Le produit scalaire expliqué

La formule avec les coordonnées

Le produit scalaire prend deux vecteurs ayant le même nombre de coordonnées et renvoie un seul nombre, et non un vecteur. Pour le calculer, multipliez les coordonnées correspondantes et additionnez les résultats :

La formule fonctionne en toute dimension, c’est pourquoi le produit scalaire est si courant en science des données, où les vecteurs peuvent avoir des milliers de coordonnées. C’est aussi la brique de base du produit matriciel : chaque coefficient d’un produit de matrices est le produit scalaire d’une ligne par une colonne.

La formule géométrique et l’angle entre deux vecteurs

Le produit scalaire admet une seconde description, géométrique. Si $\theta$ est l’angle formé par les deux vecteurs tracés depuis un même point, alors :

Ici, $|\mathbf{a}|$ est la longueur, ou norme, de $\mathbf{a}$. Les deux formules concordent toujours, ce qui découle de la loi des cosinus appliquée au triangle formé par $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ et $\mathbf{a} - \mathbf{b}$. En les combinant, on obtient un moyen pratique de trouver l’angle entre deux vecteurs quelconques :

Ce qu’indique le signe

Comme les longueurs sont positives, le signe du produit scalaire est celui de $\cos\theta$. On peut donc interpréter rapidement l’angle sans le calculer :

• Positif : l’angle est aigu, inférieur à 90 degrés, et les vecteurs pointent à peu près dans le même sens.
• Nul : les vecteurs sont perpendiculaires, on dit aussi orthogonaux.
• Négatif : l’angle est obtus, supérieur à 90 degrés, et les vecteurs pointent à peu près dans des sens opposés.

Le cas nul est le plus utile. Par exemple, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$ : ces vecteurs sont donc orthogonaux. En dimension deux, échanger les coordonnées d’un vecteur et changer le signe de l’une d’elles donne toujours un vecteur orthogonal, une astuce pratique pour trouver un vecteur normal à une droite.

Normes et vecteurs unitaires

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme, car l’angle est nul et $\cos 0 = 1$ :

Ainsi, la norme de $(2, -1, 3)$ vaut $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. En divisant un vecteur par sa norme, on obtient un vecteur unitaire, de longueur 1 et de même direction. Les vecteurs unitaires sont pratiques, car le produit scalaire de deux d’entre eux est simplement le cosinus de l’angle qu’ils forment.

Projeter un vecteur sur un autre

Le projeté orthogonal de $\mathbf{a}$ sur $\mathbf{b}$ est l’ombre que $\mathbf{a}$ projette sur la droite portant $\mathbf{b}$ quand la lumière arrive perpendiculairement à cette droite. Le produit scalaire le donne directement :

Le nombre $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$, qui vaut ici environ 4,427, est la projection scalaire de $\mathbf{a}$ sur $\mathbf{b}$ : la longueur algébrique de l’ombre. Les projections décomposent un vecteur en une partie le long d’une direction et une partie orthogonale à celle-ci, une étape utilisée partout, de la physique à la méthode des moindres carrés en statistique.

Le travail d’une force

En physique, seule la partie d’une force qui agit dans la direction du mouvement travaille. Le travail d’une force constante $\mathbf{F}$ lors d’un déplacement $\mathbf{d}$ est donc un produit scalaire : $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Propriétés et applications

• Symétrie : $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Distributivité : $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Les scalaires se factorisent : $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$, qui garantit que la formule du cosinus donne toujours une valeur entre $-1$ et 1.

Au-delà de la géométrie, le produit scalaire est au cœur de la similarité cosinus, que les moteurs de recherche et les systèmes de recommandation utilisent pour mesurer la ressemblance entre deux documents ou deux utilisateurs ; de l’éclairage en images de synthèse 3D, où la luminosité dépend du produit scalaire du vecteur normal à la surface par la direction de la lumière ; et des réseaux de neurones, dont les neurones calculent des produits scalaires des entrées par les poids. La calculatrice de produit scalaire calcule le produit, l’angle et les projections étape par étape, et la calculatrice de produit vectoriel traite l’autre façon de multiplier des vecteurs, présentée dans notre guide du produit vectoriel.

Un problème de géométrie classique

Le produit scalaire résout certains problèmes de géométrie avec une rapidité surprenante. Quel angle la grande diagonale d’un cube forme-t-elle avec l’une de ses arêtes ? Placez le cube avec un sommet à l’origine et des arêtes de longueur 1 le long des axes. La diagonale va de l’origine à $(1, 1, 1)$, et une arête va jusqu’à $(1, 0, 0)$.

Leur produit scalaire vaut 1, la diagonale mesure $\sqrt{3}$ et l’arête mesure 1, donc $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ et $\theta \approx 54.7^\circ$. En géométrie classique, il faudrait construire un triangle rectangle à l’intérieur du cube et raisonner soigneusement sur ses côtés ; avec les vecteurs, trois lignes suffisent. La même démarche permet de trouver l’angle entre deux droites, deux plans ou deux liaisons chimiques quelconques dès que l’on peut décrire leurs directions par des vecteurs.

Erreurs fréquentes

• Écrire le résultat sous forme de vecteur, par exemple $(8, 0, -6)$, au lieu de la somme 2.
• Oublier les racines carrées en calculant les normes pour la formule de l’angle.
• Diviser par $|\mathbf{b}|$ au lieu de $|\mathbf{b}|^2$ dans la formule du projeté orthogonal.
• Mélanger degrés et radians en évaluant $\cos\theta$ ou sa réciproque sur la calculatrice.
• Conclure que deux vecteurs sont orthogonaux alors que l’un d’eux est en fait le vecteur nul.

Le signe est un bon test de vraisemblance. Si sur votre figure deux vecteurs pointent clairement dans des directions voisines, le produit scalaire doit être positif ; si votre calcul donne un nombre négatif, cherchez une erreur de signe dans une coordonnée.

Exercices

Faites-les, puis comparez avec les solutions qui suivent. D’abord, calculez $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$ ; les produits valent 4, $-3$ et $-10$, donc le résultat est $-9$, et la valeur négative indique que l’angle est obtus. Ensuite, trouvez $k$ pour que $(2, k)$ soit orthogonal à $(3, -6)$ : en posant $6 - 6k = 0$, on obtient $k = 1$. Enfin, trouvez l’angle entre $(1, 0)$ et $(1, 1)$ : le produit scalaire vaut 1 et les normes valent 1 et $\sqrt{2}$, donc l’angle mesure 45 degrés, comme le confirme un croquis rapide.

Un peu d’histoire

La notation vectorielle est plus récente que presque toutes les mathématiques scolaires. Dans les années 1840, William Rowan Hamilton inventa les quaternions, des nombres ayant une partie réelle et trois parties imaginaires, et le produit de deux quaternions purs contenait à la fois une partie scalaire et une partie vectorielle. Dans les années 1880, Josiah Willard Gibbs et Oliver Heaviside séparèrent ces deux morceaux en produit scalaire et produit vectoriel, offrant aux physiciens l’algèbre vectorielle plus simple que l’on enseigne encore aujourd’hui. Gibbs choisit le point centré comme symbole, d’où le nom anglais dot product sous lequel cette opération est aussi connue.

Questions fréquentes