Calculatrice de fonction réciproque

À propos de la calculatrice de fonction réciproque

Une fonction réciproque inverse une règle. Si $f$ convertit des degrés Celsius en degrés Fahrenheit, sa réciproque reconvertit les Fahrenheit en Celsius ; si $f$ double un nombre puis lui ajoute trois, la réciproque lui retranche trois puis le divise par deux. Trouver une réciproque à la main consiste à échanger les rôles de l’entrée et de la sortie puis à résoudre une équation : c’est routinier pour les fonctions affines, mais cela se complique vite avec des fractions, des racines et des exponentielles.

Cette calculatrice trouve $f^{-1}(x)$ pour les fonctions affines, rationnelles, puissances, racines, exponentielles, logarithmes et trigonométriques usuelles. Elle montre les étapes d’échange et de résolution, donne l’ensemble de définition de la réciproque et, lorsque $f$ n’est pas injective, choisit une branche standard et le signale. Chaque résultat est vérifié numériquement en composant $f$ avec $f^{-1}$ en des points tests.

Qu’est-ce qu’une fonction réciproque ?

La réciproque d’une fonction $f$ est la fonction $f^{-1}$ qui vérifie $f^{-1}(f(x)) = x$ pour tout $x$ de l’ensemble de définition de $f$ et $f(f^{-1}(y)) = y$ pour tout $y$ de l’ensemble image de $f$ . La notation $f^{-1}$ désigne la réciproque, et non l’inverse $\frac{1}{f}$ .

Seules les fonctions injectives ont une réciproque, car chaque sortie doit provenir d’une seule entrée. Sur un graphique, c’est le test de la droite horizontale : aucune droite horizontale ne doit couper la courbe deux fois. La courbe de $f^{-1}$ est la symétrique de celle de $f$ par rapport à la droite $y = x$ , et l’ensemble de définition et l’ensemble image échangent leurs rôles.

Comment utiliser la calculatrice de fonction réciproque

Écrivez la fonction en fonction de $x$ , par exemple (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 ou e^x.
Lancez le calcul.
Lisez les étapes : remplacer f(x) par y, échanger x et y, puis isoler y.
Repérez l’ensemble de définition de f⁻¹ et toute restriction de branche appliquée par la calculatrice.
Utilisez les lignes de vérification pour confirmer que f et f⁻¹ se défont mutuellement.

Formules

Propriété caractéristique

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Échanger et isoler

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Échange de l’ensemble de définition et de l’ensemble image

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Réciproque d’une fonction homographique

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Exemple corrigé: (2x + 3)/(x − 1)

L’exemple inverse $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . Après l’échange, dans l’équation $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ , on chasse le dénominateur, on regroupe dans un membre tous les termes contenant $y$ et on met $y$ en facteur.

On obtient $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Son ensemble de définition exclut 2, car $f$ ne prend jamais la valeur 2 : quand $x$ grandit, $f(x)$ se rapproche de l’asymptote horizontale $y = 2$ sans l’atteindre.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

Comment nous avons lu votre problème

Trouver f⁻¹, la fonction qui défait f(x) = (2 x + 3) / (x - 1).

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Solution étape par étape

Remplacer f(x) par y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
Multiplier les deux membres par le dénominateur
$y(1x+-1) = 2x+3$
Regrouper les termes en x dans un membre et mettre x en facteur
$x(1y-2) = 3--1y$
Diviser pour isoler x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
x isolé
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Échanger x et y pour écrire la réciproque
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
L’ensemble de définition de f⁻¹ est l’ensemble image de f
$\text{Ensemble de définition de } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Formules utilisées

Réciproque
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Pour inverser une fonction, on écrit y = f(x), on défait ses opérations dans l’ordre inverse jusqu’à isoler x, puis on échange les lettres.

Vérification

Vérifié : f(f⁻¹(y)) = y en 12 points tests.
Vérifié : f⁻¹(f(x)) = x en 12 points tests.

Explication détaillée

Pourquoi la méthode « échanger puis isoler » fonctionne

Écrire $y = f(x)$ décrit tous les couples $(x, y)$ de la courbe. Échanger les lettres décrit l’ensemble des couples symétriques, qui est exactement la courbe de la réciproque. Isoler $y$ dans l’équation échangée retransforme cet ensemble de couples en formule. La méthode n’échoue que lorsque l’étape de résolution a plus d’une solution, ce qui indique que $f$ n’est pas injective.

Chaque type de fonction a une opération qui la défait : la soustraction défait l’addition, la division défait la multiplication, la racine cubique défait le cube, $\ln$ défait $e^x$ et $\log_2$ défait $2^x$ . Inverser $x^3 + 1$ revient à défaire ces opérations dans l’ordre inverse : retrancher 1 puis prendre la racine cubique, ce qui donne $\sqrt[3]{x - 1}$ .

Restreindre l’ensemble de définition

Une fonction comme $x^2$ ne passe pas le test de la droite horizontale, car $2$ et $-2$ ont tous deux pour image 4. Pour qu’elle ait une réciproque, on ne garde qu’une partie de son ensemble de définition. La calculatrice utilise la branche habituelle $x \geq 0$ , qui donne $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ , et indique la restriction dans le résultat. Pour $x^2 + 1$ , la même branche donne $\sqrt{x - 1}$ avec l’ensemble de définition $[1, \infty)$ .

Les fonctions trigonométriques sont elles aussi restreintes de façon standard. Pour $\sin x$ , la calculatrice garde $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , ce qui donne $\arcsin x$ sur $[-1, 1]$ .

Comment le résultat est vérifié

Une fois une réciproque candidate trouvée, le moteur calcule $f(f^{-1}(y))$ pour des valeurs tests de $y$ dans l’ensemble image de $f$ et exige de retrouver $y$ ; sinon, aucune réciproque n’est donnée. Il calcule aussi $f^{-1}(f(x))$ : lorsque cela ne redonne $x$ que pour certaines entrées, $f$ n’est pas injective et le résultat nomme la branche utilisée. On détecte ainsi les erreurs de signe et les mauvaises branches, faciles à manquer quand on ne fait que l’algèbre.

Erreurs fréquentes

Lire $f^{-1}(x)$ comme $\frac{1}{f(x)}$ ; ici, la notation en exposant désigne la réciproque, pas l’inverse.
Oublier d’échanger $x$ et $y$ et se contenter d’isoler $x$ dans $y = f(x)$ , ce qui laisse le résultat en fonction de $y$ .
Affirmer que la réciproque de $x^2$ est $\pm\sqrt x$ ; une fonction ne donne qu’une seule sortie, il faut donc choisir une branche.
Négliger l’ensemble de définition de la réciproque, qui est égal à l’ensemble image de la fonction de départ.
Défaire les opérations dans l’ordre d’origine au lieu de l’ordre inverse.

Conseils

Testez une valeur : si $f(2) = 7$ , alors $f^{-1}(7)$ doit valoir 2.
Tracez $f$ avec la calculatrice graphique et appliquez le test de la droite horizontale avant d’inverser.
Avec un quotient d’expressions affines, chassez les dénominateurs, regroupez les termes en $y$ et mettez $y$ en facteur.
Trouvez l’ensemble image de $f$ avec la calculatrice d’ensemble de définition et d’ensemble image pour obtenir l’ensemble de définition de la réciproque.
Utilisez la calculatrice de composition de fonctions pour vérifier que $f(f^{-1}(x))$ se simplifie en $x$ .

Questions fréquentes

Comment trouver la réciproque d’une fonction ?

Remplacez f(x) par y, échangez x et y, isolez y dans la nouvelle équation et écrivez le résultat sous la forme f⁻¹(x). Indiquez ensuite son ensemble de définition, qui est l’ensemble image de la fonction de départ.

Toutes les fonctions ont-elles une réciproque ?

Non, seulement les fonctions injectives. Celles qui ne passent pas le test de la droite horizontale, comme x² ou sin x, doivent être restreintes pour avoir une réciproque.

Quelle branche la calculatrice choisit-elle pour x² ?

Elle utilise x ≥ 0, donc la réciproque est la racine carrée. La restriction est indiquée dans le résultat pour que vous sachiez quelle branche a été utilisée.

f⁻¹(x) est-il la même chose que 1/f(x) ?

Non. L’exposant −1 désigne la fonction réciproque. L’inverse 1/f(x) est une autre fonction, qu’on écrit en général sous forme de fraction ou (f(x))⁻¹.

Quelle est la réciproque de e^x ?

Le logarithme népérien, ln x, défini pour x > 0. De même, la réciproque de 2^x est le logarithme de x en base 2.

Quel lien y a-t-il entre les courbes de f et de f⁻¹ ?

Elles sont symétriques par rapport à la droite y = x : à un point (a, b) de l’une correspond le point (b, a) de l’autre.

Comment la calculatrice vérifie-t-elle la réciproque ?

Elle calcule f(f⁻¹(y)) en plusieurs points tests et ne donne une réciproque que si toutes les valeurs reviennent inchangées. Elle compose aussi dans l’autre sens pour détecter les cas où une restriction de branche était nécessaire.

Essayez la calculatrice de fonction réciproque

Saisissez une fonction et obtenez sa réciproque, l’ensemble de définition de f⁻¹ et la vérification étape par étape.

Utiliser la calculatrice Demander au solveur IA