Calculatrice de déterminant

À propos de la calculatrice de déterminant

Le déterminant résume une matrice carrée en un seul nombre qui répond à plusieurs questions importantes à la fois. La matrice est-elle inversible ? Le système linéaire qu’elle représente a-t-il une solution unique ? Par quel facteur la transformation multiplie-t-elle les aires ou les volumes, et change-t-elle l’orientation ? Tout cela se lit dans le déterminant.

Cette calculatrice obtient le déterminant de matrices carrées de toute taille raisonnable. Elle choisit la méthode d’un manuel : le produit en croix des diagonales pour les matrices $2 \times 2$ , le développement selon la première ligne pour les matrices $3 \times 3$ et l’élimination jusqu’à une forme triangulaire supérieure pour les $4 \times 4$ et au-delà. Les fractions et les décimaux sont convertis en fractions exactes : la réponse est donc exacte.

Qu’est-ce qu’un déterminant ?

Le déterminant est un nombre $\det(A)$ , aussi noté $|A|$ , défini pour toute matrice carrée. Pour une matrice $2 \times 2$ , il vaut $ad - bc$ . Pour les matrices plus grandes, on le définit par récurrence grâce au développement par cofacteurs ou, de façon équivalente, comme une somme signée sur toutes les permutations des colonnes.

Géométriquement, $|\det(A)|$ est le facteur par lequel l’application linéaire $A$ multiplie les aires en dimension deux ou les volumes en dimension trois. Un déterminant négatif signifie que l’application renverse l’orientation, comme une symétrie, et un déterminant nul signifie qu’elle écrase l’espace sur une dimension inférieure.

Comment utiliser la calculatrice de déterminant

Saisissez une matrice carrée avec des espaces entre les coefficients et des points-virgules entre les lignes, par exemple 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
Cliquez sur Calculer le déterminant.
Lisez la méthode utilisée pour la taille de votre matrice et chaque valeur intermédiaire.
Regardez si le déterminant est nul pour savoir si la matrice est inversible.

Formules

Déterminant 2×2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Développement par cofacteurs (première ligne)

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

Déterminant d’un produit

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

Matrice triangulaire

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

Exemple corrigé: Matrice 3×3

L’exemple calcule le déterminant de la matrice $3 \times 3$ de lignes $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ et $(1, 4, 5)$ en développant selon la première ligne. Chaque coefficient de la première ligne est multiplié par le mineur $2 \times 2$ obtenu en supprimant sa ligne et sa colonne, avec les signes $+$ , $-$ , $+$ .

Les mineurs valent 4, 11 et 8 : le déterminant est donc $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . Une valeur non nulle signifie que cette matrice est inversible.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\det A = 49

Comment nous avons lu votre problème

Calculer le déterminant d’une matrice 3×3.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

Solution étape par étape

Lire la matrice 3×3
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
Développer selon la première ligne (développement par cofacteurs)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
Calculer chaque mineur 2×2
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
Combiner avec les signes alternés + − +
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

Formules utilisées

Déterminant 2×2
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Développement par cofacteurs
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

Le déterminant vaut 49, qui est non nul : la matrice est donc inversible et ses lignes sont linéairement indépendantes.

Vérification

Calculé de façon exacte avec des fractions ; le pivot de Gauss donne la même valeur 49.

Explication détaillée

Développement par cofacteurs

Le mineur $M_{ij}$ est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ . Le cofacteur lui ajoute le signe $(-1)^{i+j}$ , qui suit un motif en damier commençant par $+$ en haut à gauche. Développer selon n’importe quelle ligne ou colonne donne le même résultat : à la main, mieux vaut choisir une ligne ou une colonne contenant des zéros.

Le développement par cofacteurs est idéal pour les matrices $3 \times 3$ , mais il grossit très vite : un développement $4 \times 4$ demande quatre déterminants $3 \times 3$ , et un $10 \times 10$ demanderait des millions de termes. C’est pourquoi la calculatrice change de méthode pour les grandes matrices.

Réduction à une forme triangulaire par le pivot de Gauss

Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant, échanger deux lignes change son signe et multiplier une ligne par un nombre multiplie le déterminant par ce même nombre. Grâce à ces règles, la calculatrice annule les coefficients situés sous chaque pivot jusqu’à obtenir une matrice triangulaire supérieure, puis multiplie les coefficients diagonaux. Pour la matrice $4 \times 4$ de lignes $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ et $(0, 1, 0, 2)$ , on obtient $-15$ .

Que signifie un déterminant nul ?

Un déterminant nul signifie que les lignes sont linéairement dépendantes : au moins une ligne est combinaison linéaire des autres. La matrice n’a pas d’inverse, et le système $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ n’a soit aucune solution, soit une infinité. La matrice de lignes $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ et $(7, 8, 9)$ est l’exemple classique ; son déterminant vaut 0 car la ligne du milieu est la moyenne des deux autres.

Les déterminants interviennent aussi dans les formules de Cramer pour résoudre de petits systèmes, dans le polynôme caractéristique $\det(A - \lambda I) = 0$ , dont les racines sont les valeurs propres, et dans la formule de changement de variables des intégrales multiples.

Erreurs fréquentes

Calculer $ad + bc$ ou $ab - cd$ au lieu de $ad - bc$ .
Oublier les signes alternés du développement par cofacteurs.
Utiliser un mauvais mineur en supprimant la mauvaise ligne ou la mauvaise colonne.
Oublier le changement de signe lors d’un échange de lignes pendant la réduction.
Essayer de calculer le déterminant d’une matrice non carrée.

Conseils

Développez selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.
Factorisez d’abord une ligne ; le déterminant est multiplié par ce même nombre.
Si deux lignes sont égales ou proportionnelles, le déterminant vaut 0 sans autre calcul.
Utilisez $\det(A^{T}) = \det(A)$ pour développer selon une colonne quand c’est plus pratique.
Utilisez la calculatrice de matrice inverse lorsque le déterminant est non nul et que vous avez besoin de $A^{-1}$ .
Utilisez la calculatrice de valeurs propres, qui repose sur $\det(A - \lambda I)$ .

Questions fréquentes

Comment calculer le déterminant d’une matrice 2×2 ?

Multipliez les coefficients de la diagonale principale et soustrayez le produit de l’autre diagonale : pour les lignes (a, b) et (c, d), le déterminant vaut ad − bc.

Comment calculer le déterminant d’une matrice 3×3 ?

Développez selon une ligne : multipliez chaque coefficient par son mineur 2×2, appliquez les signes +, −, + et additionnez. La calculatrice affiche chaque mineur et la somme finale.

Quelle méthode est utilisée pour les matrices 4×4 et plus ?

La réduction à une forme triangulaire supérieure par le pivot de Gauss, suivie du produit des coefficients diagonaux. Pour les grandes matrices, c’est bien plus rapide que le développement par cofacteurs.

Que signifie un déterminant égal à zéro ?

Que la matrice n’est pas inversible : ses lignes sont linéairement dépendantes, elle n’a pas d’inverse et le système linéaire correspondant n’a pas de solution unique.

Un déterminant peut-il être négatif ?

Oui. Un déterminant négatif signifie que la transformation renverse l’orientation. Sa valeur absolue reste le facteur d’échelle des aires ou des volumes.

Puis-je calculer le déterminant d’une matrice non carrée ?

Non. Le déterminant n’est défini que pour les matrices carrées, et la calculatrice indique la taille d’une saisie non carrée.

Les fractions sont-elles acceptées ?

Oui. Les fractions et les décimaux sont convertis en fractions exactes : le déterminant est donc exact.

Essayez la calculatrice de déterminant

Saisissez une matrice carrée et obtenez son déterminant exact avec la méthode adaptée et chaque étape expliquée.

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