Comment calculer le déterminant d’une matrice

Ce que mesure le déterminant

Toute matrice carrée possède un déterminant, noté $\det(A)$ ou $|A|$. Les matrices non carrées n’en ont pas. Le déterminant répond immédiatement à une question clé : une matrice carrée est inversible exactement quand son déterminant est non nul. Un déterminant nul signifie que la matrice écrase l’espace sur une dimension inférieure, si bien qu’une partie de l’information est perdue sans retour possible.

Géométriquement, la valeur absolue du déterminant est le facteur par lequel la matrice multiplie les aires en dimension deux, ou les volumes en dimension trois. Son signe indique si la transformation conserve ou inverse l’orientation, comme un miroir qui échange la gauche et la droite.

La formule pour les matrices 2 par 2

Pour une matrice $2 \times 2$, multipliez les coefficients de la diagonale principale et retranchez le produit de ceux de l’autre diagonale :

Ici, l’interprétation en termes d’aire se voit facilement. Les colonnes $(3, 1)$ et $(1, 2)$ de la matrice $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ engendrent un parallélogramme dont l’aire vaut $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$, c’est-à-dire le déterminant.

Développement par cofacteurs pour les matrices 3 par 3

Pour les matrices plus grandes, le développement par cofacteurs, aussi appelé développement de Laplace, ramène le problème à des déterminants plus petits. Choisissez une ligne, par exemple la première. Pour chaque coefficient, supprimez sa ligne et sa colonne pour obtenir une matrice plus petite, dont le déterminant s’appelle un mineur, et multipliez le coefficient par ce mineur. Combinez ensuite les résultats selon le damier de signes $+, -, +$ :

Vous pouvez développer selon n’importe quelle ligne ou colonne, le résultat est le même. Choisissez celle qui contient le plus de zéros, car chaque zéro supprime un terme entier.

La règle de Sarrus, un raccourci réservé au 3 par 3

Pour les matrices $3 \times 3$, il existe un raccourci facile à retenir. Additionnez les trois produits qui descendent vers la droite, en reprenant par l’autre bord, et retranchez les trois produits qui descendent vers la gauche. Pour la matrice de l’exemple 2, les produits descendants sont $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$ et $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$, dont la somme vaut 11. Les produits montants sont $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ et $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$, dont la somme vaut $-38$. Le déterminant vaut $11 - (-38) = 49$, comme avec la méthode des cofacteurs.

Attention : la règle de Sarrus ne fonctionne qu’avec les matrices $3 \times 3$. Appliquer le même schéma de diagonales à une matrice $4 \times 4$ donne un résultat faux, une erreur fréquente qui coûte cher aux examens.

Le pivot de Gauss pour les matrices plus grandes

Le développement par cofacteurs devient vite lent : une matrice $10 \times 10$ demanderait des millions de produits. Le pivot de Gauss est bien plus efficace. Le déterminant d’une matrice triangulaire est simplement le produit de ses coefficients diagonaux : on ramène donc la matrice à une forme triangulaire en tenant compte de l’effet de chaque opération élémentaire sur le déterminant :

• Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne ne change pas le déterminant.
• Échanger deux lignes multiplie le déterminant par $-1$.
• Multiplier une ligne par un nombre $k$ multiplie le déterminant par $k$.

Des propriétés qui font gagner du temps

• Une matrice ayant une ligne ou une colonne de zéros a pour déterminant 0.
• Une matrice ayant deux lignes égales, ou une ligne multiple d’une autre, a pour déterminant 0.
• Pour une matrice $n \times n$, $\det(kA) = k^n\det(A)$, et non $k\det(A)$.
• Le déterminant de la matrice identité vaut 1.

Ces règles permettent de trouver de nombreux déterminants sans aucun calcul. Si vous remarquez qu’une ligne est le double d’une autre, le déterminant est nul et la matrice n’a pas d’inverse, ce que vous pouvez confirmer avec le guide sur l’inverse d’une matrice.

Les formules de Cramer : résoudre des systèmes avec des déterminants

Les déterminants permettent de résoudre directement de petits systèmes linéaires. Pour $2x + y = 5$ et $x - 3y = -1$, le déterminant des coefficients vaut $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. Remplacez la première colonne par le second membre pour obtenir $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$, puis la deuxième colonne pour obtenir $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$. Alors $x = \frac{D_x}{D} = 2$ et $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

Les formules de Cramer sont élégantes et pratiques pour les systèmes $2 \times 2$ et $3 \times 3$, mais peu efficaces pour les systèmes plus grands, où l’élimination est plus rapide. Si $D = 0$, le système n’a aucune solution ou en a une infinité. La calculatrice de déterminants affiche les étapes du développement par cofacteurs et du pivot de Gauss pour des matrices de toute taille, et la calculatrice de matrices se charge des calculs complémentaires.

Un exemple 4 par 4 : laissez travailler les zéros

Les grands déterminants deviennent maniables quand on exploite les zéros. Considérez la matrice de lignes $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$ et $(0, 0, 0, 4)$. La dernière ligne contient trois zéros : en développant selon elle, il ne reste qu’un terme, le coefficient 4, placé sur une position de signe plus, multiplié par le déterminant de la matrice $3 \times 3$ obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne.

Cette matrice plus petite a pour lignes $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$ et $(0, 0, 2)$. Sa dernière ligne contient aussi deux zéros, on développe donc à nouveau : le coefficient 2 multiplié par $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$ donne 2. Le déterminant complet vaut donc $4 \cdot 2 = 8$. Sans les zéros, le même calcul aurait demandé vingt-quatre produits de quatre nombres chacun.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier l’alternance des signes du développement par cofacteurs, surtout le signe moins en deuxième position de la première ligne.
• Utiliser la règle des diagonales de Sarrus sur une matrice $4 \times 4$ ou plus grande.
• Multiplier une ligne par un nombre pendant le pivot sans corriger le déterminant.
• Échanger deux lignes et oublier de changer le signe.
• Supposer que $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$, ce qui est faux en général ; seuls les produits se séparent proprement.

Une bonne habitude consiste à calculer un déterminant $3 \times 3$ de deux façons, par exemple en développant selon une ligne puis selon une colonne contenant un zéro. Si les résultats concordent, vous pouvez être sûr de vous ; s’ils diffèrent, l’écart vous mène à une erreur de signe.

Les déterminants en dimension trois

En dimension trois, la valeur absolue d’un déterminant $3 \times 3$ est le volume du parallélépipède, une boîte inclinée, dont les arêtes sont les trois vecteurs colonnes. La matrice de l’exemple 2 transforme donc un cube unité en un solide de volume 49. La même idée fournit un test rapide pour savoir si trois vecteurs sont coplanaires : ils le sont exactement quand le déterminant est nul, car une boîte plate n’a pas de volume. Le produit vectoriel est étroitement lié, puisqu’on le calcule souvent comme un déterminant symbolique $3 \times 3$.

Questions fréquentes