Calculatrice de matrices

À propos de la calculatrice de matrices

Les matrices rangent des nombres en lignes et en colonnes ; elles sont le langage de l’algèbre linéaire, de l’informatique graphique, des modèles économiques, de la statistique et de l’apprentissage automatique. Les opérations elles-mêmes sont simples, mais elles enchaînent beaucoup de petites multiplications et additions, et une seule erreur sur un coefficient fausse toute la réponse.

Cette calculatrice effectue neuf opérations matricielles : produit, somme, différence, produit par un scalaire, puissances entières, transposée, forme échelonnée réduite, rang et trace. Les coefficients peuvent être des entiers, des décimaux ou des fractions, et tous les calculs sont exacts : un résultat comme $\frac32$ s’affiche sous forme de fraction et non de décimal arrondi. L’échelonnement liste chaque opération sur les lignes dans l’ordre.

Qu’est-ce qu’une matrice ?

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres à $m$ lignes et $n$ colonnes, appelé matrice $m \times n$ . Le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ se note $a_{ij}$ . Une matrice carrée a autant de lignes que de colonnes, et la matrice identité $I$ a des uns sur la diagonale principale et des zéros partout ailleurs.

Les matrices représentent des applications linéaires et des systèmes d’équations linéaires. Multiplier une matrice par un vecteur applique une transformation, comme une rotation ou une homothétie, et multiplier deux matrices compose deux transformations en une seule.

Comment utiliser la calculatrice de matrices

Choisissez une opération dans la liste.
Saisissez la matrice A avec des espaces entre les coefficients et des points-virgules entre les lignes, par exemple 1 2; 3 4.
Pour le produit, la somme et la différence, saisissez la matrice B dans le même format.
Pour le produit par un scalaire ou les puissances, saisissez le nombre $k$ .
Cliquez sur Calculer et suivez les étapes jusqu’au résultat.

Formules

Coefficient du produit matriciel

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Somme

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Transposée

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Trace d’une matrice

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Exemple corrigé: A × B (2×2)

L’exemple multiplie $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ par $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ . Chaque coefficient du produit est le produit scalaire d’une ligne de $A$ par une colonne de $B$ ; le coefficient en haut à gauche vaut $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

En répétant ce calcul pour les trois autres positions, on obtient $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ . Dans l’autre ordre, on trouve $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ , une matrice différente, ce qui montre que le produit matriciel n’est pas commutatif.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

Comment nous avons lu votre problème

Calculer exactement A × B.

Solution étape par étape

Lire la matrice A
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
Lire la matrice B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Chaque coefficient est le produit scalaire d’une ligne de A par une colonne de B
Le résultat est 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Résultat
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Formules utilisées

Produit matriciel
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A est 2×2 et B est 2×2, donc AB est 2×2. Le produit matriciel n’est pas commutatif : en général, BA est différent.

Vérification

Tous les calculs sont exacts (fractions, sans arrondi).

Explication détaillée

Quand les opérations sont-elles définies ?

La somme et la différence exigent des matrices exactement de même taille et se calculent coefficient par coefficient. Le produit $AB$ exige que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$ ; une matrice $m \times n$ multipliée par une matrice $n \times p$ donne un résultat $m \times p$ . Une matrice $2 \times 3$ ne peut pas multiplier une matrice $2 \times 2$ , et la calculatrice explique l’incompatibilité des tailles au lieu de renvoyer un code d’erreur.

Les puissances ne sont définies que pour les matrices carrées, car $A \cdot A$ exige des tailles compatibles. En élevant $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ à la puissance cinquième, on obtient $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ , dont les coefficients sont des nombres de Fibonacci.

Échelonnement et rang

La forme échelonnée réduite s’obtient avec trois opérations élémentaires sur les lignes : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul et ajouter à une ligne un multiple d’une autre. Le but est d’obtenir dans chaque ligne non nulle un pivot égal à 1, avec des zéros au-dessus et au-dessous. La forme échelonnée réduite est la méthode de référence pour résoudre des systèmes linéaires, trouver une base et étudier l’indépendance linéaire.

Le rang est le nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée réduite, qui est aussi le nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes. La matrice $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ se réduit à une forme comportant une ligne de zéros : son rang est donc 2, la troisième ligne étant une combinaison des deux premières.

Transposée et trace

La transposée est le symétrique d’une matrice par rapport à sa diagonale principale : les lignes deviennent des colonnes. Elle intervient dans les produits scalaires, dans la méthode des moindres carrés et dans la définition d’une matrice symétrique, égale à sa propre transposée. La trace additionne les coefficients diagonaux d’une matrice carrée ; elle est égale à la somme des valeurs propres, ce qui en fait une vérification rapide lorsqu’on les calcule.

Erreurs fréquentes

Multiplier les matrices coefficient par coefficient au lieu de lignes par colonnes.
Supposer que $AB = BA$ ; l’ordre des facteurs compte.
Essayer d’additionner des matrices de tailles différentes.
Se tromper sur la taille du produit ; une matrice $m \times n$ fois une matrice $n \times p$ donne $m \times p$ .
Modifier une ligne en la multipliant par zéro pendant l’échelonnement, ce qui fait perdre de l’information.

Conseils

Notez la taille à côté de chaque matrice avant de multiplier pour vérifier que le produit existe.
Utilisez des fractions plutôt que des décimaux arrondis pour un échelonnement exact.
Vérifiez un produit en recalculant un coefficient à la main.
Utilisez la calculatrice de déterminant pour savoir si une matrice carrée est inversible.
Utilisez la calculatrice de systèmes d’équations lorsque votre matrice provient d’un système linéaire.

Questions fréquentes

Comment saisir une matrice ?

Séparez les coefficients d’une ligne par des espaces ou des virgules, et les lignes par des points-virgules. Par exemple, 1 2; 3 4 est la matrice 2×2 de lignes (1, 2) et (3, 4).

Pourquoi le produit matriciel n’est-il pas commutatif ?

AB combine les lignes de A avec les colonnes de B, tandis que BA combine les lignes de B avec les colonnes de A. Ce sont des calculs différents : les résultats diffèrent en général, et il arrive même qu’un produit existe et pas l’autre.

Quand peut-on multiplier deux matrices ?

Lorsque le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Le produit a autant de lignes que la première et autant de colonnes que la seconde.

Qu’est-ce que la forme échelonnée réduite ?

Une forme où chaque ligne non nulle commence par un pivot égal à 1, où chaque pivot égal à 1 est à droite de celui de la ligne précédente et où tous les autres coefficients de la colonne d’un pivot égal à 1 sont nuls.

Que mesure le rang d’une matrice ?

Le nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes. Pour une matrice carrée, être de rang maximal signifie que la matrice est inversible et que le système linéaire associé a une solution unique.

Puis-je utiliser des fractions dans la matrice ?

Oui. Les coefficients comme 1/2 sont acceptés, et tous les résultats sont calculés avec des fractions exactes.

Qu’est-ce que la trace d’une matrice ?

La somme des coefficients de la diagonale principale d’une matrice carrée. Elle est aussi égale à la somme des valeurs propres de la matrice.

Essayez la calculatrice de matrices

Saisissez vos matrices, choisissez une opération et obtenez le résultat exact avec chaque étape expliquée.

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