Calculatrice de puissances — Règles de calcul sur les puissances étape par étape

À propos de la calculatrice de puissances et d’exposants

Les exposants sont une écriture abrégée de multiplications répétées, mais ils vont vite plus loin : les exposants négatifs décrivent des inverses, les exposants fractionnaires des racines, et quelques règles permettent de réduire de longs produits en quelques lignes. Confondre ces règles est l’une des sources d’erreur les plus fréquentes en algèbre.

La calculatrice propose deux modes. Le mode puissance calcule $a^b$ exactement pour une base et un exposant rationnels, par exemple $8^{2/3} = 4$ ou $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , et vous prévient lorsque le résultat est irrationnel ou n’est pas un nombre réel. Le mode simplification applique les règles des puissances à des monômes à plusieurs variables et écrit la réponse avec des exposants positifs.

Qu’est-ce qu’un exposant ?

Dans $a^n$ , la base $a$ est multipliée par elle-même $n$ fois lorsque $n$ est un entier positif : $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . L’exposant $n$ indique donc le nombre de facteurs du produit.

La définition s’étend de façon que les règles continuent de fonctionner : $a^0 = 1$ pour $a \ne 0$ , $a^{-n} = 1/a^n$ et $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Ainsi, tout exposant rationnel a un sens, et $a^{m/n}$ est la racine $n$ -ième de $a$ élevée à la puissance $m$ .

Comment utiliser la calculatrice de puissances et d’exposants

Choisissez « Calculer une puissance bⁿ » pour élever un nombre à un exposant, ou « Simplifier avec les règles des puissances » pour appliquer les propriétés à une expression.
En mode puissance, saisissez la base et l’exposant. Les deux peuvent être des entiers, des décimaux ou des fractions comme 2/3 ou -1/2.
En mode simplification, écrivez l’expression avec ^ pour les puissances, par exemple (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
Lancez le calcul et suivez les étapes ; chacune nomme la règle utilisée, comme la puissance d’un produit ou le quotient de puissances de même base.

Formules

Produit de puissances de même base

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Quotient de puissances de même base

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Puissance d’une puissance

(a^m)^n = a^{mn}

Puissance d’un produit

(ab)^n = a^n b^n

Exposant négatif

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Exposant fractionnaire

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Exemple corrigé: 8^(2/3)

L’exemple résolu calcule $8^{2/3}$ . Le dénominateur 3 de l’exposant indique une racine cubique et le numérateur 2 un carré : le moteur calcule donc d’abord $\sqrt[3]{8} = 2$ , puis l’élève au carré pour obtenir 4.

Extraire la racine en premier garde des nombres petits : $8^2 = 64$ puis $\sqrt[3]{64} = 4$ donne la même réponse avec plus de calculs.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

4

Comment nous avons lu votre problème

Élever 8 à la puissance 2/3.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Solution étape par étape

Identifier la base et l’exposant
base b = 8, exposant n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Règle de l’exposant fractionnaire
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m : le dénominateur 3 donne la racine, le numérateur 2 donne la puissance.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Calculer la racine cubique exacte
$4$

Formules utilisées

Puissance entière
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Exposant négatif
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Exposant rationnel
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 à la puissance 2/3 vaut 4.

Vérification

Vérification décimale : 8^0.6666666667 ≈ 4.

Explication détaillée

Pourquoi les règles fonctionnent

Le produit de puissances, c’est du dénombrement. $a^3 \cdot a^2$ , ce sont trois exemplaires de $a$ multipliés par deux autres, cinq en tout, donc $a^5$ . Le quotient, c’est de la simplification : dans $\frac{a^5}{a^2}$ , deux exemplaires se simplifient et il en reste trois.

Les définitions de l’exposant nul et de l’exposant négatif sont imposées par la règle du quotient. Comme $\frac{a^3}{a^3} = 1$ et que la règle donne $a^0$ , on doit avoir $a^0 = 1$ . De même, $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ est aussi égal à $\frac{1}{a^3}$ , donc $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ .

Exposants fractionnaires et racines

Comme $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ , le nombre $a^{1/n}$ doit être la racine $n$ -ième de $a$ . La calculatrice renvoie un résultat exact lorsque la racine est rationnelle, comme $32^{3/5} = 8$ , et conserve sinon la forme radicale exacte plutôt qu’un décimal arrondi.

Avec une base négative, les racines d’indice impair sont réelles, donc $(-8)^{1/3} = -2$ , mais celles d’indice pair ne sont pas des nombres réels : $(-4)^{1/2}$ n’a pas de valeur réelle. La calculatrice le signale au lieu de donner un résultat trompeur.

Simplifier des monômes

Pour simplifier une expression comme $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ , appliquez d’abord la puissance d’un produit : $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Divisez ensuite les coefficients et soustrayez les exposants variable par variable : $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ et $y^{2-5} = y^{-3}$ . Enfin, réécrivez les exposants négatifs sous forme d’inverses pour obtenir $\frac{x^7}{y^3}$ .

Où l’on rencontre les puissances hors de la classe

Les puissances décrivent tout ce qui croît ou décroît d’un facteur fixe. Un capital placé à 5 % par an est multiplié par $1.05^t$ au bout de $t$ années, une population qui double à chaque période croît comme $2^t$ , et un échantillon radioactif ayant une demi-vie décroît comme $\left(\tfrac12\right)^t$ . La notation scientifique, comme $6.02 \times 10^{23}$ , utilise les puissances de dix pour écrire de manière compacte des nombres très grands ou très petits.

Dans tous les cas, les mêmes règles s’appliquent. Deux années de croissance suivies de trois autres donnent $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ , et le temps nécessaire pour atteindre une valeur cible s’obtient en défaisant la puissance avec un logarithme, ce que la calculatrice de logarithmes fait étape par étape.

Erreurs fréquentes

Multiplier la base par l’exposant, comme écrire $2^3 = 6$ au lieu de 8.
Croire qu’un exposant négatif rend le résultat négatif. $2^{-3} = \tfrac18$ , qui est positif.
N’appliquer l’exposant qu’à une partie d’un produit : $(3x)^2 = 9x^2$ , et non $3x^2$ .
Distribuer un exposant sur une somme : $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
Confondre $-3^2 = -9$ et $(-3)^2 = 9$ ; la puissance s’applique avant le signe moins.

Conseils

Dans $a^{m/n}$ , extrayez d’abord la racine lorsque la base est une puissance parfaite ; les nombres restent plus petits.
Pour simplifier des monômes, traitez séparément les coefficients et chaque variable.
Gardez les exposants négatifs pour la dernière étape, puis faites-les passer de l’autre côté du trait de fraction.
Mettez toujours des parenthèses quand vous élevez un nombre négatif ou une fraction à une puissance.

Questions fréquentes

Combien vaut un nombre élevé à la puissance zéro ?

Tout nombre non nul élevé à la puissance zéro vaut 1. L’expression 0 puissance 0 est laissée non définie par cette calculatrice, car les différentes branches des mathématiques la traitent différemment.

Comment calculer une puissance d’exposant négatif ?

Prenez l’inverse de la base et utilisez l’exposant positif. Par exemple, 5 puissance moins 2 est égal à 1 sur 25.

Que signifie un exposant fractionnaire ?

Le dénominateur indique une racine et le numérateur une puissance. Ainsi, 27 puissance 2/3 est la racine cubique de 27, soit 3, élevée au carré, ce qui donne 9.

Peut-on élever un nombre négatif à une puissance fractionnaire ?

Seulement lorsque le dénominateur de l’exposant, une fois simplifié, est impair. Moins 8 puissance 1/3 vaut moins 2, mais moins 4 puissance 1/2 n’est pas un nombre réel.

Pourquoi (a + b) au carré n’est-il pas égal à a au carré plus b au carré ?

Les exposants se distribuent sur la multiplication, pas sur l’addition. En développant, on obtient a au carré plus 2ab plus b au carré, et le double produit est facile à oublier.

La calculatrice donne-t-elle des résultats exacts ?

Oui. Les résultats sont des fractions ou des radicaux exacts ; l’approximation décimale n’apparaît qu’à côté d’un résultat irrationnel.

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