Calculatrice de valeurs propres et vecteurs propres avec étapes

À propos de la calculatrice de valeurs propres

Les valeurs propres et les vecteurs propres décrivent les directions qu’une matrice laisse invariantes et de combien elle les étire. On les retrouve derrière l’algorithme PageRank d’origine de Google, les modes de vibration des ponts et des molécules, l’analyse en composantes principales en statistique, la stabilité des équations différentielles et les niveaux d’énergie en mécanique quantique. Dans un cours d’algèbre linéaire, c’est souvent le chapitre où tout ce qui précède — déterminants, pivot de Gauss et noyaux — se rejoint.

Cette calculatrice suit la méthode des manuels. Elle forme le polynôme caractéristique $\det(\lambda I - A)$ , trouve ses racines de façon exacte grâce au théorème des racines rationnelles, à la formule du discriminant et à la division de polynômes, puis résout $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ pour chaque valeur propre, de façon à obtenir des vecteurs propres à composantes entières simples chaque fois que c’est possible.

Les valeurs propres irrationnelles restent sous forme exacte avec des radicaux, les valeurs complexes sont présentées en couples conjugués et les valeurs répétées sont accompagnées de leur multiplicité algébrique et de leur multiplicité géométrique, pour que vous voyiez d’un coup d’œil si la matrice est diagonalisable. Les matrices de 2×2 à 4×4 sont acceptées, ce qui couvre la quasi-totalité des exercices et des examens.

Que sont les valeurs propres et les vecteurs propres ?

Un vecteur non nul $\mathbf v$ est un vecteur propre d’une matrice carrée $A$ si le multiplier par $A$ ne fait que le dilater : $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ pour un certain nombre $\lambda$ . Ce nombre est la valeur propre associée à $\mathbf v$ . La plupart des vecteurs changent de direction quand on les multiplie par une matrice ; les vecteurs propres sont ceux, particuliers, qui restent sur leur propre droite passant par l’origine.

Réécrire la définition sous la forme $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ montre comment les trouver. Une solution non nulle n’existe que si $A - \lambda I$ n’est pas inversible, c’est-à-dire si son déterminant est nul. L’équation $\det(A - \lambda I) = 0$ s’appelle l’équation caractéristique ; pour une matrice $n \times n$ , c’est un polynôme de degré $n$ : il y a donc exactement $n$ valeurs propres comptées avec multiplicité, dont certaines peuvent être complexes.

Chaque valeur propre possède une infinité de vecteurs propres, car tout multiple non nul d’un vecteur propre est encore un vecteur propre. C’est pourquoi les réponses sont données sous la forme d’un vecteur représentatif, ou d’une base lorsqu’il y a plusieurs directions indépendantes, et votre manuel peut afficher un autre multiple du même vecteur.

Comment utiliser la calculatrice de valeurs propres

Écrivez la matrice avec une ligne de la matrice par ligne de texte et les coefficients séparés par des espaces, par exemple 4 1 sur la première ligne et 2 3 sur la seconde.
Vous pouvez aussi écrire toute la matrice sur une seule ligne avec des points-virgules entre les lignes, comme 4 1; 2 3.
Les coefficients peuvent être des entiers, des décimaux, des fractions ou des nombres négatifs. La matrice doit être carrée, de 2×2 à 4×4.
Cliquez sur Calculer les valeurs propres pour voir le polynôme caractéristique, ses racines et le calcul des vecteurs propres de chaque valeur propre.
Consultez les multiplicités indiquées pour les valeurs propres répétées si vous devez savoir si la matrice est diagonalisable.

Formules

Équation aux valeurs propres

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

Équation caractéristique

\det(\lambda I - A) = 0

Raccourci pour les 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

Trace et déterminant

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

Diagonalisation d’une matrice

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

Exemple corrigé: 2×2, rationnelles

L’exemple résolu est calculé en direct pour $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ . La trace vaut 7 et le déterminant $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ : le polynôme caractéristique est donc $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ et les valeurs propres sont 5 et 2.

Pour $\lambda = 5$ , la matrice $A - 5I$ a pour lignes $(-1, 1)$ et $(2, -2)$ , et son noyau est engendré par $\langle 1, 1 \rangle$ . Pour $\lambda = 2$ , $A - 2I$ a pour lignes $(2, 1)$ et $(2, 1)$ , ce qui donne $\langle -1, 2 \rangle$ . La vérification est rapide : $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ , exactement cinq fois le vecteur.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\lambda = 5,\ 2

Comment nous avons lu votre problème

Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

Solution étape par étape

Écrire l’équation caractéristique
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
Pour une matrice 2×2, elle s’écrit λ² − (trace)λ + det
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
Polynôme caractéristique
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
Vecteurs propres pour λ = 5 : résoudre (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
Vecteurs propres pour λ = 2 : résoudre (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

Formules utilisées

Équation caractéristique
$\det(\lambda I - A) = 0$
Équation aux vecteurs propres
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Vecteurs propres : λ = 5 : ⟨1, 1⟩ ; λ = 2 : ⟨-1, 2⟩.

Vérification

La somme des valeurs propres ≈ 7 est égale à la trace 7.
Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 10.

Explication détaillée

Étape 1 : le polynôme caractéristique

Pour une matrice 2×2, le polynôme s’écrit directement $\lambda^2 - (\text{trace})\lambda + \det$ . Pour les matrices plus grandes, la calculatrice développe $\det(\lambda I - A)$ par cofacteurs. La matrice symétrique 3×3 de lignes $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ et $(0, 4, 9)$ donne $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ .

Deux vérifications rapides détectent la plupart des erreurs de calcul. Le coefficient de $\lambda^{n-1}$ est l’opposé de la trace, ici $-(2 + 3 + 9) = -14$ , et le terme constant vaut $(-1)^n \det A$ , ici $-22$ car le déterminant vaut 22.

Étape 2 : trouver les racines

Avec des coefficients entiers, toute valeur propre rationnelle divise le terme constant : la calculatrice essaie donc les diviseurs de 22 et trouve $\lambda = 1$ , puis divise le polynôme par $(\lambda - 1)$ et factorise le polynôme du second degré restant. Les valeurs propres sont 11, 2 et 1, et leur somme, 14, est bien égale à la trace.

Lorsque le facteur du second degré restant ne se factorise pas sur les rationnels, la formule du discriminant donne des radicaux exacts. Pour $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ , le polynôme $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ a pour racines $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ , environ 5.372 et $-0.372$ . Si le discriminant est négatif, les racines sont complexes conjuguées ; la matrice de rotation $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ donne $\lambda^2 + 1 = 0$ , donc $\lambda = \pm i$ , ce qui traduit le fait qu’une rotation de 90° ne laisse aucune direction réelle invariante.

Étape 3 : les vecteurs propres à partir du noyau

Pour chaque valeur propre, remplacez-la dans $A - \lambda I$ et résolvez le système homogène par le pivot de Gauss. Comme la matrice n’est pas inversible, au moins une ligne se réduit à des zéros et il reste une inconnue libre. En donnant à l’inconnue libre une valeur commode et en remontant les calculs, on obtient le vecteur propre, que la calculatrice ramène à de petits entiers.

Pour $\lambda = 11$ dans l’exemple 3×3, $A - 11I$ a pour lignes $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ et $(0, 4, -2)$ . La première ligne impose $v_1 = 0$ et les deux autres disent que $v_3 = 2v_2$ : on obtient $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . Les matrices symétriques comme celle-ci ont toujours des valeurs propres réelles et des vecteurs propres orthogonaux entre eux, ce que vous pouvez vérifier avec le produit scalaire.

Valeurs propres multiples et diagonalisation

Une valeur propre qui apparaît $k$ fois comme racine a une multiplicité algébrique $k$ . Le nombre de vecteurs propres indépendants qui lui sont associés est sa multiplicité géométrique, qui peut être plus petite. $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ et $2I$ ont toutes deux la valeur propre double 2, mais la première n’a qu’une direction propre, $\langle 1, 0 \rangle$ , tandis que la seconde en a deux, $\langle 1, 0 \rangle$ et $\langle 0, 1 \rangle$ .

Une matrice peut s’écrire $PDP^{-1}$ , avec les valeurs propres sur la diagonale de $D$ et les vecteurs propres en colonnes de $P$ , exactement lorsque la multiplicité géométrique de chaque valeur propre est égale à sa multiplicité algébrique. La diagonalisation facilite le calcul des puissances, puisque $A^k = PD^kP^{-1}$ , et c’est ainsi que les valeurs propres prédisent le comportement à long terme des modèles de population et des chaînes de Markov.

Raccourcis utiles

Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux : la matrice de lignes $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ et $(0, 0, 6)$ a donc pour valeurs propres 6, 4 et 1 sans aucun calcul. Une matrice est inversible exactement lorsque 0 n’est pas valeur propre, et les valeurs propres de $A^{-1}$ sont les inverses de celles de $A$ , avec les mêmes vecteurs propres.

Des modifications simples d’une matrice déplacent ses valeurs propres de façon prévisible. Ajouter $c$ fois l’identité ajoute $c$ à chaque valeur propre, multiplier la matrice par un scalaire multiplie chaque valeur propre par ce scalaire et l’élever à la puissance $k$ élève chaque valeur propre à la puissance $k$ , le tout sans changer les vecteurs propres. Une matrice et sa transposée ont les mêmes valeurs propres, mais en général pas les mêmes vecteurs propres. Ces propriétés permettent de vérifier des réponses et de prévoir des résultats avant tout calcul.

Erreurs fréquentes

Calculer $\det(A) - \lambda$ au lieu de $\det(A - \lambda I)$ ; il faut soustraire $\lambda$ à chaque coefficient diagonal.
Accepter le vecteur nul comme vecteur propre ; par définition, un vecteur propre est non nul.
Faire une erreur de calcul dans le polynôme et trouver ensuite un noyau réduit au vecteur nul.
Supposer que toute matrice a des valeurs propres réelles ; les rotations et beaucoup de matrices non symétriques en ont de complexes.
Croire qu’un vecteur propre est faux parce qu’il diffère de celui du manuel d’un facteur constant.
Conclure qu’une matrice est diagonalisable sans vérifier la multiplicité géométrique des valeurs propres multiples.

Conseils

Vérifiez que la somme des valeurs propres est égale à la trace et leur produit au déterminant.
Contrôlez chaque vecteur propre en calculant $A\mathbf v$ et en le comparant à $\lambda\mathbf v$ .
Lisez directement les valeurs propres sur la diagonale des matrices triangulaires.
Pour les matrices 3×3, développez le déterminant selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.
Utilisez la calculatrice de déterminant pour confirmer que $A - \lambda I$ n’est pas inversible pour chaque valeur propre.
Attendez-vous à des valeurs propres réelles et à des vecteurs propres orthogonaux dès que la matrice est symétrique.
Factorisez d’abord la matrice par un scalaire ; les valeurs propres sont simplement multipliées par ce facteur.

Questions fréquentes

Comment saisir une matrice dans la calculatrice de valeurs propres ?

Écrivez une ligne de la matrice par ligne de texte avec des espaces entre les coefficients, ou mettez toutes les lignes sur une seule ligne séparées par des points-virgules, comme 4 1; 2 3. Les fractions, les décimaux et les nombres négatifs sont acceptés.

Quelles tailles de matrice sont acceptées ?

Les matrices carrées de 2×2 à 4×4. Les valeurs propres ne sont définies que pour les matrices carrées : une matrice 3×2, par exemple, est refusée avec une explication.

La calculatrice trouve-t-elle les valeurs propres complexes ?

Oui. Lorsque le polynôme caractéristique a un discriminant négatif, les valeurs propres sont présentées comme un couple de complexes conjugués, comme λ = i et −i pour une matrice de rotation de 90°.

Pourquoi mon vecteur propre est-il différent de celui de mon manuel ?

Tout multiple non nul d’un vecteur propre est aussi un vecteur propre. ⟨1, 1⟩ et ⟨3, 3⟩ décrivent la même direction. Vérifiez que l’un des vecteurs est un multiple de l’autre.

Que signifient multiplicité algébrique et multiplicité géométrique ?

La multiplicité algébrique est le nombre de fois qu’une valeur propre apparaît comme racine du polynôme caractéristique. La multiplicité géométrique est le nombre de vecteurs propres indépendants qui lui sont associés. La calculatrice indique les deux pour les valeurs propres multiples.

La calculatrice donne-t-elle des valeurs propres exactes ou décimales ?

Exactes chaque fois que c’est possible : entiers, fractions et radicaux comme 5/2 ± √33/2. Elle ne passe à des valeurs décimales précises que lorsque les racines d’un polynôme de degré trois ou quatre ne peuvent pas être trouvées de façon exacte.

Quel lien entre valeurs propres, déterminant et trace ?

Le produit de toutes les valeurs propres est égal au déterminant et leur somme est égale à la trace. Pour la matrice de lignes (4, 1) et (2, 3), 5 × 2 = 10 est le déterminant et 5 + 2 = 7 est la trace.

Que signifie une valeur propre nulle ?

Que la matrice n’est pas inversible : elle n’a pas d’inverse et son déterminant est nul. Les vecteurs propres associés à λ = 0 engendrent le noyau de la matrice.

À quoi servent les valeurs propres en dehors des cours ?

À l’analyse des vibrations, à la stabilité des systèmes asservis, à l’analyse en composantes principales, à la mécanique quantique, aux chaînes de Markov et au classement des moteurs de recherche : partout où il faut comprendre l’application répétée d’une transformation linéaire.

Essayez la calculatrice de valeurs propres

Saisissez une matrice carrée et obtenez ses valeurs propres et ses vecteurs propres exacts, avec le polynôme caractéristique et chaque étape.

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Calculatrice de valeurs propres