Ensemble de définition et ensemble image — Calculatrice avec intervalles

À propos de la calculatrice d’ensemble de définition et d’ensemble image

Avant de tracer une fonction, de l’inverser ou de résoudre une équation où elle apparaît, il faut savoir quelles entrées elle accepte et quelles sorties elle peut produire. Ces deux ensembles sont l’ensemble de définition, aussi appelé domaine de définition, et l’ensemble image. Trouver l’ensemble de définition consiste surtout à repérer les opérations interdites ; trouver l’ensemble image est plus difficile, car il s’agit de savoir quelles hauteurs la courbe atteint réellement.

Cette calculatrice détermine les deux pour les polynômes, les fonctions rationnelles, les racines, les logarithmes, les exponentielles, les valeurs absolues et les fonctions trigonométriques usuelles. Elle liste chaque restriction, la résout, puis étudie la fonction sur chaque morceau de son ensemble de définition pour construire l’ensemble image. Les résultats sont donnés sous forme d’intervalles, avec des bornes exactes chaque fois que possible.

Que sont l’ensemble de définition et l’ensemble image ?

L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les entrées $x$ pour lesquelles la formule donne un nombre réel. L’ensemble image est l’ensemble de toutes les sorties $f(x)$ obtenues lorsque $x$ parcourt l’ensemble de définition. Sur un graphique, l’ensemble de définition est l’ombre projetée par la courbe sur l’axe des $x$ , et l’ensemble image, son ombre sur l’axe des $y$ .

Trois opérations restreignent les formules à valeurs réelles : la division, qui interdit un dénominateur nul ; les racines d’indice pair, qui exigent un radicande positif ou nul ; et les logarithmes, qui exigent un argument strictement positif. Une fonction construite sans elles, comme tout polynôme, est définie sur l’ensemble des nombres réels.

Comment utiliser la calculatrice d’ensemble de définition et d’ensemble image

Écrivez la fonction en fonction de $x$ , par exemple (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) ou log(x + 2).
Lancez le calcul.
Lisez la liste des restrictions et la façon dont chacune est résolue.
Suivez les étapes de l’ensemble image, qui étudient la fonction sur chaque intervalle de l’ensemble de définition.
Recopiez l’ensemble de définition et l’ensemble image sous forme d’intervalles.

Formules

Dénominateur

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Racine d’indice pair

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Logarithme

\ln u(x):\; u(x) > 0

Sommet d’une parabole

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Exemple corrigé: (x + 1)/(x − 2)

L’exemple étudie $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . La seule restriction est que le dénominateur ne peut pas être nul : $x = 2$ est donc une valeur interdite, retirée de l’ensemble de définition.

Pour l’ensemble image, le moteur étudie séparément chaque côté du trou. Sur les deux morceaux, la fonction se rapproche de l’asymptote horizontale $y = 1$ sans jamais atteindre cette valeur : 1 est donc la seule valeur absente de l’ensemble image.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

Comment nous avons lu votre problème

Trouver tous les réels x pour lesquels f(x) = (x + 1) / (x - 2) est définie (ensemble de définition) et toutes les valeurs qu’elle prend (ensemble image).

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Solution étape par étape

Écrire la fonction
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Lister les contraintes
le dénominateur (x - 2) ne peut pas valoir 0.
Résoudre (x - 2) ≠ 0
L’expression ne peut changer de signe qu’en 2. En testant une valeur dans chaque intervalle, on obtient l’ensemble des solutions (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
Ensemble image sur (-∞, 2)
quand x → -∞, f → 1 ; quand x → 2⁻, f → -∞. Il n’y a pas d’extremum local à l’intérieur de cet intervalle : f y est donc monotone ou constante. La fonction est continue sur cet intervalle, elle prend donc toutes les valeurs entre la plus petite (-∞, non atteinte) et la plus grande (1, non atteinte).
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
Ensemble image sur (2, ∞)
quand x → 2⁺, f → ∞ ; quand x → ∞, f → 1. Il n’y a pas d’extremum local à l’intérieur de cet intervalle : f y est donc monotone ou constante. La fonction est continue sur cet intervalle, elle prend donc toutes les valeurs entre la plus petite (1, non atteinte) et la plus grande (∞, non atteinte).
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Réunir les résultats
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Formules utilisées

Contraintes
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

L’ensemble de définition s’obtient en résolvant chaque contrainte de la formule et en prenant l’intersection des ensembles de solutions. L’ensemble image découle de la continuité : sur chaque intervalle de l’ensemble de définition, la fonction prend toutes les valeurs comprises entre ses valeurs extrêmes et ses limites aux bornes de l’intervalle.

Vérification

Ensemble de définition vérifié en environ 4,000 points tests : f est réelle et finie exactement là où l’indique l’ensemble de définition ✓
Toutes les valeurs testées de f sont dans l’ensemble image calculé ✓

Explication détaillée

Trouver l’ensemble de définition

Partez de l’ensemble des nombres réels et retirez ce qui est interdit. Exigez que chaque dénominateur soit non nul, que chaque expression sous une racine carrée soit positive ou nulle et que chaque argument d’un logarithme soit strictement positif, puis prenez l’intersection des résultats. Pour $\sqrt{4 - x^2}$ , la condition $4 - x^2 \geq 0$ donne $[-2, 2]$ . Pour $\frac{1}{x^2 - 4}$ , deux points sont retirés, si bien que l’ensemble de définition se découpe en trois intervalles.

Ne simplifiez pas d’abord. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ se réduit à $x + 1$ , mais $x = 1$ reste exclu de la fonction de départ, et la calculatrice donne l’ensemble de définition avec ce trou.

Trouver l’ensemble image

L’ensemble image dépend de l’allure de la courbe. Une parabole atteint son extremum en son sommet : pour $x^2 - 4x + 1$ , le sommet est en $x = 2$ avec la valeur $-3$ , donc l’ensemble image est $[-3, \infty)$ . Une racine carrée part de zéro et croît, donc $\sqrt{x - 3}$ a pour ensemble image $[0, \infty)$ . Un logarithme prend toutes les valeurs réelles, et $e^x$ prend toutes les valeurs strictement positives.

Pour les fonctions rationnelles, la calculatrice travaille morceau par morceau : elle détermine où la fonction est croissante ou décroissante et vers quelle valeur elle tend aux bornes de chaque intervalle. Elle établit ainsi que $\frac{1}{x^2}$ a pour ensemble image $(0, \infty)$ et que $\frac{x}{x^2 + 1}$ reste entre $-\frac12$ et $\frac12$ . Lorsque l’ensemble image ne peut pas être déterminé de façon fiable, comme pour $\tan x$ , la calculatrice indique qu’il n’a pas été calculé au lieu de le deviner.

Lire la notation en intervalles

La calculatrice utilise la notation internationale : un crochet inclut la borne et une parenthèse l’exclut ; l’infini est toujours accompagné d’une parenthèse. Le symbole $\cup$ réunit des morceaux séparés, donc $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ désigne tous les nombres réels sauf 2. Écrire les résultats ainsi facilite la comparaison avec une courbe.

Erreurs fréquentes

Simplifier une fonction rationnelle avant de chercher son ensemble de définition et perdre un trou.
Utiliser $> 0$ pour une racine carrée (zéro est autorisé) ou $\geq 0$ pour un logarithme (zéro ne l’est pas).
Supposer que l’ensemble image est l’ensemble des réels parce que l’ensemble de définition l’est.
Oublier qu’une asymptote horizontale peut exclure une valeur de l’ensemble image.
Mettre un crochet du côté de l’infini.

Conseils

Notez tous les dénominateurs, radicandes et arguments de logarithmes avant de résoudre quoi que ce soit.
Tracez la fonction avec la calculatrice graphique pour confirmer visuellement l’ensemble image.
Pour une fonction du second degré, cherchez le sommet ; l’ensemble image commence ou s’arrête à son ordonnée $y$ .
Retenez que l’ensemble image de $f$ devient l’ensemble de définition de sa réciproque.
Contrôlez une borne en la substituant dans la fonction.

Questions fréquentes

Comment trouver l’ensemble de définition d’une fonction ?

Partez de l’ensemble des nombres réels et retirez les valeurs qui donnent un dénominateur nul, un nombre négatif sous une racine d’indice pair ou un argument de logarithme négatif ou nul. Ce qui reste est l’ensemble de définition.

Comment trouver l’ensemble image d’une fonction ?

Déterminez quelles valeurs de sortie la fonction atteint réellement grâce à son sommet, ses asymptotes, ses intervalles de croissance et de décroissance et son comportement aux bornes de chaque morceau de l’ensemble de définition.

Quel est l’ensemble de définition d’un polynôme ?

L’ensemble des nombres réels, noté (−∞, ∞), car un polynôme ne contient ni division par x, ni racine, ni logarithme.

Pourquoi 1 n’appartient-il pas à l’ensemble image de (x + 1)/(x − 2) ?

La courbe a une asymptote horizontale d’équation y = 1. Résoudre (x + 1)/(x − 2) = 1 conduit à 1 = −2, ce qui est impossible : la fonction ne prend donc jamais la valeur 1.

Que signifient les crochets et les parenthèses dans la notation en intervalles ?

Un crochet indique que la borne est incluse et une parenthèse qu’elle est exclue. L’infini n’est jamais inclus, il est donc toujours accompagné d’une parenthèse.

La calculatrice gère-t-elle les fonctions trigonométriques ?

Oui, dans les cas usuels. Elle établit que sin x a pour ensemble image [−1, 1] et que tan x exclut π/2 plus les multiples de π, et elle signale quand un ensemble image n’a pas été calculé.

Que signifie log dans la calculatrice ?

log(x) désigne le logarithme népérien, donc log(x + 2) est défini pour x > −2 et prend toutes les valeurs réelles.

Essayez la calculatrice d’ensemble de définition et d’ensemble image

Saisissez une fonction et obtenez son ensemble de définition et son ensemble image sous forme d’intervalles, étape par étape.

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Calculatrice d’ensemble de définition et d’ensemble image