Calculatrice de produit vectoriel

À propos de la calculatrice de produit vectoriel

Le produit vectoriel prend deux vecteurs de l’espace et produit un troisième vecteur orthogonal aux deux. C’est la méthode habituelle pour trouver un vecteur normal à un plan, calculer l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle en 3D et décrire des grandeurs de rotation en physique, comme le moment d’une force et le moment cinétique.

Cette calculatrice obtient $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ pour des vecteurs de l’espace avec la disposition bien connue en déterminant, où $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ et $\mathbf{k}$ occupent la première ligne. Elle affiche chaque composante séparément, y compris le changement de signe du terme central, source de la plupart des erreurs, puis donne la norme et confirme que le résultat est orthogonal aux deux vecteurs donnés.

Qu’est-ce que le produit vectoriel ?

Pour les vecteurs $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ et $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ , le produit vectoriel est le vecteur $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ . Il est défini pour les vecteurs de l’espace à trois dimensions, et le résultat est encore un vecteur de l’espace.

Sa direction est orthogonale à $\mathbf{u}$ et à $\mathbf{v}$ , et son sens est donné par la règle de la main droite : enroulez les doigts de la main droite de $\mathbf{u}$ vers $\mathbf{v}$ , et le pouce indique le sens de $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . Sa norme vaut $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ , l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs.

Comment utiliser la calculatrice de produit vectoriel

Saisissez les trois composantes du premier vecteur séparées par des virgules, par exemple 1, 2, 3.
Saisissez les trois composantes du second vecteur.
Cliquez sur Calculer.
Lisez les composantes selon i, j et k et le vecteur obtenu.
Utilisez l’étape de la norme pour les aires, et la vérification d’orthogonalité pour confirmer le résultat.

Formules

Écriture sous forme de déterminant

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Norme

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Antisymétrie

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Aire du triangle

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Exemple corrigé: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

L’exemple calcule le produit vectoriel de $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ par $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ . La composante selon $\mathbf{i}$ vaut $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ ; la composante selon $\mathbf{j}$ vaut $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ ; la composante selon $\mathbf{k}$ vaut $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

Ainsi, $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ , de norme $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ , l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs. Son produit scalaire avec chacun des vecteurs donnés vaut 0, ce qui confirme qu’il leur est orthogonal.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

Comment nous avons lu votre problème

Produit vectoriel de deux vecteurs 3D.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Solution étape par étape

Écrire le déterminant avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
Composante i
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
Composante j (attention au signe moins du développement)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
Composante k
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Norme = aire du parallélogramme engendré par u et v
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Vérifier l’orthogonalité
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Formules utilisées

Produit vectoriel
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Norme
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

Le résultat est orthogonal à u et à v ; sa norme 3√6 ≈ 7.348469228 est l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent (le triangle a une aire moitié moindre).

Vérification

Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs donnés (les deux produits scalaires valent 0).

Explication détaillée

La méthode du déterminant

Écrire les vecteurs unitaires sur la première ligne d’un déterminant $3 \times 3$ et développer selon cette ligne est le moyen le plus simple de retenir la formule. Chaque composante est un déterminant $2 \times 2$ formé des colonnes qui ne correspondent pas à ce vecteur unitaire. Le terme central porte un signe moins issu du motif des cofacteurs $+, -, +$ ; c’est pourquoi la calculatrice le signale explicitement.

Le produit vectoriel est distributif par rapport à l’addition, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , et multiplier l’un des vecteurs par un scalaire multiplie le résultat. En revanche, il n’est pas associatif : $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ et $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ sont en général des vecteurs différents. Pour des vecteurs du plan comme $\langle 1, 2, 0 \rangle$ et $\langle 3, 4, 0 \rangle$ , le résultat $\langle 0, 0, -2 \rangle$ pointe droit vers le bas le long de l’axe $z$ , et sa norme 2 est l’aire du parallélogramme dans le plan.

Interprétation géométrique

La norme du produit vectoriel est égale à l’aire du parallélogramme de côtés $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ ; la moitié est donc l’aire du triangle qu’ils forment. Pour un triangle de sommets $P$ , $Q$ et $R$ , calculez le produit vectoriel de $\overrightarrow{PQ}$ par $\overrightarrow{PR}$ et divisez sa norme par deux.

Si les vecteurs sont colinéaires, le parallélogramme s’aplatit et le produit vectoriel est le vecteur nul. Pour $\langle 1, 2, 3 \rangle$ et $\langle 2, 4, 6 \rangle$ , la calculatrice renvoie $\langle 0, 0, 0 \rangle$ , ce qui fournit un test rapide de colinéarité.

Vecteurs normaux, plans et physique

Le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs d’un plan donne un vecteur normal au plan, et avec un point du plan vous pouvez écrire son équation $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ . En informatique graphique, le même calcul fournit les normales des surfaces pour l’éclairage.

En physique, le moment d’une force vaut $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ et la force magnétique sur une charge en mouvement vaut $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . Dans les deux cas, le résultat est orthogonal au plan des deux vecteurs, comme le prévoit la règle de la main droite.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe moins de la composante selon $\mathbf{j}$ .
Supposer que $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ ; inverser l’ordre inverse le sens.
Appliquer le produit vectoriel à des vecteurs du plan sans leur ajouter d’abord une troisième composante nulle.
Confondre le produit vectoriel avec le produit scalaire, qui donne un nombre.
Oublier de diviser la norme par deux pour obtenir l’aire d’un triangle.

Conseils

Vérifiez votre réponse en calculant son produit scalaire avec chacun des vecteurs donnés ; les deux résultats doivent valoir 0.
Retenez $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ et $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ comme moyen mnémotechnique.
Pour des vecteurs 2D, saisissez 0 comme troisième composante ; la réponse sera alors dirigée selon l’axe $z$ .
Utilisez la calculatrice de produit scalaire pour trouver l’angle entre les vecteurs.
Utilisez la calculatrice de déterminant pour obtenir le produit mixte $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ sous forme de déterminant $3 \times 3$ .
Dessinez les deux vecteurs et appliquez la règle de la main droite pour prévoir le signe de chaque composante avant de calculer.

Questions fréquentes

Comment calculer le produit vectoriel ?

Placez i, j et k sur la première ligne d’un déterminant 3×3 et les deux vecteurs sur les lignes suivantes, puis développez selon la première ligne. N’oubliez pas le signe moins de la composante selon j.

Que représente la norme du produit vectoriel ?

L’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs. La moitié est l’aire du triangle qu’ils forment.

Le produit vectoriel est-il commutatif ?

Non. Changer l’ordre inverse le sens : v × u = −(u × v).

Puis-je calculer le produit vectoriel de vecteurs 2D ?

Pas directement ; le produit vectoriel est défini pour trois composantes. Ajoutez 0 comme troisième composante à chaque vecteur, et le résultat sera dirigé selon l’axe z.

Que signifie un produit vectoriel nul ?

Que les vecteurs sont colinéaires (ou que l’un d’eux est le vecteur nul) : ils n’engendrent donc aucune aire.

Comment vérifier un produit vectoriel ?

Calculez son produit scalaire avec chacun des vecteurs de départ. Les deux résultats doivent être nuls, car le produit vectoriel est orthogonal aux deux vecteurs donnés. La calculatrice fait cette vérification pour vous.

Comment trouver un vecteur normal à un plan ?

Prenez deux vecteurs non colinéaires contenus dans le plan et calculez leur produit vectoriel. Le résultat est orthogonal au plan.

Essayez la calculatrice de produit vectoriel

Saisissez deux vecteurs 3D et obtenez leur produit vectoriel, sa norme et la vérification d’orthogonalité, étape par étape.

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