Composition de fonctions — Calculatrice de f(g(x)) étape par étape

À propos de la calculatrice de composition de fonctions

La composition enchaîne deux fonctions de sorte que la sortie de l’une devient l’entrée de l’autre. On construit ainsi des formules compliquées à partir de formules simples : $\sqrt{x - 4}$ est une racine carrée appliquée après avoir retranché 4, et $(2x - 3)^2 + 1$ consiste à élever au carré puis à ajouter un après une fonction affine. Repérer ces couches est indispensable pour la dérivation des fonctions composées, pour les fonctions réciproques et pour modéliser des processus qui se déroulent par étapes.

Cette calculatrice substitue une fonction dans une autre, développe et simplifie le résultat et détermine l’ensemble de définition de la fonction composée, y compris les restrictions héritées de la fonction intérieure. Si vous indiquez une valeur, elle évalue aussi la composée en ce point, de l’intérieur vers l’extérieur, pour que vous voyiez le nombre passer par chaque fonction.

Qu’est-ce que la composition de fonctions ?

La composée de $f$ et $g$ , notée $(f \circ g)(x)$ et lue « f rond g », est définie par $f(g(x))$ : on applique d’abord $g$ , puis $f$ au résultat. La fonction écrite à droite agit en premier, à l’inverse du sens de lecture.

La composition n’est pas commutative. Pour $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 1$ , $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , alors que $g(f(x)) = x^2 + 1$ . On peut aussi composer une fonction avec elle-même : $f \circ f$ applique $f$ deux fois.

Comment utiliser la calculatrice de composition de fonctions

Saisissez la fonction extérieure f(x) et la seconde fonction g(x), toutes deux en fonction de $x$ .
Choisissez la composition : f∘g, g∘f, f∘f ou g∘g.
Si vous le souhaitez, saisissez une valeur de $x$ pour évaluer la fonction composée en ce point.
Lancez le calcul pour voir la substitution, le résultat simplifié et son ensemble de définition.
Comparez avec l’ordre inverse pour voir comment le résultat change.

Formules

Définition

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Ensemble de définition d’une composée

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Associativité

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Vérification de fonctions réciproques

f(f^{-1}(x)) = x

Exemple corrigé: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, en x = 2

L’exemple utilise $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = 2x - 3$ et construit $f \circ g$ . Chaque $x$ de $f$ est remplacé par l’expression complète $2x - 3$ , ce qui donne $(2x - 3)^2 + 1$ , soit $4x^2 - 12x + 10$ après développement.

L’exemple évalue aussi en $x = 2$ . Par étapes, $g(2) = 1$ et $f(1) = 2$ ; la formule simplifiée donne $16 - 24 + 10 = 2$ , la même valeur. Les deux fonctions sont des polynômes, donc l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

Comment nous avons lu votre problème

Trouver (f ∘ g)(x) = f(g(x)) et calculer sa valeur.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Solution étape par étape

Écrire les fonctions
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) signifie f(g(x)) : mettre g(x) à la place de chaque x dans f
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Substituer
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Développer et réduire les termes semblables
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Ensemble de définition : x doit être autorisé dans g, et g(x) doit être autorisé dans f
$\text{Ensemble de définition de } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
Calculer de l’intérieur vers l’extérieur en x = 2 : d’abord g(2) = 1
$g(2) = 1$
Puis f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Formules utilisées

Composée
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

La composition fait entrer la sortie de g dans f. L’ordre compte : f∘g applique d’abord g et diffère en général de g∘f. L’ensemble de définition est déterminé avant de simplifier, car la simplification de facteurs peut masquer des valeurs que la composée n’accepte pas.

Vérification

Vérifié : f(g(x)) et la formule finale coïncident aux points tests.
Vérifié : la formule simplifiée donne aussi 2 en x = 2.

Explication détaillée

Bien substituer

La méthode la plus sûre pour composer consiste à réécrire la fonction extérieure avec des parenthèses vides à la place de $x$ , comme $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , puis à placer l’expression intérieure complète dans chaque parenthèse. Les parenthèses comptent : remplacer le $x$ de $x^2$ par $2x - 3$ donne $(2x - 3)^2$ , et non $2x - 3^2$ .

Une fois la substitution faite, on développe le résultat et on réduit les termes semblables. La calculatrice montre d’abord la substitution non simplifiée pour que vous puissiez la comparer avec votre propre développement, puis la forme simplifiée.

Trouver l’ensemble de définition

Une entrée appartient à l’ensemble de définition de $f \circ g$ seulement si $g$ l’accepte et si $f$ accepte ce que produit $g$ . Pour $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x - 4$ , $g$ accepte n’importe quel nombre, mais $f$ exige une entrée positive ou nulle, donc $x - 4 \geq 0$ et l’ensemble de définition est $[4, \infty)$ .

Les restrictions de la fonction intérieure demeurent même si la simplification les masque. Avec $f(x) = x^2$ et $g(x) = \sqrt{x}$ , la composée se simplifie en $x$ , mais seul $x \geq 0$ est admis, car $g$ doit d’abord être définie. C’est pourquoi l’ensemble de définition se détermine à partir des deux étapes et pas seulement de la formule finale.

Où sert la composition

La dérivée d’une fonction composée s’obtient par $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . Repérer la fonction intérieure et la fonction extérieure est la première étape pour l’appliquer. La composition décrit aussi les changements d’unités, les évolutions en pourcentage successives et les transformations de courbes : $f(x - 2)$ est $f$ composée avec une translation de deux unités vers la droite.

La décomposition est la compétence inverse : pour $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ , on choisit une fonction intérieure $g(x) = 3x + 7$ et une fonction extérieure $f(x) = \sqrt{x}$ telles que $h = f \circ g$ . Il existe souvent plusieurs choix valables, et le meilleur est celui qui facilite l’étape suivante, comme dériver ou inverser. S’entraîner avec la calculatrice dans les deux sens donne l’habitude de voir les fonctions comme des couches.

Erreurs fréquentes

Appliquer les fonctions dans le mauvais ordre ; dans $f(g(x))$ , c’est la fonction intérieure $g$ qui agit en premier.
Multiplier les fonctions au lieu de les composer : $f(g(x))$ n’est pas $f(x)\,g(x)$ .
Oublier les parenthèses lors de la substitution, ce qui modifie les puissances et les signes.
Déterminer l’ensemble de définition à partir de la seule formule simplifiée et perdre des restrictions de la fonction intérieure.
Supposer que $f \circ g = g \circ f$ ; vérifiez les deux ordres.

Conseils

Évaluez par étapes en un nombre simple pour contrôler une composée simplifiée.
Écrivez la fonction extérieure avec des parenthèses vides avant de substituer.
Listez d’abord les conditions d’existence de la fonction intérieure, puis celles de la fonction extérieure.
Utilisez la calculatrice de fonction réciproque, puis composez pour confirmer que $f(f^{-1}(x)) = x$ .
Repérez la fonction intérieure et la fonction extérieure avant de dériver une fonction composée.

Questions fréquentes

Que signifie f(g(x)) ?

Cela signifie appliquer d’abord g à x, puis f au résultat. La fonction composée se note f∘g (« f rond g »), et la fonction de droite agit toujours en premier.

f∘g est-elle égale à g∘f ?

En général, non. Pour f(x) = x² et g(x) = x + 1, f(g(x)) = (x + 1)², mais g(f(x)) = x² + 1. La calculatrice permet de calculer les deux ordres.

Comment trouver l’ensemble de définition d’une fonction composée ?

Prenez les entrées acceptées par la fonction intérieure et ne gardez que celles dont les sorties sont acceptées par la fonction extérieure. Les restrictions de la fonction intérieure demeurent même si la formule simplifiée les masque.

Peut-on composer une fonction avec elle-même ?

Oui. Choisissez f∘f ou g∘g. Pour f(x) = 2x + 1, f(f(x)) = 4x + 3, donc f(f(3)) = 15.

Quel lien y a-t-il entre composition et dérivation ?

La dérivée d’une fonction composée f(g(x)) est f′(g(x)) multiplié par g′(x). Repérer la fonction intérieure et la fonction extérieure est la première étape.

La calculatrice évalue-t-elle la composée en un point ?

Oui. Saisissez une valeur de x et la calculatrice évalue de l’intérieur vers l’extérieur : d’abord la fonction intérieure en cette valeur, puis la fonction extérieure en le résultat. Substituer la même valeur dans la formule simplifiée doit donner le même nombre.

Comment vérifier que deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre ?

Composez-les dans les deux ordres. Si f(g(x)) et g(f(x)) se simplifient toutes deux en x sur les ensembles de définition correspondants, les fonctions sont réciproques l’une de l’autre.

Essayez la calculatrice de composition de fonctions

Saisissez f et g et obtenez la composée simplifiée, son ensemble de définition et sa valeur en un point.

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Calculatrice de composition de fonctions