x) = c$ trouve l’argument. La base peut être n’importe quel nombre positif différent de 1, ou $e$ pour le logarithme népérien.

Qu’est-ce qu’un logarithme ?

Pour une base $b > 0$ avec $b \ne 1$ et un nombre $x > 0$ , $\log_b x = y$ signifie exactement $b^y = x$ . Les deux égalités expriment le même fait de deux manières, et savoir passer de l’une à l’autre est la compétence essentielle.

Deux bases portent un nom. Le logarithme décimal $\log x$ utilise la base 10, et le logarithme népérien $\ln x$ utilise la base $e \approx 2.71828$ , qui apparaît naturellement dans la croissance, l’analyse et les probabilités. Les logarithmes de zéro et des nombres négatifs ne sont pas définis dans les réels, car aucune puissance d’une base positive n’est nulle ou négative.

Comment utiliser la calculatrice de logarithmes

Choisissez un mode : calculer log_b(x), résoudre b^x = y ou résoudre log_b(x) = c.
Saisissez la base : un nombre positif différent de 1, 10 pour le logarithme décimal ou e pour le logarithme népérien.
Saisissez le nombre x (pour un calcul) ou le second membre (pour les modes équation). Les fractions comme 1/8 sont acceptées.
Lancez le calcul. Vous verrez comment le nombre a été écrit comme puissance de la base, ou quelle étape de changement de base a été utilisée.

Formules

Définition

\log_b x = y \iff b^y = x

Logarithme d’un produit

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Logarithme d’un quotient

\log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Logarithme d’une puissance

\log_b(M^k) = k\log_b M

Changement de base

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

Exemple corrigé: log₄(8)

L’exemple calcule $\log_4 8$ . Aucun des deux nombres n’est une puissance de l’autre, mais tous deux sont des puissances du même nombre premier : $4 = 2^2$ et $8 = 2^3$ . Le moteur réécrit la question sous la forme $(2^2)^y = 2^3$ , donc $2y = 3$ .

Le résultat exact est donc $\tfrac32$ , et l’on vérifie que $4^{3/2} = (\sqrt4)^3 = 8$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\log_{4}\left(8\right) = \frac{3}{2}

Comment nous avons lu votre problème

Calculer le logarithme de 8 en base 4.

\log_{4}\left(8\right)

Solution étape par étape

Se demander : à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir le nombre ?
$4^{\,y} = 8$
Écrire les deux nombres comme des puissances des mêmes facteurs premiers
La comparaison des exposants des facteurs premiers montre que 8 = 4^(3/2).
$8 = 4^{\frac{3}{2}}$

Formules utilisées

Définition
$\log_b x = y \iff b^y = x$
Changement de base
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
Propriétés
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N,\quad \log_b M^k = k\log_b M$

4 à la puissance 3/2 donne exactement 8.

Vérification

Vérification : 4^1.5 ≈ 8.

Explication détaillée

Valeurs exactes ou changement de base

Quand le nombre et la base s’écrivent comme puissances d’un même nombre premier, le logarithme est rationnel et se calcule exactement, comme $\log_{27} 9 = \tfrac23$ ou $\log_2 \tfrac18 = -3$ . La calculatrice décompose les deux en puissances de nombres premiers et compare les exposants, si bien que ces résultats sont exacts.

La plupart des logarithmes sont irrationnels. Pour $\log 50$ , il n’existe pas de valeur rationnelle exacte : la calculatrice écrit la forme par changement de base $\frac{\ln 50}{\ln 10}$ et donne le décimal $1.69897\ldots$ . La formule du changement de base fonctionne parce que si $y = \log_b x$ , alors $b^y = x$ , et en prenant le logarithme népérien on obtient $y \ln b = \ln x$ .

Résoudre des équations exponentielles

Pour résoudre $2^x = 10$ , prenez le logarithme des deux membres. La propriété du logarithme d’une puissance fait descendre l’inconnue : $x \ln 2 = \ln 10$ , donc $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3.32193$ . Contrôle rapide : $2^3 = 8$ et $2^4 = 16$ , la solution doit donc se situer entre 3 et 4.

Une équation comme $2^x = -4$ n’a pas de solution réelle, car une base positive élevée à n’importe quel exposant réel est positive. La calculatrice le signale au lieu de renvoyer une valeur.

Résoudre des équations logarithmiques

Pour résoudre $\log_3 x = 4$ , passez à la forme exponentielle : $x = 3^4 = 81$ . La solution doit être positive, puisque les logarithmes ne sont définis que pour des arguments positifs ; dans des équations plus complexes, vérifiez toujours que les solutions candidates respectent cette condition.

Combiner les propriétés des logarithmes

Les propriétés du produit, du quotient et de la puissance sont le reflet des règles de calcul sur les puissances, car les logarithmes sont des exposants. Elles permettent de développer un logarithme en morceaux plus simples, comme $\log_2(8x^3) = 3 + 3\log_2 x$ , ou de regrouper plusieurs logarithmes en un seul, comme $\ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . Regrouper est souvent la première étape quand une équation contient plus d’un logarithme, car le logarithme unique peut alors être mis sous forme exponentielle.

Erreurs fréquentes

Écrire $\log(a + b) = \log a + \log b$ . La propriété du produit concerne $\log(ab)$ , pas les sommes.
Diviser des logarithmes de façon incorrecte : $\frac{\log a}{\log b}$ n’est ni $\log(a - b)$ ni $\log\frac ab$ .
Calculer le logarithme de zéro ou d’un nombre négatif.
Confondre sur la calculatrice $\log$ (base 10) et $\ln$ (base $e$ ).
Oublier que $\log_b 1 = 0$ et $\log_b b = 1$ pour toute base valable.

Conseils

Si le sens d’un logarithme n’est pas clair, commencez par le mettre sous forme exponentielle.
Estimez avec des puissances voisines avant de calculer : $\log_2 10$ est un peu supérieur à 3.
Utilisez la décomposition en facteurs premiers pour repérer les résultats exacts, comme $\log_8 32 = \tfrac53$ .
Si votre cours l’autorise, gardez le résultat sous forme logarithmique exacte jusqu’à la dernière étape.

Questions fréquentes

Quelle différence y a-t-il entre log et ln ?

log désigne en général la base 10, le logarithme décimal, et ln la base e, le logarithme népérien. Les deux ont les mêmes propriétés ; ils ne diffèrent que d’un facteur constant.

Pourquoi ne peut-on pas calculer le logarithme d’un nombre négatif ?

Une base positive élevée à n’importe quel exposant réel est toujours positive : aucun exposant réel ne donne zéro ou un nombre négatif. Ces logarithmes ne sont pas définis dans les réels.

Comment fonctionne la formule du changement de base ?

Le logarithme de x en base b est égal à ln x divisé par ln b. Vous pouvez ainsi calculer un logarithme dans n’importe quelle base avec une calculatrice qui n’a que les touches ln ou log.

Quand un logarithme est-il un entier ou une fraction ?

Lorsque le nombre est une puissance rationnelle de la base. Par exemple, le logarithme de 8 en base 4 vaut 3/2, car 4 puissance 3/2 vaut 8. Dans les autres cas, le logarithme est irrationnel.

Comment résoudre une équation dont l’inconnue est dans l’exposant ?

Prenez le logarithme des deux membres, utilisez la propriété de la puissance pour faire descendre l’exposant, puis divisez. Pour 2 puissance x égale 10, x est égal à ln 10 divisé par ln 2.

Pourquoi la base ne peut-elle pas valoir 1 ?

Toutes les puissances de 1 valent 1 : un logarithme en base 1 ne pourrait pas distinguer les nombres et ne serait pas une fonction.

À quoi servent les logarithmes ?

À mesurer des grandeurs qui s’étendent sur de nombreux ordres de grandeur, comme la magnitude d’un séisme, le niveau sonore en décibels ou l’acidité avec le pH, et à résoudre des problèmes de croissance et de décroissance.

Essayez la calculatrice de logarithmes

Calculez un logarithme dans n’importe quelle base ou résolvez une équation exponentielle ou logarithmique étape par étape.

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