Résoudre un système d’équations : méthode graphique, substitution et combinaison

Ce que signifie résoudre un système

Un système d’équations linéaires est un ensemble de deux équations linéaires ou plus portant sur les mêmes inconnues. Une solution est une attribution de valeurs, comme $x = 2$ et $y = 3$, qui rend toutes les équations vraies en même temps. Vérifier une seule équation ne suffit pas.

Avec deux inconnues, chaque équation représente une droite du plan, et une solution est un point situé sur les deux droites. Cette image explique les trois issues possibles :

• Les droites se coupent une fois : exactement une solution.
• Les droites sont parallèles : aucune solution. On dit que le système est incompatible.
• Les droites sont confondues : une infinité de solutions. Les équations sont dépendantes.

Méthode 1 : la méthode graphique

Écrivez chaque équation sous forme réduite $y = mx + b$, tracez les deux droites et lisez le point d’intersection. La méthode graphique est la meilleure façon de voir ce que représente un système, et elle montre aussitôt si les droites sont parallèles ou confondues. Elle manque toutefois de précision : une intersection en $x = \frac{7}{3}$ se lit mal sur un croquis. Utilisez-la pour estimer, puis confirmez par le calcul. Vous pouvez tracer les deux droites à la fois avec la calculatrice graphique.

Méthode 2 : la substitution

Isolez une inconnue dans l’une des équations, remplacez-la par cette expression dans l’autre équation et résolvez l’équation à une inconnue obtenue. La substitution s’impose lorsqu’une inconnue a déjà pour coefficient 1 ou $-1$.

Mettez toujours entre parenthèses l’expression que vous substituez. Écrire $3x + 2x - 1$ marche ici par chance, mais substituer $y = 2x - 1$ dans $3x - y = 9$ impose $3x - (2x - 1)$, et la parenthèse change le signe du $-1$.

Méthode 3 : la combinaison

Additionnez ou soustrayez des multiples des équations pour qu’une inconnue disparaisse. La combinaison est souvent la plus rapide lorsque les deux équations sont sous la forme $ax + by = c$.

Quand aucun coefficient ne correspond, multipliez d’abord une équation, ou les deux, pour les faire correspondre.

Repérer l’absence de solution ou une infinité de solutions

Si la combinaison fait disparaître les deux inconnues, regardez ce qui reste.

• $x + y = 4$ et $2x + 2y = 10$. En doublant la première, on obtient $2x + 2y = 8$ ; en soustrayant, il reste $0 = 2$, ce qui est faux. Les droites sont parallèles : il n’y a aucune solution.
• $x + y = 4$ et $3x + 3y = 12$. En triplant la première, on obtient exactement la seconde ; en soustrayant, il reste $0 = 0$. Tous les points de la droite $x + y = 4$ sont solutions.

Avant même de commencer, les coefficients permettent de le prévoir : si $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, les droites ont le même coefficient directeur et le système n’a aucune solution ou en a une infinité.

Les formules de Cramer avec les déterminants

Pour un système de deux équations à deux inconnues, les déterminants donnent directement chaque inconnue :

Pour $2x + 3y = 12$ et $5x - 3y = 9$ : $D = 2(-3) - 3(5) = -21$, $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$ et $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. On obtient donc $x = 3$ et $y = 2$, comme par combinaison. Si $D = 0$, les formules ne s’appliquent pas, et c’est précisément le cas des droites parallèles ou confondues. Le guide sur les déterminants explique comment les calculer pour des systèmes plus grands.

Trois équations à trois inconnues

La stratégie reste la même : éliminez une inconnue dans deux paires d’équations différentes pour obtenir un système deux sur deux, résolvez-le, puis remontez par substitution.

Les systèmes plus grands se résolvent généralement avec des matrices et le pivot de Gauss ; la calculatrice de matrices montre ce même processus.

Un problème concret

Deux inconnues exigent deux informations indépendantes. Si un énoncé n’en donne qu’une, il ne peut pas avoir de réponse unique.

Choisir sa méthode et éviter les erreurs

• Utilisez la substitution lorsqu’une inconnue est déjà isolée ou a pour coefficient 1.
• Utilisez la combinaison lorsque les équations sont sous forme générale, surtout si les coefficients sont déjà égaux ou opposés.
• Utilisez les formules de Cramer pour obtenir rapidement la réponse d’un système deux sur deux ou lorsqu’il vous faut une formule pour chaque inconnue.
• Vérifiez toujours le couple final dans les deux équations de départ, car une erreur de calcul peut produire un point qui n’en vérifie qu’une.

Comparez votre travail avec la calculatrice de systèmes d’équations, qui détaille chaque étape de combinaison ou de substitution. Pour revoir les étapes de résolution d’une seule équation utilisées dans chaque méthode, consultez comment résoudre une équation du premier degré.

Quelle méthode choisir ?

Toutes les méthodes mènent à la même solution : choisissez celle qui garde les calculs les plus simples. La substitution est idéale lorsqu’une équation a déjà une inconnue isolée, comme $y = 2x - 1$, ou lorsqu’une inconnue a pour coefficient 1 ou $-1$. La combinaison est souvent plus rapide lorsque les deux équations sont sous la forme $ax + by = c$ et qu’aucune inconnue n’est isolée, car elle repousse les fractions jusqu’à la fin.

La méthode graphique sert à visualiser la situation : deux droites sécantes, deux droites parallèles ou la même droite tracée deux fois. Elle est moins fiable pour obtenir des valeurs exactes, sauf si le point d’intersection a des coordonnées entières. Les formules de Cramer et les méthodes matricielles conviennent aux systèmes à trois inconnues ou plus, et ce sont elles qu’utilisent en interne les calculatrices et les logiciels.

Pour les systèmes non linéaires, comme une droite et une parabole, la substitution est presque toujours le bon choix. Résoudre $y = x^2$ et $y = x + 2$ donne $x^2 = x + 2$, donc $x^2 - x - 2 = 0$ et $(x - 2)(x + 1) = 0$. Les points d’intersection sont $(2, 4)$ et $(-1, 1)$, et tous deux vérifient chaque équation.

Vérifier une solution

La solution d’un système doit vérifier toutes les équations, pas seulement la dernière utilisée. Remplacez vos valeurs dans chaque équation de départ. Dans le deuxième exemple de combinaison, $(2, 5)$ donne $3(2) + 2(5) = 16$ et $4(2) - 5(5) = -17$ : les deux équations sont vérifiées. Une valeur qui vérifie une équation mais pas l’autre trahit une erreur de calcul pendant la combinaison.

Écrivez la vérification sur votre copie. Elle prend moins d’une minute et les correcteurs valorisent souvent une réponse vérifiée.

La calculatrice de systèmes d’équations résout les systèmes à deux et trois inconnues en montrant chaque étape, ce qui est très pratique pour comparer avec votre travail.

Questions fréquentes