Calculatrice de factorisation

À propos de la calculatrice de factorisation

Factoriser, c’est réécrire un polynôme comme un produit de polynômes plus simples. C’est l’opération inverse du développement, et l’une des compétences les plus utilisées en algèbre : elle sert à résoudre des équations du second et du troisième degré, à simplifier des expressions rationnelles, à trouver les zéros d’une courbe et à préparer des intégrales par décomposition en éléments simples.

Cette calculatrice factorise les polynômes à une variable, comme $6x^2 + 11x - 10$ ou $x^4 - 16$ , et les formes courantes à deux variables, comme $x^2 - 9y^2$ ou $x^2 - 5xy + 6y^2$ . Elle met toujours d’abord en facteur le facteur commun, cherche ensuite les identités remarquables, puis applique la méthode AC ou, pour les degrés plus élevés, le théorème des racines rationnelles. Ce qui ne peut plus se décomposer sur les rationnels est signalé comme irréductible au lieu de rester sans explication.

Que signifie factoriser un polynôme ?

Factoriser un polynôme, c’est l’écrire comme un produit dont chaque facteur est de degré inférieur. Par exemple, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . En remultipliant les facteurs, on retrouve le polynôme de départ : c’est la façon la plus simple de vérifier une factorisation.

Une factorisation est complète lorsqu’aucun facteur ne peut plus être décomposé avec des coefficients rationnels. Le polynôme $x^2 - 2$ est irréductible sur les rationnels bien qu’il soit égal à $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ , car $\sqrt2$ est irrationnel. En classe comme dans cette calculatrice, on travaille sur les rationnels, sauf si l’énoncé demande explicitement des facteurs réels ou complexes.

Comment utiliser la calculatrice de factorisation

Saisissez le polynôme en utilisant ^ pour les puissances, par exemple 6x^2 + 11x - 10 ou x^3 - 8.
Vous pouvez l’écrire dans n’importe quel ordre ou avec des parenthèses, comme (x + 1)(x + 2) + 3x ; la calculatrice le développe et l’ordonne d’abord.
Appuyez sur Factoriser. La première étape écrit le polynôme sous forme développée et ordonnée, par puissances décroissantes.
Suivez les étapes de la méthode : facteur commun, identité remarquable ou méthode AC, puis tests de racines rationnelles avec la méthode de Horner pour les polynômes de degré trois ou quatre.
Lisez la factorisation complète à la fin et, pour la vérifier, développez-la avec la calculatrice de simplification.

Formules

Différence de deux carrés

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Carré parfait (identités remarquables)

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Somme et différence de deux cubes

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Méthode AC

ax^2 + bx + c:\ \text{chercher } m, n \text{ tels que } mn = ac,\ m + n = b

Décomposez $bx$ en $mx + nx$ et factorisez par regroupement.

Théorème des racines rationnelles

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

Les racines candidates sont les diviseurs du terme constant divisés par les diviseurs du coefficient dominant.

Exemple corrigé: Trinôme 6x² + 11x − 10

L’exemple résolu utilise le trinôme $6x^2 + 11x - 10$ , un cas typique où le coefficient dominant n’est pas 1 et où les essais à tâtons sont lents. Le moteur calcule $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ et cherche deux entiers dont le produit vaut $-60$ et la somme $11$ .

Ces entiers sont $15$ et $-4$ . En décomposant le terme du milieu en $15x - 4x$ , les quatre termes se regroupent deux par deux et chaque paire partage un binôme en facteur. Remultipliez le résultat pour le confirmer.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

(3x - 2)(2x + 5)

Comment nous avons lu votre problème

Factoriser un polynôme sur les rationnels

6x^{2} + 11x - 10

Solution étape par étape

Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée
$6x^{2} + 11x - 10$
Utiliser la méthode AC
Calculer a·c = 6·-10 = -60. Trouver deux nombres dont le produit vaut -60 et la somme vaut b = 11 : 15 et -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Factoriser par regroupement
Regrouper les deux premiers et les deux derniers termes, factoriser chaque groupe, puis mettre en facteur le binôme commun. Les racines sont -5/2 et 2/3.
Écrire la factorisation complète
$(3x - 2)(2x + 5)$

Formules utilisées

Différence de deux carrés
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Identité remarquable (carré parfait)
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Somme et différence de deux cubes
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Théorème des racines rationnelles
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ racine} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 se factorise complètement sur les rationnels sous la forme (3x - 2)(2x + 5).

Vérification

En développant (3x - 2)(2x + 5), on retrouve 6x^2 + 11x - 10.

Explication détaillée

L’ordre des méthodes compte

Une démarche de factorisation fiable commence toujours par le facteur commun. En mettant $2$ en facteur dans $2x^2 - 18$ , il reste $x^2 - 9$ , que l’on reconnaît alors comme une différence de deux carrés. Sauter cette étape masque l’identité et laisse une réponse incomplète comme $(2x - 6)(x + 3)$ , qui contient encore le facteur commun 2.

Après le facteur commun, il faut regarder la forme. Deux termes suggèrent une différence de deux carrés ou une somme ou différence de deux cubes ; trois termes, un carré parfait ou la méthode AC ; quatre termes se factorisent souvent par regroupement. À partir du troisième degré, la calculatrice teste les racines rationnelles candidates et divise par chaque racine trouvée avec la méthode de Horner, ce qui abaisse le degré d’une unité à chaque fois et donne le même résultat que le regroupement, par exemple $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

Pourquoi la méthode AC fonctionne

Si $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ , le développement donne $pr = a$ , $qs = c$ et $ps + qr = b$ . Les deux nombres $ps$ et $qr$ ont pour produit $pq rs = ac$ et pour somme $b$ . Trouver deux nombres de produit $ac$ et de somme $b$ revient donc exactement à trouver les termes croisés, et le regroupement redonne les binômes.

Lorsqu’aucune paire d’entiers ne convient, le polynôme du second degré n’a pas de racine rationnelle et il est irréductible sur les rationnels. Vous pouvez le confirmer avec le discriminant $b^2 - 4ac$ : il y a des facteurs rationnels exactement lorsque c’est un carré parfait.

Polynômes de degré supérieur

Pour un polynôme du troisième degré comme $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ , le théorème des racines rationnelles limite les candidats à $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . En les testant, on voit que $x = 1$ est racine, la méthode de Horner laisse $x^2 - 5x + 6$ , et ce polynôme se factorise en $(x - 2)(x - 3)$ .

Les polynômes de degré quatre sans racine rationnelle peuvent malgré tout se décomposer en deux polynômes du second degré, comme dans $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . La calculatrice cherche des paires de polynômes du second degré à coefficients entiers avant de déclarer irréductible un polynôme de degré quatre.

Erreurs fréquentes

Oublier de mettre d’abord en facteur le facteur commun, ce qui laisse une factorisation incomplète.
Croire que $a^2 + b^2$ se factorise sur les réels. Une somme de deux carrés ne se factorise pas sans nombres complexes.
Erreurs de signe avec les cubes : $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ , avec un signe plus pour le terme du milieu du second facteur.
S’arrêter après une seule étape, par exemple laisser $x^4 - 16$ sous la forme $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ alors que $x^2 - 4$ se factorise encore.
Perdre un facteur $-1$ en mettant en facteur un coefficient dominant négatif.

Conseils

Vérifiez toujours en remultipliant les facteurs.
Écrivez le polynôme par puissances décroissantes avant de choisir une méthode.
Dans la méthode AC, listez les paires de diviseurs de $ac$ de façon ordonnée, du plus petit au plus grand.
Utilisez le discriminant pour savoir rapidement si un polynôme du second degré se factorise sur les rationnels.
Si vous cherchez les racines et non les facteurs, égalez chaque facteur à zéro.

Questions fréquentes

Quelle est la première étape pour factoriser un polynôme ?

Mettez en facteur le facteur commun à tous les termes, y compris toute puissance commune de la variable. Toutes les autres méthodes fonctionnent mieux sur ce qui reste.

Comment factoriser un trinôme dont le coefficient dominant n’est pas 1 ?

Utilisez la méthode AC : multipliez a par c, cherchez deux nombres ayant ce produit et dont la somme vaut b, décomposez le terme du milieu en ces deux parties et factorisez par regroupement.

Que signifie irréductible ?

Un polynôme est irréductible sur les rationnels lorsqu’il ne peut pas s’écrire comme un produit de polynômes de degré inférieur à coefficients rationnels. Par exemple, x au carré plus 1 et x au carré moins 2 sont irréductibles sur les rationnels.

Peut-elle factoriser des polynômes de degré trois et quatre ?

Oui. Elle teste les racines rationnelles avec le théorème des racines rationnelles, divise par la méthode de Horner et, pour le degré quatre, cherche aussi une décomposition en deux polynômes du second degré à coefficients entiers.

Factorise-t-elle les expressions à deux variables ?

Elle accepte les formes courantes à deux variables : un monôme commun en facteur, des polynômes homogènes comme x au carré moins 5xy plus 6y au carré, des différences de deux carrés et le regroupement selon une variable. Les expressions à trois variables ou plus ne sont pas prises en charge.

Quel est le lien entre factoriser et résoudre des équations ?

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Factoriser un polynôme égal à zéro transforme donc une équation difficile en plusieurs équations simples.

Pourquoi ma réponse est-elle écrite autrement que dans le manuel ?

Les facteurs peuvent apparaître dans n’importe quel ordre, et un facteur moins un peut passer d’une parenthèse à l’autre. Développez les deux versions : si elles donnent le même polynôme, les deux sont justes.

Essayez la calculatrice de factorisation

Saisissez un polynôme et suivez chaque méthode, du facteur commun à la factorisation complète.

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