Calculatrice de forme canonique

Pourquoi le carré de la moitié du coefficient ?

En développant $(x + p)^2$, on obtient $x^2 + 2px + p^2$. Par comparaison avec $x^2 + bx$, les termes du milieu coïncident quand $2p = b$, c’est-à-dire $p = b/2$, et la constante manquante est $p^2 = (b/2)^2$. Géométriquement, $x^2 + bx$ est un carré de côté $x$ accompagné de deux rectangles de $x \times b/2$ ; le petit carré du coin, d’aire $(b/2)^2$, est ce qui complète le grand carré.

Quand le coefficient dominant n’est pas égal à 1

Mettez $a$ en facteur uniquement dans les termes en $x^2$ et en $x$, en laissant la constante à l’extérieur. Complétez le carré dans la parenthèse puis, en sortant le carré retranché, multipliez-le par $a$. Oublier cette multiplication est l’erreur la plus courante : dans l’exemple, le $-4$ de la parenthèse devient $-8$ à l’extérieur.

Si $a$ est négatif, la parabole est tournée vers le bas et le sommet est un maximum. La calculatrice met le coefficient négatif en facteur de la même façon, si bien que les signes dans la parenthèse changent.

Résoudre une équation grâce à la forme canonique

Pour $x^2 - 4x - 1 = 0$, la forme canonique donne $(x - 2)^2 = 5$. En prenant la racine carrée des deux membres, avec les deux signes, on obtient $x - 2 = \pm\sqrt5$, donc $x = 2 \pm \sqrt5$. Refaire les mêmes étapes avec des lettres à la place des nombres conduit aux formules des racines.

Lorsque le second membre est négatif, comme dans $(x + 3)^2 = -4$, qui provient de $x^2 + 6x + 13 = 0$, il n’y a pas de solution réelle. La calculatrice l’indique et donne aussi le couple de complexes $-3 \pm 2i$ obtenu en admettant $\sqrt{-4} = 2i$.

Lire la courbe à partir de la forme canonique

La forme canonique décrit la parabole comme une transformation de $y = x^2$. La valeur $h$ décale la courbe vers la droite (ou vers la gauche si $h$ est négatif), $k$ la décale vers le haut ou vers le bas, et $a$ l’étire verticalement et la retourne s’il est négatif. L’axe de symétrie est la droite verticale $x = h$ : les points situés à la même distance de part et d’autre de $h$ ont la même ordonnée.

Le tracé en devient bien plus rapide. Pour $2(x - 2)^2 - 5$, placez le sommet $(2, -5)$ puis avancez d’une unité de chaque côté : l’ordonnée augmente de $a \cdot 1^2 = 2$, ce qui donne $(1, -3)$ et $(3, -3)$. L’ensemble image se lit immédiatement, $y \ge -5$, et c’est pourquoi la forme canonique est le point de départ naturel des questions d’ensemble de définition et d’ensemble image.