Résoudre une équation du second degré : factorisation, forme canonique et discriminant

Ce qui fait qu’une équation est du second degré

Une équation du second degré peut s’écrire $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$. La plus grande puissance de l’inconnue est 2 : il y a donc au plus deux solutions, appelées racines. Avant d’appliquer une méthode, ramenez tous les termes dans un seul membre pour que l’autre soit nul. Ce n’est pas facultatif : la règle du produit nul comme la formule du discriminant en dépendent.

Par exemple, $x^2 = 3x + 10$ devient $x^2 - 3x - 10 = 0$, donc $a = 1$, $b = -3$ et $c = -10$. Noter les trois coefficients, avec leurs signes, avant de commencer est le moyen le plus simple d’éviter les erreurs de signe par la suite.

Graphiquement, les racines sont les abscisses des points où la parabole $y = ax^2 + bx + c$ coupe l’axe des abscisses. Une parabole peut couper cet axe deux fois, le toucher une fois en son sommet ou ne pas le toucher du tout : c’est pourquoi une équation du second degré peut avoir deux, une ou aucune racine réelle.

Cas rapides : sans terme en x ou sans terme constant

Deux formes particulières ne demandent aucune méthode générale.

• Si $b = 0$, isolez $x^2$ et prenez les racines carrées sans oublier les deux signes : $x^2 = 49$ donne $x = \pm 7$, et $4x^2 - 9 = 0$ donne $x^2 = \frac{9}{4}$, donc $x = \pm\frac{3}{2}$.
• Si $c = 0$, mettez $x$ en facteur : $x^2 - 5x = 0$ devient $x(x - 5) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 5$.

Ne divisez jamais les deux membres de $x^2 - 5x = 0$ par $x$. Vous perdriez la racine $x = 0$, puisque vous diviseriez par zéro lorsque $x = 0$.

Méthode 1 : la factorisation

Si l’expression du second degré se décompose en deux facteurs du premier degré, la règle du produit nul termine le travail : si $pq = 0$, alors $p = 0$ ou $q = 0$. Lorsque $a = 1$, cherchez deux nombres dont le produit vaut $c$ et la somme vaut $b$.

Ici, $-5$ et $2$ donnent $-10$ quand on les multiplie et $-3$ quand on les additionne. Lorsque $a \neq 1$, la méthode du produit AC étend cette même recherche.

La factorisation est rapide, mais elle n’est pratique que lorsque les racines sont rationnelles. Un test utile : avec des coefficients entiers, l’expression se factorise dans les entiers exactement lorsque le discriminant $b^2 - 4ac$ est un carré parfait. Pour $6x^2 + x - 2$, il vaut $1 + 48 = 49 = 7^2$. Vous trouverez davantage d’entraînement dans le guide pour factoriser des polynômes.

Méthode 2 : la forme canonique

Passer par la forme canonique consiste à réécrire le membre de gauche comme un carré parfait plus une constante. Prenons $x^2 + 6x - 7 = 0$. Faites passer la constante dans l’autre membre, puis ajoutez $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ aux deux membres :

Ainsi $x = 1$ ou $x = -7$. Les mêmes étapes donnent la forme canonique $y = (x + 3)^2 - 16$, qui place le sommet de la parabole en $(-3, -16)$. La méthode complète, y compris le cas $a \neq 1$, se trouve dans notre guide sur la forme canonique.

Méthode 3 : le discriminant et la formule des racines

Appliquer la forme canonique à l’équation générale $ax^2 + bx + c = 0$ donne une formule valable pour n’importe quelle équation du second degré :

Gardez tout le numérateur au-dessus de $2a$. Écrire $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ est l’une des erreurs les plus fréquentes sur ce chapitre.

Interpréter le discriminant

L’expression sous la racine carrée, $\Delta = b^2 - 4ac$, annonce le type de réponse avant même la fin du calcul :

• $\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes ; la parabole coupe l’axe des abscisses deux fois.
• $\Delta = 0$ : une racine double ; le sommet touche l’axe des abscisses. Exemple : $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ a pour seule racine $x = 3$.
• $\Delta < 0$ : aucune racine réelle, mais deux racines complexes conjuguées. Exemple : $x^2 + 2x + 5 = 0$ a $\Delta = 4 - 20 = -16$, donc $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Un problème concret : la hauteur d’un projectile

Les équations du second degré modélisent tout ce qui monte et redescend avec une accélération constante. Supposons que la hauteur d’une balle, en mètres, au bout de $t$ secondes soit $h = -5t^2 + 20t + 25$ (en prenant $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

Écarter une racine qui n’a pas de sens dans le contexte fait partie de la réponse ; ce n’est pas un détail.

Quelle méthode choisir ?

1. Si $b = 0$ ou $c = 0$, utilisez les cas rapides ci-dessus.
2. Essayez de factoriser si les coefficients sont de petits entiers et que le discriminant est un carré parfait.
3. Passez par la forme canonique lorsque vous avez aussi besoin du sommet.
4. Utilisez le discriminant dans tous les autres cas ; il ne fait jamais défaut.

Quelle que soit la méthode, vérifiez les racines avec les relations entre coefficients et racines : leur somme doit valoir $-\frac{b}{a}$ et leur produit $\frac{c}{a}$. Pour $6x^2 + x - 2 = 0$, les racines $\frac{1}{2}$ et $-\frac{2}{3}$ ont pour somme $-\frac{1}{6}$ et pour produit $-\frac{1}{3}$, soit exactement $-\frac{b}{a}$ et $\frac{c}{a}$.

Erreurs fréquentes

• Résoudre $x^2 = 3x + 10$ sans avoir d’abord ramené tous les termes dans un même membre.
• Ne prendre que la racine carrée positive, si bien que $x^2 = 49$ perd $x = -7$.
• Mal élever au carré un $b$ négatif : si $b = -3$, alors $b^2 = 9$, et non $-9$. Utilisez des parenthèses en remplaçant.
• Ne diviser par $2a$ qu’une partie du numérateur.
• Égaler chaque facteur à la mauvaise valeur : dans $(x - 5)(x + 2) = 0$, les racines sont $5$ et $-2$, de signe opposé aux nombres des parenthèses.

Comparez votre démarche avec la calculatrice d’équations du second degré et tracez la parabole avec la calculatrice graphique pour voir les racines comme des points d’intersection avec l’axe des abscisses.

Choisir la méthode en pratique

Les élèves demandent souvent quelle est la bonne méthode. Toutes les méthodes correctes donnent les mêmes racines : la vraie question est donc de savoir laquelle est la plus rapide et la moins sujette aux erreurs pour l’équation que vous avez sous les yeux. Une routine de décision rapide fonctionne bien. D’abord, cherchez un terme manquant : s’il n’y a pas de terme constant, mettez $x$ en facteur ; s’il n’y a pas de terme en $x$, isolez $x^2$ et prenez les racines carrées. Ensuite, accordez-vous une quinzaine de secondes pour chercher des facteurs entiers. Enfin, si rien n’apparaît, passez directement au discriminant au lieu d’essayer d’autres paires de facteurs.

La forme canonique est le meilleur choix lorsque l’exercice demande aussi le sommet, lorsque le coefficient de $x$ est pair et que le coefficient dominant vaut 1, ou lorsque l’énoncé l’impose. La représentation graphique est excellente pour estimer les racines et contrôler le nombre de solutions réelles, mais une lecture graphique reste approchée : servez-vous-en comme vérification et non comme réponse finale, sauf si les racines sont manifestement entières.

Dans un examen chronométré, calculez d’abord le discriminant. S’il est un carré parfait, l’équation se factorise dans les entiers ou les rationnels ; s’il est négatif, vous savez aussitôt qu’il n’y a pas de racine réelle.

Vérifier les racines

La substitution est la vérification la plus fiable : remplacez chaque racine dans l’équation de départ et contrôlez que le membre de gauche vaut zéro. Avec des racines irrationnelles, c’est fastidieux à la main ; utilisez plutôt la somme et le produit des racines. Pour $2x^2 + 4x - 3 = 0$, les racines $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ ont pour somme $-2$, égale à $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$, et pour produit $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$, égal à $\frac{c}{a}$. Les deux concordent : les racines sont justes.

Vérifiez aussi que la réponse a du sens dans le contexte. Dans l’exemple du projectile, l’une des racines de l’équation était négative, et un temps négatif, antérieur au lancer, n’a pas de signification physique : seule la racine positive répond à la question. Dans les problèmes concrets portant sur des longueurs, des prix ou des quantités, on écarte souvent une racine pour la même raison, et il vaut la peine d’écrire une phrase qui explique pourquoi.

Vous pouvez comparer chaque étape avec la calculatrice d’équations du second degré, qui affiche le discriminant, les racines exactes et le sommet.

Questions fréquentes